Cách hàm chọn trong toán học cao cấp năm 2024

Các bạn đang có trong tay cuốn “ Giáo trình Toán cao cấp” dành cho sinh viên hệ đại trà, trường đại học Tài chính – Maketing. Đây là giáo trình dành cho sinh viên khối ngành kinh tế và quản trị kinh doanh với thời lượng 4 tín chỉ (60 tiết giảng), được biên soạn dựa trên cuốn sách cùng tên dành cho chương trình CLC; chính vì vậy chúng tôi cố gắng lựa chọn các nội dung căn bản, trọng yếu và có nhiều ứng dụng trong kinh tế và quản trị kinh doanh; nội dung giảng dạy không trùng lặp với nội dung sinh viên đã được trang bị ở chương trình phổ thông; chú trọng ý nghĩa và khả năng áp dụng của kiến thức; giáo trình được biên tập trên cơ sở tham khảo nhiều giáo trình quốc tế cũng như trong nước (xem phần tài liệu tham khảo), cũng như kinh nghiệm giảng dạy nhiều năm của các tác giả;

Nội dung chính Show

Một số ký hiệu...................................................................................................................
Cho hai ma trận A    aij Mm n , B  bij Mn p. Ta định nghĩa ma trận tích của
hai ma trận A, B là ma trận cấp m p , ký hiệu AB  cij Mm p , xác định bởi

Nội dung giáo trình, được thiết kế phù hợp với chương trình đào tạo đại học đại trà, và trình độ của sinh viên khối ngành kinh tế và quản trị kinh doanh. Giáo trình bao gồm 7 chương, một số đề tự luyện và một số phụ lục cần thiết.

Chương 1. Trình bày về ma trận, phép toán trên ma trận, định thức, ma trận nghịch đảo, hạng của ma trận, áp dụng vào giải mô hình cân đối liên ngành (Input – Output). Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 2. Trình bày về hệ phương trình tuyến tính và ứng dụng giải mô hình cân bằng thị trường n hàng hóa có liên quan. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện

Chương 3. Trình bày về không gian vectơ; Một số ví dụ và bài tập rèn luyện. Chương 4. Trình bày về phép tính vi phân hàm một biến : Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số, hàm số liên tục, đạo hàm và vi phân, ứng dụng trong toán học và kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 5. Trình bày về nguyên hàm, tích phân bất định, tích phân xác định, tích phân suy rộng và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Một số ví dụ và bài tập rèn luyện.

Chương 6. Trình bày về phép tính vi phân hàm nhiều biến : Hàm số nhiều biến; đạo hàm riêng, vi phân toàn phần và ứng dụng trong phân tích kinh tế. Bài toán cực trị tự do

Một số ký hiệu...................................................................................................................

: Tập số tự nhiên.
 : Tập số nguyên.
: Tập số hữu tỉ.
: Tập số thực.
: Tập số phức.
M :m n Tập hợp các ma trận có kích thước cấp (cỡ) m n.
M :n Tập hợp các ma trận vuông cấp n.
(i) : Dòng i (hàng i).
cj : Cột j.
: Phép gán (phép thay thế).
 : Đổi chỗ (hoán vị).
Det(A) A : Định thức của ma trận A.
I hoặc E : Ma trận đơn vị.
r(A) rank(A) : Hạng của ma trận A.
Dim: Số chiều.
lim : Giới hạn.
x/i i

f f x

 

 : Đạo hàm riêng của hàm f theo biến xi.

L : Sử dụng quy tắc L’hospital.
KGVT : Không gian vectơ.
Max : Giá trị lớn nhất.
Min : Giá trị nhỏ nhất.
Q : Sản lượng.
D : Demand (Cầu).
S : Supply (Cung).
QD: Lượng cầu.
QS : Lượng cung.
P : Giá bán.
L : Lao động (nhân công).
MPL: Hàm sản phẩm cận biên của lao động.
K : Vốn.
MPK : Hàm sản phẩm cận biên của vốn.
 : Lợi nhuận.
TR : Tổng doanh thu.
MR: Doanh thu biên (doanh thu cận biên).
TC : Tổng chi phí.
FC : Chi phí cố định.
VC : Chi phí biến đổi (chi phí khả biến).
MC: Chi phí biên (chi phí cận biên).
AC : Chi phí trung bình.
TU : Tổng hữu dụng (Hàm lợi ích).
MU: Hàm hữu dụng biên (hàm lợi ích biên).
EY X: Hệ số co dãn của Y theo X.

Ví dụ 2. Cho hai ma trận: A       13  24 ; B 1 a b 4    

. Tìm a, b để hai ma trận A, B bằng

nhau. Giải

Ta có hai ma trận A và B đều có cấp là  2 2. Do đó A B a 3b 2. 

1.1. Các ma trận đặc biệt 1.1.3. Ma trận không Ma trận không là ma trận mà các phần tử đều là số không. Ví dụ 3. Cho các ma trận không

0 2 3   0 0 00 0 0  

là ma trân không cấp  2 3 .

3 2

0 0

0 0 0

0 0



 

 

  

 

là ma trận không cấp  3 2 .

1.1.3. Ma trận vuông Ma trận vuông là ma trận có số hàng và số cột bằng nhau. Ma trận vuông cấp n n được gọi tắt là ma trận vuông cấp n. Tập hợp tất cả các ma trận vuông cấp n được ký hiệu là M .n Với ma trận vuông A M , n các phần tử a , a ,...,a 11 22 nn được gọi là thuộc

đường chéo ( chính ) của ma trận A. Các phần tử a , an1 n 1,2 ,..., a1n được gọi là thuộc đường

chéo phụ của ma trận A.

Ví dụ 4. Cho ma trận vuông cấp 3:

1 2 3

4 5 6

7 8 9

 

 

  

 

có các phần tử a 11   1, a 22 5, a 33 9

thuộc đường chéo chính còn các phần tử a 31   7, a 22 5, a 13 3 thuộc đường chéo phụ.

1.1.3. Ma trận chéo Ma trận chéo là ma trận vuông mà mọi phần tử không thuộc đường chéo chính đều là bằng 0.

Ví dụ 5. Cho ma trận chéo cấp 3 :

1 0 0

0 5 0.

0 0 9

 

 

  

 

1.1.3. Ma trận đơn vị cấp Ma trận đơn vị là ma trận chéo mà mọi phần tử thuộc đường chéo chính đều bằng

Ký hiệu In là ma trận đơn vị cấp n.

Ví dụ 6. Cho các ma trận đơn vị

2 3 n

1 0 0 1 0 ... 0

I 1 0 ; I 0 1 0 ;...; I 0 1 ... 0

0 1 0 0 1 ... ... ... ...

0 0 ... 1

   

     

     

     

   

 

.

1.1.3. Ma trận tam giác trên (dưới) Ma trận tam giác trên (dưới) là ma trận vuông mà các phần tử ở phía dưới (hoặc ở phía trên) đường chéo chính đều bằng 0. Ví dụ 7. Cho các ma trận cấp 3

1 3 4 0 2 5 0 0 3

 

 

  

 

là ma trận tam giác trên.

1 0 0

3 2 0

5 4 3

 

 

  

 

là ma trận tam giác dưới.

1.1.3. Ma trận bậc thang (ma trận hình thang) Ma trận bậc thang là ma trận ứng với hai dòng bất kỳ số hạng khác không đầu tiên của hàng dưới phải nằm bên phải số hạng khác không đầu tiên của hàng trên.

11 12 1r 1n 22 2r 2n

rr rn

a a a a 0 a a a

0 0 a a

0 0 0 0

 

 

 

 

 

     

 

     

 

với r n và a , a ,...,a 11 22 rr gọi là các phần tử chéo.

Ví dụ 8. Cho ma trận bậc thang như sau:

1 2 3 4 5

0 2 4 3 7

0 0 3 5 4

0 0 0 5 8

 

 

 

A B   aij bijm n (1)

Ví dụ 10. Cho hai ma trận:

A 1 2 3 4 5 6

 

  ,

B 1 1 1.

1 1 1

  

  

Tính 2A, 4B, A B, 2A 4B.  

Giải Ta có

2A 2 8 10 12 46   

,  4B   44  4444 

 

và

A B   2 1 43 6 5  

, 2A 4B  6 4 140 10 8 .

 

1.1.4. Các tính chất Cho ba ma trận A, B, C cùng cấp và  , . a) A B B A   b) (A B) C A (B C)     c) A 0 A  d) A ( A) 0   e) 1 A A  f) (  )A A A g)    (A B) A B h) (    )A ( A) ( A).

1.1.4. Phép nhân hai ma trận

Cho hai ma trận A    aij Mm n , B  bij Mn p. Ta định nghĩa ma trận tích của

hai ma trận A, B là ma trận cấp m p , ký hiệu AB  cij Mm p , xác định bởi

n ij i1 1 j i 2 2 j in nj ik kj k 1

c a b a b a b a b , i 1, m , j 1, p 

          (1)

Tính chất (i) Tính kết hợp : Cho A M m n, B Mn p và C M p q , ta có

A BC    AB C.

(ii) Tính phân phối : Với mọi ma trận A, B M m n và C M n p , ta có

 A B C AC BC   ,

và với mọi ma trận C M m n và A, B M n p , ta có

C A B   CA CB_._

(iii) Với mọi ma trận A M m n, B Mn p và với mọi k, ta có

k AB      kA B A kB_._

Hệ quả. Cho A là ma trận vuông cấp n. Ta có An     A A  A (nhân n lần). Ví dụ 11. Cho hai ma trận:

3x 2 2x

122 3 4

A 1 1 M , B 3 5 0 M.

2 3

    

      

    

 

Tính AB và  AB. 2

Giải Ta có

122 3 4 8 7 4 AB 1 1 3 5 0 1 8 4. 2 3 13 9 8

     

      

     

   

     2

8 7 4 8 7 4

AB AB AB 1 8 4 1 8 4

13 9 8 13 9 8

123 148 36

36 35 60.

217 235 123

  

     

  

  

 

   

 

 

Ví dụ 12. Cho hai ma trận vuông cấp 4: 1 0 3 4 3 2 2 4 A 2 3 12 , B 2113. 3 2 4 3 1 0 3 0 1 1 2 1 3 4 3 5

    

    

   

    

     

Tính AB và BA.

1.1.5. Liên hệ giữa phép biến đổi sơ cấp trên hàng và phép nhân ma trận

Cho ma trận A aijm n và ma trận đơn vị cấp m: m

1 0 0

I 0 1

0 0 0 1

 

 

 

 

 



 

  



Định nghĩa: 1

0 1 i I(i, j) 1 0 j

 

 

 

 

 



doøng

1

I(i, ) i

doøng

 

 

   

 

 

 



1

1 i I(i, j, ) 0 1 j

doøng

 

 

  

  

 

 



Lưu ý: +) Phép hoán vị hai hàng của ma trận A được coi là thực hiện phép nhân ma trận I(i, j) A. +) Phép nhân một hàng của ma trận A với số thực  0 được coi là phép nhân ma trận I(i, ) A. 

+) Phép cộng vào hàng i hàng j đã nhân với  (i j ) được coi là phép nhân ma

trận I(i, j, ) A. 

1. Định thức

Xét ma trận vuông cấp n:

11 12 1n 21 22 2n

n1 n 2 nn

a a a A a a a a a a

 

 

 

 

 



   



Với mỗi số hạng aij (số hạng nằm ở hàng i và cột j), ma trận nhận được từ A bằng

cách bỏ đi hàng thứ i và cột thứ j được gọi là ma trận bù của A đối với số hạng a ,ij ký

hiệu là A .ij Ví dụ 14. Cho ma trận vuông cấp 3 :

1 4 7 A 2 5 8 3 6 9

 

 

  

 

Ta có thể thành lập các ma trận bù cấp 2, chẳng hạn A 11           5 86 9 ; A 23  1 43 6 ; A 33  1 42 5.       1.2. Định nghĩa định thức ma trận vuông cấp n Định thức của ma trận vuông A M , n ký hiệu det(A) hay A, là số thực được định