Bài 7.2 sbt toán 9 tập 2 năm 2024

Vậy phương trình có hai nghiệm: \({x_1} = {{1 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{1 - \sqrt 5 } \over 2}\)

2. \(5 - \sqrt {3 - 2x} = \left| {2x - 3} \right|\) điều kiện \(3 - 2x \ge 0 \Leftrightarrow x \le {3 \over 2}\)

\( \Rightarrow 5 - \sqrt {3 - 2x} = 3 - 2x\) đặt \(\sqrt {3 - 2x} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \(5 - t = {t^2} \Leftrightarrow {t^2} + t - 5 = 0\)

\(\eqalign{ & \Delta = {1^2} - 4.1.\left( { - 5} \right) = 1 + 20 = 21 > 0 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {21} \cr & {t_1} = {{ - 1 + \sqrt {21} } \over {2.1}} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr & {t_2} = {{ - 1 - \sqrt {21} } \over {2.1}} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} \cr} \)

\({t_2} = - {{1 + \sqrt {21} } \over 2} < 0\) loại

\(\eqalign{ & \Rightarrow \sqrt {3 - 2x} = {{\sqrt {21} - 1} \over 2} \cr & \Rightarrow 3 - 2x = {{21 - 2\sqrt {21} + 1} \over 4} \cr & \Leftrightarrow 12 - 8x = 22 - 2\sqrt {21} \cr & \Leftrightarrow 8x = 12 - 22 + 2\sqrt {21} \cr & \Rightarrow x = {{2\left( {\sqrt {21} - 5} \right)} \over 8} = {{\sqrt {21} - 5} \over 4} \cr} \)

Phương trình có 1 nghiệm: \(x = {{\sqrt {21} - 5} \over 4}\)

Câu 7.2 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

Cho phương trình \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\)

1. Giải phương trình khi m = 2.

2. Chứng minh rằng phương trình có nghiệm với mọi giá trị của m.

Giải

1. Khi m = 2 ta có phương trình: \(x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)

Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0;x + 2\sqrt {x - 1} - 3 = 0 \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - 2 = 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - 2 = 0\)

\(\eqalign{ & \Delta ' = {1^2} - 1.\left( { - 2} \right) = 1 + 2 = 3 > 0 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 3 \cr & {t_1} = {{ - 1 + \sqrt 3 } \over 1} = - 1 + \sqrt 3 \cr & {t_2} = {{ - 1 - \sqrt 3 } \over 1} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) \cr} \)

\({t_2} = - \left( {1 + \sqrt 3 } \right) < 0\) loại

\(\eqalign{ & \Rightarrow \sqrt {x - 1} = \sqrt 3 - 1 \cr & \Rightarrow x - 1 = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} \cr & \Leftrightarrow x - 1 = 3 - 2\sqrt 3 + 1 \cr & \Leftrightarrow x = 5 - 2\sqrt 3 \cr} \)

Vậy phương trình có 1 nghiệm \(x = 5 - 2\sqrt 3 \)

2. \(x + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 11 = 0\) điều kiện \(x \ge 1\)

\( \Leftrightarrow x - 1 + 2\sqrt {x - 1} - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

Đặt \(\sqrt {x - 1} = t \Rightarrow t \ge 0\)

Ta có phương trình: \({t^2} + 2t - {m^2} + 6m - 10 = 0\)

\(a = 1 > 0;c = - {m^2} + 6m - 10 = - \left( {{m^2} - 6m + 9 + 1} \right) = - \left[ {{{\left( {m - 3} \right)}^2} + 1} \right] < 0\)

nên c < 0 ⇒ a và c khác dấu, phương trình có hai nghiệm.

Phân biệt t1 và t2 trái dấu nhau. Giả sử t1 > 0 \( \Rightarrow x = {t_1}^2 + 1\)

Vậy phương trình luôn luôn có nghiệm

Câu 7.3 trang 60 Sách bài tập (SBT) Toán 9 tập 2

(Đề thi học sinh giỏi Toán Bulgari – Mùa xuân 1997)

Tìm giá trị của m để phương trình

\(\left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0\)

có đúng ba nghiệm phân biệt.

Giải

Phương trình:

\(\eqalign{ & \left[ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right]\left[ {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(1)} \cr {{x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0(2)} \cr} } \right. \cr} \)

Ta xét phương trình (1): \({x^2} - 2mx - 4\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)

\({\Delta _1}' = {\left( { - m} \right)^2} - 1.\left[ { - 4\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] = {m^2} + 4\left( {{m^2} + 1} \right) > 0\) với mọi m

Phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt

Ta xét phương trình (2): \({x^2} - 4x - 2m\left( {{m^2} + 1} \right) = 0\)

\(\eqalign{ & {\Delta _2}' = {\left( { - 2} \right)^2} - 1.\left[ { - 2m\left( {{m^2} + 1} \right)} \right] \cr & = 4 + 2m\left( {{m^2} + 1} \right) \cr & = 2{m^3} + 2m + 4 \cr} \)

Phương trình (2) có nghiệm khi và chỉ khi \({\Delta _2}' \ge 0\)

\(\eqalign{ & \Rightarrow 2{m^3} + 2m + 4 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^3} + m + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^3} + {m^2} - {m^2} - m + 2m + 2 \ge 0 \cr & \Leftrightarrow {m^2}\left( {m + 1} \right) - m\left( {m + 1} \right) + 2\left( {m + 1} \right) \ge 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {m + 1} \right)\left( {{m^2} - m + 2} \right) \ge 0 \cr} \)

Vì \({m^2} - m + 2 = {m^2} - 2.{1 \over 2}m + {1 \over 4} + {7 \over 4} = {\left( {m - {1 \over 2}} \right)^2} + {7 \over 4} > 0\)

\( \Rightarrow m + 1 \ge 0 \Leftrightarrow m \ge - 1\)

Vậy với m ≥ -1 thì phương trình (2) có nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi sảy ra một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình (2) có 1 nghiệm kép khác với nghiệm của phương trình (1).

Ta có: \({\Delta _2}' = 0\) suy ra m = -1 và nghiệm kép phương trình (2): x = 2

Thay x = 2 vào phương trình (1) ta có: \(4 - 4m - 4\left( {{m^2} + 1} \right) \ne 0\)

\(\eqalign{ & \Leftrightarrow 4 - 4m - 4{m^2} - 4 \ne 0 \cr & \Leftrightarrow - 4m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr & \Leftrightarrow m\left( {m + 1} \right) \ne 0 \cr} \) \( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {m \ne 0} \cr {m \ne - 1} \cr} } \right.\)

vô lý loại vì m = -1

Trường hợp 2: Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 trong đó có 1 nghiệm giả sử là x1 cũng là nghiệm của phương trình (1).

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt \( \Leftrightarrow {\Delta _2}' > 0 \Leftrightarrow m > - 1\)