Các bài toán max min về mặt cầu oxyz năm 2024
|
Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho các điểm \(A\left( {1,2, - 4} \right);{\text{ }}B\left( {1, - 3,1} \right){\text{ và }} C\left( {2,2,3} \right)\). Mặt cầu (S) đi qua A,B,C và có tâm thuộc mặt phẳng (xOy) có bán kính là : Show
Đáp án: B Lời giải chi tiết: Tâm I thuộc mặt phẳng \(\left( {xOy} \right):{\text{ }}z = 0\) nên ta có \(z = 0\) . Suy ra, giả sử \(I\left( {x,y,0} \right)\). Mặt cầu \(\left( S \right)\) qua \(A,{\text{ }}B,{\text{ }}C\) nên ta có \(IA = IB = IC = R\) Ta có \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I{A^2} = I{B^2}}&{}\\{I{B^2} = I{C^2}}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{{{(x - 1)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(4)}^2} = {{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2}}&{}\\{{{(x - 1)}^2} + {{(y + 3)}^2} + {{( - 1)}^2} = {{(x - 2)}^2} + {{(y - 2)}^2} + {{(3)}^2}}&{}\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 4y + 4 + 16 = 6y + 9 + 1}&{}\\{ - 2x + 1 + 6y + 9 + 1 = - 4x + 4 - 4y + 4 + 9}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{ - 10y = - 10}&{}\\{2x + 10y = 6}&{}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{y = 1}&{}\\{x = - 2}&{}\end{array}} \right.\) Vậy \(I\left( { - 2,1,0} \right)\). Có \(IA = \sqrt {26} = R\) Chọn B Đáp án - Lời giải Tài liệu gồm 99 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Xuân Chung, tuyển chọn và hướng dẫn phương pháp giải các bài toán chọn lọc trong hệ tọa độ Oxyz (phần 2), giúp học sinh lớp 12 tham khảo khi học chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian. PHẦN 2: CÁC BÀI TOÁN TẬP HỢP ĐIỂM; GTLN – GTNN. Trong phần 2 này chúng ta nghiên cứu các bài toán có nội dung về quỹ tích và giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất. Thông thường: Các bài toán tập hợp điểm cũng chính là các bài toán về min – max bởi vì khi tập hợp điểm thỏa mãn điều kiện nhất định thì sẽ đạt min – max. Tuy nhiên: Bài toán tập hợp điểm thiên về vị trí tương đối và tính toán, còn bài toán về min – max thiên về khảo sát hàm số và bất đẳng thức. Từ đó chúng ta cũng thấy được phương pháp giải có đặc trưng riêng. + Bài toán tập hợp điểm: Thường sử dụng phương pháp véc tơ, các định lý trong tam giác, hình bình hành, sự đối xứng, song song, vuông góc. + Bài toán min – max: Thường sử dụng phương pháp khử dần ẩn (Thêm biến, đổi biến, dồn biến), khảo sát cực trị, bất đẳng thức B.C.S, Mincopxki. Như vậy trong phần này các bài toán có mức độ Vận dụng – Vận dụng cao. Để giải nhanh thì chúng ta không chỉ nắm vững kiến thức mà còn sử dụng một số công thức tính nhanh, kỹ năng sử dụng CASIO. Nếu chỉ làm tự luận thì cũng có kết quả nhưng thi trắc nghiệm thì thời gian không nhiều!. Các em cần tính tổng thời gian của quy trình giải một bài toán khó như sau: + Đọc hiểu đề và yêu cầu của bài toán: Đọc để hiểu nội dung của bài toán là gì? + Tái hiện kiến thức: Trong bài toán chúng ta cần thiết những kiến thức nào? + Xác định các yếu tố cần giải: Chẳng hạn mặt cầu thì cần biết tâm, bán kính. + Biến đổi, tính toán: Đây là quy trình cuối cùng dẫn đến kết quả và trả lời, có nhiều khi phải vẽ hình minh họa thì càng mất nhiều thời gian. Trong phần này, các bài toán có chọn lọc và được biên soạn theo chủ đề: Điểm – mặt phẳng, Điểm – Mặt cầu, Điểm – Đường thẳng, và tổ hợp của các yếu tố trên. Trong phần 1, tôi đã đưa ra một số kiến thức bổ xung và công thức tính nhanh, nên phần này tôi không nêu ra. Tuy nhiên, trong phần này cũng có kiến thức bổ xung hữu ích để giúp chúng ta giải nhanh, từ đó mới tiết kiệm được thời gian toàn bài thi. Đặc biệt trong phần này ta nghiên cứu bài toán mà tạm gọi là “Định luật phản xạ ánh sáng đối với gương phẳng”.
File WORD (dành cho quý thầy, cô): TẢI XUỐNG Phần Phương trình mặt cầu Toán lớp 12 với các dạng bài tập chọn lọc có trong Đề thi THPT Quốc gia và trên 100 bài tập trắc nghiệm chọn lọc, có đáp án. Vào Xem chi tiết để theo dõi các dạng bài Phương trình mặt cầu hay nhất tương ứng. Các dạng bài tập Phương trình mặt cầu chọn lọc, có đáp ánBài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Cách tìm tâm và bán kính mặt cầuA. Phương pháp giải & Ví dụ+ Phương trình (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 là phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c), bán kính R + Phương trình (S): x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 thỏa mãn điều kiện a2+b2+c2-d>0 là phương trình mặt cầu tâm I (a; b; c); bán kính Ví dụ minh họaBài 1: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu, nếu là phương trình mặt cầu, hãy tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó
Lời giải:
(x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 nên là phương trình mặt cầu có tâm I (2; -3; 0) và bán kính R=√5.
x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a = 1; b = -2; c = 3, d = 1 ⇒ a2+b2+c2-d=13>0 Vậy phương trình đã cho là phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 3) và bán kính R=√13.
⇔ x2+y2+z2-2x+y+7=0 Phương trình có dạng x2+y2+z2-2ax-2by-2cz+d=0 với a=1;b=(-1)/2;c=0;d=7 ⇒a2+b2+c2-d=(-23)/4<0 Vậy phương trình đã cho không phải là phương trình mặt cầu. Bài 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, tìm m để mỗi phương trình sau là phương trình mặt cầu.
Lời giải:
a=m;b=-(m+1); c=2;d=1. Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0 ⇔ m2+(m+1)2+22-1>0⇔2m2+2m+3>0 ⇔m∈R.
b=0;c=2m;d=8 Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔a2+b2+c2-d>0 ⇔(m-3)2+4m2-8>0 ⇔5m2-6m+1>0 Bài 3: Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 là phương trình của mặt cầu có bán kính nhỏ nhất. Lời giải: Phương trình x2+y2+z2+2(m+2)x-2(m-3)z+m2-1=0 có: a=-(m+2);b=0;c=m-3;d=m2-1 Phương trình là phương trình mặt cầu ⇔ a2+b2+c2-d>0 ⇔ (m+2)2+(m-3)2-m2+1>0 ⇔ m2-2m+14>0 ⇔ m∈R. Khi đó, bán kính mặt cầu là: Dấu bằng xảy ra khi m = 1. Vậy với m = 1 thì mặt cầu có bán kính nhỏ nhất R=√13. Viết phương trình mặt cầu có tâm I và bán kính RPhương pháp giảiPhương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Ví dụ minh họaBài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5. Lời giải: Phương trình chính tắc của mặt cầu có tâm I (a; b; c) và bán kính R là: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (2; 3; -1) và có bán kính R = 5 là: (S): (x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=25. Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB với A (4; -3; 7), B(2; 1; 3) Lời giải: Gọi I là trung điểm của AB Do AB là đường kính của mặt cầu I là tâm mặt của mặt cầu. ⇒ I(3; -1;5) Bán kính mặt cầu là: R=IA\= 3 Vậy phương trình mặt cầu có đường kính AB là: (x-3)2+(y+1)2+(z-5)2=9 Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu nhận AB là đường kính thì ta tìm tâm I là trung điểm của AB và bán kính R=AB/2 Bài 3: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và đi qua A(-2; 0; -1) Lời giải: Vì mặt cầu (S) đi qua A nên (S) có bán kính R=IA\=√38 Vậy phương trình mặt cầu có tâm I (3; -2; 2) và bàn kính R=√38 là: (x-3)2+(y+2)2+(z-2)2=38 Chú ý: Để lập phương trình mặt cầu khi biết tâm I (a; b; c) và đi qua một điểm A cho trước thì ta tìm bán kính R = IA. Khi đó, phương trình mặt cầu (S) có dạng: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Viết phương trình mặt cầu có tâm tiếp xúc mặt phẳngPhương pháp giảiDo mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) bằng bán kính R R=d(I;(P)) Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là: (S): (x-a)2+(y-b)2+(z-c)2=R2 Ví dụ minh họaBài 1: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x + 2x + 2z – 5 = 0. Lời giải: Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là: d(I;(P))\= 8/3 Do (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên bán kính mặt cầu R=d(I;(P))=8/3 Khi đó, phương trình mặt cầu có tâm I (1; -2; 0) và tiếp xúc với (P) là: (x-1)2+(y+2)2+z2=64/9 Bài 2: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) Lời giải: Phương trình mặt phẳng (Oxy) là: z = 0 Khoảng cách từ I đến mặt phẳng Oxy là: d(I;(Oxy))=|-2|/√(12 )=2 Phương trình mặt cầu có tâm I (3; -1; -2) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) là: (x-3)2+(y+1)2+(z+2)2=4 Bài 3: Cho 4 điểm A (3; -2; -2), B (3; 2; 0), C (0; 2; 1) và D (-1; 1; 2). Viết phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với mặt phẳng (BCD). Lời giải: BC→\=(-3;0;1); BD→\=(-4; -1;2) ⇒ [BC→ , BD→ ]=(1;2;3) ⇒ Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (BCD) là: n→ \=(1;2;3) Phương trình mặt phẳng (BCD) có VPPT n→\=(1;2;3) và đi qua điểm B(3; 2; 0) là: x-3+2(y-2)+3z=0 ⇔ x+2y+3z-7=0 Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) là: d(A;(BCD))\= √14 Khi đó, phương trình mặt cầu tâm A và tiếp xúc với (BCD) là: (x-3)2+(y+2)2+(z+2)2=14 Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack) Xem thêm các chuyên đề Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12Bộ giáo án, đề thi, bài giảng powerpoint, khóa học dành cho các thầy cô và học sinh lớp 12, đẩy đủ các bộ sách cánh diều, kết nối tri thức, chân trời sáng tạo tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official |
