7 hằng đẳng thức đáng nhớ là một trong những kiến thức cơ bản nhất mà một học sinh cần nắm vững. Đây là một kiến thức rất quan trọng trong chương trình lớp 8 giúp học sinh có thể ứng dụng vào giải các bài toán phức tạp. Cùng HangDangThuc tìm hiểu về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ đó và cách ứng dụng của 7 hằng đẳng thức trong việc giải toán như thế nào.
Lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ là gì?
Dưới đây là những hằng đẳng thức cơ bản, các bạn học sinh có thể học thuộc để có thể áp dụng vào giải các bài tập. Hãy áp dụng kiến thức này vào giải các bài toán từ cơ bản đến nâng cao. Bạn có thể dành ra thời gian để học qua và ứng dụng công thức để giải 1-2 bài tập thì sẽ giúp bạn nhớ nhanh hơn nhé!
1. Bình phương của một tổng
Công thức: [A + B]² = A² + 2AB + B²
Lý thuyết: Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai cộng với bình phương số thứ hai.
Ví dụ: [X + 5]² = X² + 2.X.5 + 5² = X² + 10X + 25
2. Bình phương của một hiệu
Công thức: [A – B]² = A² – 2AB + B²
Lý thuyết: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai cộng với bình phương số thứ hai.
Ví dụ: [X – 5]² = X² – 2.X.5 + 5² = X² – 10X + 25
3. Hiệu hai bình phương
Công thức: A² – B² = [A – B][A + B]
Lý thuyết: Bình phương của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ hai lần tích của số thứ nhất và số thứ hai cộng với bình phương số thứ hai.
Ví dụ: X² – 5² = [X – 5][X + 5] = X² + 5X – 5X – 25 = X² – 25
4. Lập phương của một tổng
Công thức: [A + B]³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³
Lý thuyết: Lập phương của tổng hai số bằng lập phương số thứ nhất cộng ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai cộng lập phương số thứ hai.
Ví dụ: [X + 5]³ = X³ + 3X². 5 + 3X.5² + 5³ = X³ + 15X² + 75X + 125
5. Lập phương của một hiệu
Công thức: [A – B]³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³
Lý thuyết: Lập phương của hiệu hai số bằng lập phương số thứ nhất trừ ba lần tích của bình phương số thứ nhất nhân với số thứ hai cộng ba lần số thứ nhất nhân với bình phương số thứ hai trừ lập phương số thứ hai
Ví dụ: [X – 5]³ = X³ – 3X². 5 + 3X.5² – 5³ = X³ – 15X² + 75X – 125
6. Tổng hai lập phương
Công thức: A³ + B³ = [A + B][A² – AB + B²]
Lý thuyết: Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số nhân với bình phương số thứ nhất trừ tích hai số cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ: X³ + 3³ = [X + 3][X² – 3X + 3²] = X.X² + X.[-3X] + 9X + 3.X² + 3.[-3X] + 3.9 \= X³ – 3X² + 9X + 3X² – 9X + 27 = X³ + 27
7. Hiệu hai lập phương
Công thức: A³ – B³ = [A – B][A² + AB + B²]
Lý thuyết: Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số nhân với bình phương số thứ nhất nhân tích hai số cộng bình phương số thứ hai.
Ví dụ: X³ – 3³ = [X – 3][X² + 3X + 3²] = X.X² + X.3X + 9.X – 3.X² – 3.3X – 3.9 \= X³ + 3X² + 9X – 3X² – 9X – 27 = X³ – 27
Bài tập về các hằng đẳng thức đáng nhớ
Ví dụ 1: Viết các biểu thức thành đa thức
a, [2x + 3]²
b, [4x – y]²
c, [xy – 2y]²
Gợi ý đáp án:
a, [2x + 3]² = 4x² + 12x + 9
b, [4x – y]² = 16x² – 8xy + y²
c, [xy – 2y]² = x²y² – 4xy² + 4y²
Ví dụ 2: Viết các biểu thức sau thành bình phương của một hiệu hoặc một tổng
a, 16x² – 8xy + y²
b, x² + 6x + 9
c, 9a² – 12ab + 4b²
d, 25m² – 20mn + 4n²
e, x² – 10x + 25
Gợi ý đáp án:
a, [4x – y]²
b, [x + 3]²
c, [3a – 2b]²
d, [5m – 2n]²
e, [x – 5]²
Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức:
a, [x + y]2 + [x – y]2
b, 2[x – y][x + y] + [x + y]2 + [x – y]2
c, [x – y + z]2 + [z – y]2 + 2[x – y + z][y – z]
Gợi ý đáp án:
a, 2x2 + 2y2
b, 4x2
c, x2
Các hằng đẳng thức mở rộng
Ngoài 7 hằng đẳng thức đáng nhớ ra còn có một số hằng đẳng thức đáng nhớ với hàm mở rộng bậc 2 và bậc 3, hằng đẳng thức tổng quát như sau:
Hằng đẳng thức mở rộng bậc hai
- [a + b + c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
- [a + b – c]2 = a2 + b2 + c2 + 2ab – 2ac – 2bc
- [a – b – c]2 = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2ac + 2bc
Hằng đẳng thức mở rộng bậc ba
- a3 + b3 = [a + b]3 – 3ab[a + b]
- a3 – b3 = [a – b]3 + 3ab[a – b]
- [a + b + c]3 = a3 + b3 + c3 + 3[a + b][a + c][b + c]
- a3 + b3 + c3 − 3abc = [a + b + c][a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca]
- [a – b]3 + [b – c]3 + [c – a]3 = 3[a – b][b – c][c – a]
- [a + b][b + c][c + a] – 8abc = a[b – c]2 + b[c – a]2 + c[a – b]2
- [a + b][b + c][c + a] = [a + b + c][ab + bc + ca] − abc
- [a + b][b + c][c + a] – 8abc = a[b – c]2 + b[c – a]2 + c[a – b]2
- [a + b][b + c][c + a] = [a + b + c][ab + bc + ca] − abc
Hằng đẳng thức dạng tổng quát
an + bn = [a + b][an−1 − an−2b + an−3b2 − an−4b3 + … + a2bn−3 − a.bn−2 + bn−1] [1], với n là số lẻ thuộc tập N
an – bn = [a – b][an−1 + an−2b + an−3b2 + … + a2bn−3 + a.bn−2 + bn−1]
Cách ghi nhớ các hằng đẳng thức hiệu quả
- Hiểu bản chất: Trước hết, bạn cần hiểu rõ ý nghĩa và cách hoạt động của các hằng đẳng thức. Nếu bạn hiểu tại sao chúng hoạt động và được dùng trong những tình huống nào, bạn sẽ dễ dàng ghi nhớ hơn.
- Lên lịch ôn tập: Xây dựng một lịch ôn tập đều đặn cho việc học các hằng đẳng thức. Ôn tập thường xuyên giúp bạn củng cố kiến thức và dễ dàng ghi nhớ hơn.
- Sử dụng phương pháp nhớ: Sử dụng các phương pháp nhớ như viết chúng ra, lập các mẫu thức đẳng thức, hoặc tạo những câu nhớ ngắn về chúng.
- Giải các bài tập thực hành: Giải nhiều bài tập thực hành sử dụng các hằng đẳng thức. Thực hành sẽ giúp bạn làm quen với cách áp dụng chúng trong các tình huống khác nhau.
- Giảng dạy cho người khác: Một cách tốt để ghi nhớ là cố gắng giảng dạy lại cho người khác. Khi bạn giải thích cho người khác, bạn cần phải hiểu sâu hơn và điều này giúp củng cố kiến thức của bạn.
- Học cùng nhóm: Học cùng nhóm có thể giúp bạn chia sẻ kiến thức và học từ nhau. Mỗi người có thể có góc nhìn và cách nhớ riêng, điều này có thể giúp bạn hiểu và ghi nhớ tốt hơn.
Trên đây là lý thuyết về 7 hằng đẳng thức đáng nhớ, một số hằng đẳng thức mở rộng. Ngoài ra chúng tôi cũng đã đưa ra cho bạn những ví dụ cụ thể, những bài tập, cách ghi nhớ các hằng đẳng thức đáng nhớ. Hy vọng với những kiến thức từ HangDangThuc này sẽ hữu ích đến bạn. Chúc bạn học tốt!