Bài tập chuyên đề ôn thi đại học toán

Bài viết này DeThiThu.Net tổng hợp giúp các sĩ tử các chuyên đề TOÁN ôn thi Đại Học – THPT Quốc Gia theo cấu trúc đề thi môn TOÁN của Bộ GD & ĐT.Quý thầy cô giáo và các bạn học sinh vui lòng Click vào tên từng bài viết bên dưới để dẫn tới LINK TẢI.  :beauty:

Quan Trọng : Hệ thống công thức Toán cấp 3 (Lớp 10, 11, 12) ôn thi ĐẠI HỌC : Download

I> Chuyên Đề LƯỢNG GIÁC

1.Bảng công thức lượng giác đầy đủ,chi tiết,dễ hiểu

2.Phương Pháp Giải Nhanh Phương Trình Lượng Giác

3. 200 bài tập phương trình lượng giác ôn thi (Giải chi tiết)

4.Phương trình lượng giác trong đề thi đại học năm 2002 đến 2015

II> Chuyên Đề Oxy

1. Hình học phẳng Oxy : 79 bài tập đường thẳng,đường tròn hay có lời giải chi tiết

2. 306 bài tập HÌNH HỌC PHẲNG OXY ôn thi THPT QUỐC GIA có đáp số

3. 32 bài toán hình học phẳng Oxy hay có lời giải chi tiết

III> Tổ Hợp,Xác Suất

1. Bài giảng và 45 thí dụ,26 bài tập có lời giải Xác suất,tổ hợp,chỉnh hợp,phép đếm ÔN THI ĐẠI HỌC

2. Các dạng bài tập tổ hợp,xác suất,nhị thức NewTon cơ bản có lời giải

3.Tổ hợp,xác suất,nhị thức Newton ôn thi THPT Quốc Gia và bài tập có đáp số

IV> CHUYÊN ĐỀ PHƯƠNG TRÌNH, Hệ Phương Trình Ôn Thi Đại Học

1. 42 hệ phương trình ôn thi ĐH 2015 (Có phân tích,hướng giải chi tiết)

2. 50 bài phương trình,hệ phương trình,bất phương trình vô tỷ (chứa căn) có lời giải chi tiết

3.Giải phương trình vô tỷ ( chứa căn ) bằng phương pháp liên hợp

V> Chuyên đề khảo sát hàm số và các bài toán liên quan

1. Khảo sát hàm số ôn thi THPT Quốc Gia (Có lời giải)

2.Các dạng toán liên quan khảo sát hàm số (Câu 1b đề thi)

Chuyên đề hệ phương trình ôn thi đại học

Chúng tôi sẽ cập nhật thường xuyên ở bài viết TỔNG HỢP này khi website đăng tải chuyên đề mới.Mọi ý kiến,đóng góp tài liệu,đề thi xin gửi về Email : .Xin cám ơn!! 

Bài tập hình học phẳng oxy

Tuyển tập 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán (Có đáp án và giải chi tiết) do thầy Nguyễn Bảo Vương biên soạn, trích các dạng bài từ các đề thi THPT Quốc Gia các năm, nhằm giúp các em học sinh lớp 12 ôn luyện các dạng bài sát nhất với các kỳ thi để từ đó các em có lượng kiến thức tổng hợp cùng với việc nắm được các công thức và phương pháp, kỹ năng giải các dạng bài toán theo từng chuyên đề. Với việc ôn luyện qua 27 chuyên đề này chắc chắn sẽ giúp các em vượt qua kỳ thi THPT Quốc Gia môn toán tới đây với điểm số cao nhất.

Nội dung 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán gồm các chuyên đề sau:

Chuyên đề 1: Tính đơn điệu của hàm sốChuyên đề 2: Cực trị của hàm sốChuyên đề 3: GTLN-GTNN của hàm sốChuyên đề 4: Đường tiệm cận của đồ thị hàm sốChuyên đề 5: Đọc đồ thị, tương giao, tiếp tuyếnChuyên đề 6: Góc và khoảng cáchChuyên đề 7: Nhận dạng khối đa diệnChuyên đề 8: Thể tích khối đa diệnChuyên đề 9: Lũy thừa, hàm số lũy thừaChuyền đề 10: LogarithChuyên đề 11: Hàm mũ, hàm số logarit và một số bài toán liên quanChuyên đề 12: Phương trình mũ, phương trình LogaritChuyên đề 13: Bất phương trình mũ, bất phương trình logaritChuyên đề 14: Hình nón, khối nónChuyên đề 15: Hình trụ, khối trụChuyên đề 16: Mặt cầu, khối cầuChuyên đề 17: Một số bài toán tổng hợp khối tròn xoayChuyên đề 18: Nguyên hàm, phương pháp tìm nguyên hàmChuyên đề 19: Tích phân, phương pháp tính tích phânChuyên đề 20: Ứng dụng tích phânChuyên đề 21: Hệ trục tọa độ, phương trình mặt cầuChuyên đề 22: Phương trình mặt phẳng và một số bài toán liên quanChuyên đề 23: Phương trình đường thẳng và một số bài toán liên quanChuyên đề 24: Ứng dụng hình học giải tích oxyz để giải quyết một số bài toánChuyên đề 25: Khái niệm số phức, các phép toán số phức và một số bài toán liên quanChuyên đề 26: Một số bài toán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phứcchuyên đề 27: Phương trình bậc 2 với hệ số thực, bài toán min max

CLICK LINK DOWNLOAD CÁC CHUYÊN ĐỀ TẠI ĐÂY

Thẻ từ khóa: 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán, 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán pdf, 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán ebook, Tải sách 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán, Download sách 27 chuyên đề ôn thi THPT Quốc Gia 2020 - 2021 môn Toán

thuvientoan.net xin gửi đến các bạn Một số chuyên đề vận dụng và vận dụng cao của Vted ôn thi THPT quốc gia.

Tài liệu được biên soạn bởi tập thể đội ngũ giáo viên uy tín, đã có nhiều năm kinh nghiệm trong giải dạy và ôn thi tuyển sinh vào đại học. Kèm theo đề là đáp án các câu hỏi để các bạn có thể tự đánh giá năng lực bản thân.

Tài liệu còn lồng ghép một số câu hỏi từ thực tế, đòi hỏi thí sinh không phải chỉ biết nắm lý thuyết mà còn phải biết vận dụng các kiến thức toán học vào giải quyết các vấn đề trong cuộc sống.

Kèm theo mỗi câu hỏi là lời giải chi tiết. Hy vọng các bạn có thể học được nhiều kiến thức hay từ tài liệu này.

Các chuyên đề bao gồm: Chuyên đề cực trị, Chuyên đề đơn điệu, Chuyên đề Giá trị lớn nhất Nhỏ nhất, Chuyên đề Khoảng cách, Chuyên đề LOGARIT, Chuyên đề Thực tiễn Logarit, Chuyên đề Nguyên hàm Tích Phân, Chuyên đề Thể tích, Chuyên đề Tỉ số thể tích, Chuyên đề Tiếp tuyến.

Tài liệu

Like fanpage của thuvientoan.net để cập nhật những tài liệu mới nhất: https://bit.ly/3g8i4Dt.

THEO THUVIENTOAN.NET

0 LỜI NÓI ĐẦU Cuốn CÁC CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI TỐT NGHIỆP THPT QUỐC GIA NĂM 2016 được viết dựa trên tinh thần mong muốn có một cuốn tài liệu ôn thi hữu ích tổng hợp và đẩy đủ các phương pháp giải các dạng toán trong cấu trúc đề thi TSĐH của Bộ giáo dục và đào tào đồng thời phát triển tư duy giải toán của học sinh. Đây là tâm huyết của tác giả và là mong muốn thời học sinh của tác giả. Mục tiêu của cuốn tài liệu là cung cấp các dạng toán thông qua các chuyên đề, mỗi dạng toán sẽ được tác giả tóm lược phương pháp giải kèm theo hệ thống bài tập mẫu và bài tập đề nghị hay và phong phú , mỗi bài toán đều chứa tính sáng tạo chắc chắn sẽ làm bạn đọc thấy thú vị và đam mê. Vì thế không đòi hỏi các bạn phải nhớ phương pháp giải mỗi dạng toán mà phát triển tư duy toán học của bạn đọc, với bài toán cụ thể bạn đọc sẽ tìm được cách giải nào. Mong muốn đây sẽ là tài liệu hữu ích cho bạn đọc những ai thực sự đang ước mơ bước chân vào cánh cửa giảng đường đại học. Cuốn tài liệu này được viết theo 15 chuyên đề:Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan. Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình – hệ phương trình có nghiệm. Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác. Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ. Chuyên đề 5: Hệ phương trình. Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit. Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng. Chuyên đề 8: Hình học không gian. Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức. Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng. Chuyên đề 11: Hình học giải tích trong không gian. Chuyên đề 12: Ba đường Cônic. Chuyên đề 13: Các bài toán về số phức. Chuyên đề 14: Nhị thức Newton và ứng dụng. Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp. Xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới sự giúp đỡ và động viên tinh thần của thầy cô, bạn bè và gia đình trong thời gian hoàn thiện cuốn sách. Dù đã rất cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và kiến thức hạn chế của tác giả, cộng với phạm vi rộng của cuốn sách nên thật khó tránh khỏi các thiếu sót, tác giả rất mong nhận 1 được những ý kiến đóng góp của bạn đọc để trong thời gian tới có thể hoàn thiện cuốn tài liệu một cách tổng hợp và đầy đủ, dễ hiểu nhất. 2 MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU:……………………………………………………………………….….0 Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan…………………………4 Chuyên đề 2: Điều kiện để phương trình, hệ phương trình có nghiệm……… 102 Chuyên đề 3: Phương trình lượng giác ……………………………………… …142 Chuyên đề 4: Phương trình, bất phương trình vô tỷ………………………….….196 Chuyên đề 5: Hệ phương trình…………………………………………………… 288 Chuyên đề 6: Phương trình, bất phương trình, hệ phương trình mũ, logarit 402 Chuyên đề 7: Tích phân và ứng dụng……………………………………… 448 Chuyên đề 8: Hình học không gian……………………………………………… 554 Chuyên đề 9: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất và chứng minh bất đẳng thức………………………………………………………………………… 590 Chuyên đề 10: Hình học giải tích trong mặt phẳng…………………………… 648 Chuyên đề 11: Ba đường Cônic…………………………………………… 678 Chuyên đề 12: Hình học giải tích trong không gian…………………………….690 Chuyên đề 13: Các bài toán vế số phức…………………………………… 732 Chuyên đề 14: Nhị thức NEWTON và ứng dụng………………………… 754 Chuyên đề 15: Các bài toán đếm và số cách chọn tổ hợp………………… 784 TÀI LIỆU THAM KHẢO:……………………………………………………………798 3 Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 4 CHUYÊN ĐỀ 1: KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Chuyên đề 1: Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan 5 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 6 Bài toán hàm số và các vấn đề liên quan thuộc loại cơ bản, để giải quyết tốt phần này các em nên lưu ý đến các bước của một bài toán khảo sát và vẽ đồ thị hàm số. Trong chương trình thi Tuyển Sinh đại học chỉ đề cập đến ba dạng hàm số cơ bản đó là hàm số bậc ba, hàm trùng phương và phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Cuốn tài liệu này trình bày mẫu các bước của một bài toán khảo sát, ngoài ra các bài toán liên quan được phân theo từng dạng. Đó là các bài toán: - Bài toán khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Bài toán về tính đơn điệu của hàm số - Bài toán về điều kiện nghiệm của phương trình, hệ phương trình( được trình bày chi tiết trong chương 2) - Bài toán về sự tương giao của đồ thị hàm số - Bài toán về cực trị hàm số - Bài toán về tiếp tuyến với đồ thị hàm số - Bài toán về các điểm đặc biệt BÀI TOÁN KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Dưới đây trình bày mẫu cách khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số của ba dạng hàm số là hàm đa thức bậc ba, hàm trùng phương và hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Hàm đa thức bậc ba Cho hàm số 3 22 1y x x m x m     ,mlà tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi 1m . Trình bày: Khi 1m ta có hàm số 3 22 1y x x   . + Tập xác định:  + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 2' 3 4 ;y x x  '( ) 0 0y x x   hoặc 43x  . Hàm số đồng biến trên các khoảng ;0 và 4;3   ; nghịch biến trên khoảng 40;3   . - Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại 0; 1CÐx y  , đạt cực tiểu tại4 5;3 27CTx y   . - Giới hạn: lim ;xy  limxy  . HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 7 - Bảng biến thiên: + Đồ thị:  1;0 0;1 . Hàm trùng phương Cho hàm số  4 22 1y x m x m    , mlà tham số thực. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi 1m . Trình bày: Khi 1m , ta có hàm số 4 24 1.y x x   + Tập xác định D   + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên: 34 8 ; ' 0 0y x x y x     hoặc 2x   HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Hàm số nghịch biến trên các khoảng  ; 2 và  0; 2 ;đồng biến trên các khoảng  2;0và  2; - Cực trị: Hàm số đạt cực tiểu tại 2; 3,CTx y    đạt cực đại tại 0; 1.CÐx y  - Giới hạn: lim lim .x xy y    - Bảng biến thiên: + Đồ thị: Đ 0;12 3;0 ; 2 3;0    . Hàm bậc nhất trên bậc nhất Cho hàm số 2 11xyx. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị C  của hàm số đã cho. Trình bày: 8 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 9 + Tập xác định:  1\D   + Sự biến thiên: - Chiều biến thiên:  210,1y x Dx    Hàm số đồng biến trên các khoảng  ; 1  và  1;  . - Giới hạn và tiệm cận: lim lim 2;x xy y   tiệm cận ngang 2y  .  1lim ,xy    1lim ;xy  tiệm cận đứng 1x  . - Bảng biến thiên: + Đồ thị: 1;02    0;1 . BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ Phương pháp: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 10 Hàm số ( )f x đồng biến trên khoảng ;a b khi và chỉ khi '( ) 0, ;f x x a b   . Hàm số ( )f x nghịch biến trên khoảng ;a b khi và chỉ khi '( ) 0, ;f x x a b   . Ta thường biến đổi bất phương trình '( ) 0f x  thành hai vế một vế là hàm của xcòn một vế chứa tham số m. Có hai dạng bất phương trình sau  ;( ) ( ), ; ( ) min ( )x a bf x g m x a b g m f x     .  ;( ) ( ), ; ( ) max ( )x a bf x g m x a b g m f x     . Trong đó ( )g m là hàm số theo tham số m. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số    3 211 3 23y m x mx m x     . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên tập xác định. Lời giải: + Tập xác định D   Ta có 2' 1 2 3 2y m x mx m     Vậy hàm số đồng biến trên tập xác định khi và chỉ khi     21 01' 0, 22 1 2 0' 1 3 2 0mmy x mm mm m m               . Vậy 2m là những giá trị cần tìm. Bài 2.Cho hàm số 4mxyx m. Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 . Lời giải: + Tập xác định  \D m  . Ta có  224'myx m Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi 2' 0 4 0 2 2y m m        . Để hàm số nghịch biến trên khoảng ;1 thì ta phải có 1 1m m    Kết hợp 2 điều kiện trên suy ra 2 1m  . HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 11 Bài 3. Cho hàm số 3 23 4y x x mx    . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng ;0 . Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2' 3 6y x x m   Hàm số đồng biến trên khoảng ;0 khi và chỉ khi  2;0' 0, ;0 ( ) 3 6 , ;0 min ( )xy x m f x x x x m f x              Ta có '( ) 6 6, '( ) 0 1f x x f x x      . Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x suy ra  ;0min ( ) ( 1) 3xf x f    . Vậy giá trị cần tìm của mlà 3m  . Bài 4.Cho hàm số 3 22 3 2 1 6 1 1y x m x m m x      . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng 2; . Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2' 6 6 2 1 6 1y x m x m m     có    22 1 4 1 1m m m      ' 0 .1x myx m   Suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;m và 1;m  . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2; khi và chỉ khi 1 2 1m m   . Bài 5. Cho hàm số 4 22 3 1y x mx m    . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 . Lời giải: + Tập xác định .D   Ta có 3 2' 4 4 4y x mx x x m   . + Nếu 0 ' 0, 1;2 0m y x m       thỏa mãn. + Nếu 0 ' 0m y   có nghiệm phân biệt , 0,x m x x m    . Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ;0 , ;m m . Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 1;2 khi và chỉ khi 1 1m m   . Vậy giá trị cần tìm của mlà ;1 . HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 12 Bài 6.Cho hàm số 3 21 2 2 2y x m x m x m       . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng 0; . Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2' 3 2 1 2 2y x m x m     Hàm số đồng biến trên khoảng 0; khi và chỉ khi 2' 3 2 1 2 2 0, 0;y x m x m x         23 2 2 1 4 0, 0;x x m x x           20;3 2 2( ) , 0; min ( )1 4xx xf x m x m f xx          Ta có  2222 6 31 73'( ) 0 6 3 0124 1x xf x x x xx         . Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên 0; suy ra  0;1 73 3 73min ( )12 8xf x f        . Vậy 3 738m là giá trị cần tìm. Bài 7. Cho hàm số 3 212 23y x x mx    . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên khoảng ;1 . Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2' 4y x x m   Vậy hàm số đồng biến trên khoảng ;1 khi và chỉ khi 2' 4 0, ;1y x x m x        2;1( ) 4 , ;1 max ( )xm f x x x x m f x           Ta có  ;1'( ) 4 2 0, ;1 max ( ) (1) 3xf x x x f x f          . Vậy 3m  là giá trị cần tìm. Bài 8. Cho hàm số 3 23 3 3 4y x mx x m     . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1. Lời giải: + Tập xác định D   . HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 13 Ta có 2' 3 2 1y x mx   Vậy hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài đúng bằng 1 khi và chỉ khi phương trình ' 0y  có 2 nghiệm 1 2,x x thỏa mãn 1 21x x  . Điều này tương đương với  2221 21 2 1 21' 1 0 (*)14 1mmx xx x x x         Theo định lý Vi – ét ta có 1 21 221x x mx x , thay vào (*) ta dược 221524 4 1mmm   . Vậy 52m      là giá trị cần tìm. Bài 9. Cho hàm số 3 2 21 2 3 2 2 1y x m x m m x m m       . Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên 2; Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2 2' 3 2 1 2 3 2 .y x m x m m      Hàm số đồng biến trên 2; khi và chỉ khi ' 0, 2y x   . 2 2( ) 3 2 1 2 3 2 0, 2;f x x m x m m x           Vì tam thức ( )f x có 2' 7 7 7 0,m m m      Nên ( )f x có hai nghiệm phân biệt: 1 21 ' 1 ';3 3m mx x       . Vậy 21( ) 0x xf xx x  Vậy hàm số đồng biến trên mỗi khoảng 1 2; , ;x x  . Vậy hàm số đồng biến trên đoạn 2; khi và chỉ khi  2225 0532 ' 5 2 .22 6 0' 5mmx m mm mm                 Vậy 32;2m    là giá trị cần tìm. HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 14 Bài 10.Cho hàm số    3 211 3 2 13y mx m x m x      Tìm tất cả các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên 2; . Lời giải: + Tập xác định D   . Ta có 2' 2 1 3 2y mx m x m     Vậy hàm số đồng biến trên khoảng 2; khi và chỉ khi 2' 2 1 3 2 0, 2;y mx m x m x           22;6 2( ), 2; max ( )2 3xxm f x x m f xx x          Ta có  22222 6 3'( ) 0 6 3 0 3 6 22 3x xf x x x xx x           . Lập bảng biến thiên của hàm số ( )f x trên 2; ta suy ra  2;2max ( ) (2) .3xf x f   Vậy 23m  là giá trị cần tìm. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1. Cho hàm số      3 2 212 2 3 13y m x m x m x m       . Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số đồng biến trên tập xác định. 1.2. Cho hàm số 4x myx m. Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số nghịch biến trên khoảng 1; 1.3. Tìm các giá trị của tham số mđể hàm số 3 21 4 3y x m x x     nghịch biến trên tập xác định. 1.4. Cho hàm số 3 23 4y x x mx     . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng 0; . 1.5. Cho hàm số 3 23 2 1 12 5 2y x m x m x      đồng biến trên cả hai khoảng ; 1  và 2; . 1.6. Cho hàm số 3 23y x x mx m    . Tìm m để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 1.7. Cho hàm số 3 24 3y x m x mx    . Tìm m để a. Hàm số đồng biến trên  HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 15 b. Hàm số đồng biến trên 0; c. Hàm số nghịch biến trên đoạn 1 1;2 2    d. Hàm số đồng biến trên đoạn có độ dài bằng 1. 1.8. Tìm m để hàm số    3 21 11 3 23 3y mx m x m x      đồng biến trên khoảng 2, 1.9. Tìm để hàm số 3 23 1 4y x x m x m     nghịch biến trên khoảng 1,1 . 1.10. Tìm m để hàm số  3 213 23my x mx m x    đồng biến trên  1.11. Tìm m để hàm số    3 212 1 13y mx m x m x m      đồng biến trên khoảng ,0 2,  1.12. Cho hàm số 4 2 22y x mx m    . Tìm m để a. Hàm số nghịch biến trên 1, b. Hàm số nghịch biến trên khoảng 1,0 2,3  1.13. Cho hàm số 1xyx m . Tìm m để a. Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó. b. Hàm số đồng biến trên khoảng 0, KHẢO SÁT SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA PT, HPT Phương pháp: Xét hàm số ( )f x liên tục trên miền D - Nếu ( )f x đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm trên D khi đó phương trình ( ) 0f x  nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất. - Nếu tồn tại ,a b D thỏa mãn ( ) ( ) 0f a f b  khi đó phương trình ( ) 0f x  có nghiệm 0,x a b . BÀI TẬP MẪU Bài 1. Chứng minh rằng phương trình 5 22 1 0x x x    có đúng 1 nghiệm thực. Lời giải: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Phương trình tương đương với :  251 0 0x x x    . Với  20 1 1x x   . Khi đó để phương trình có nghiệm thì 51 1x x   . Vậy ta xét nghiệm của phương trình trên khoảng 1, . Ta xét hàm số 5 2( ) 2 1f x x x x    liên tục trên  . Ta có 4 4 4'( ) 5 2 2 2 2 3 2 0, 1,f x x x x x x x           Do đó hàm số ( )f x đơn điệu tăng trên 1, . Do đó nếu có nghiệm thì phương trình đã cho sẽ có nghiệm duy nhất. Mặt khác ta lại có (1) 3; (2) 23 (1) (2) 0f f f f     . Vậy phương trình đã cho có nghiệm thực duy nhất. Bài 2. Chứng minh rằng phương trình .2 1xx  có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0,1 . Lời giải : Xét hàm số ( ) .2 1xf x x  trên khoảng 0,1 Ta có '( ) 2 2 ln 2 2 1 ln 2 0, 0,1x x xf x x x x       . Nên hàm số ( )f x đơn điệu tăng trong khoảng 0,1 . Mặt khác ta lại có (0) 1; (1) 1 (0). (1) 1 0f f f f       . Từ đó suy ra phương trình đã cho có nghiệm duy nhất trên khoảng 0,1 . Bài 3. Chứng minh rằng phương trình  21xexxcó nghiệm thực duy nhất trên đoạn 1,12   . Lời giải : Phương trình tương đương với :  21xe x x  Với 1,12x   ta lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình trên ta được ln 2ln 1 0 (*)x x x    . Ta xét hàm số ( ) ln 2ln 1f x x x x    liên tục trên đoạn 1,12    Ta có  21 2 2 1 1'( ) 1 0, ,11 1 2x xf x xx x x x           . Nên ( )f x đơn điệu giảm trên doạn 1,1 . Mặt khác ta có 1 1 3(1) 1 2ln 2 0; ln2 2ln 02 2 2f f            2 Từ đó suy ra phương trình (*) có nghiệm duy nhất trên    21 ,1 . 16 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 17 Bài 4. Chứng minh rằng phương trình  11xxx x có nghiệm thực dương duy nhất. Lời giải : Điều kiện : 0x . Lấy logarit tự nhiên hai vế của phương trình ta được : 1 ln ln 1 0x x x x    . Xét hàm số ( ) 1 ln ln 1f x x x x x    trên khoảng 0, . Ta có  1 2 1'( ) ln ln( 1) ln1 1 1x x x xf x x xx x x x x             Xét hàm số   2 1( ) ln , 0;1 1x xg x xx x x       . Ta có 21'( ) 0g xx  , nên hàm số ( )g x đơn điệu giảm trên khoảng 0, . Mặt khác ta có  2 1lim ( ) lim ln 01 1x xx xg xx x x           . Vậy ( ) 0, 0,g x x    . Từ đó suy ra '( ) 0, 0,f x x    . Vậy ( )f x là hàm đơn điệu tăng trên khoảng 0, . Mặt khác ta có (1) ln 2 0, lim ( ) lim ln .1xx xxf f x xx              Từ đó suy ra phương trình ( ) 0f x  có nghiệm duy nhất 01,x   . Ta có đpcm. BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ 1.1. Chứng minh rằng phương trình 5 310 9 1 0x x x    có 5 nghiệm thực phân biệt. 1.2. Chứng minh rằng phương trình  24 4 1 1xx  có đúng ba nghiệm thực phân biệt. 1.3. Chứng minh rằng với mỗi nguyên dương n thì phương trình 2 3 2 2 1 2012 2004n nx x x x x      có nghiệm thực duy nhất. 1.4. Chứng minh rằng phương trình :  20113 21 2 1 1 3 3 2 0x x x x x x         có nghiệm thực duy nhất. 1.5. Chứng minh rằng phương trình : *21 1 1 1 0,1 2nnx x x x n        luôn có nghiệm thực duy nhất thuộc khoảng 0,1 . 1.6. Chứng minh rằng phương trình : lg sinx x có đúng một nghiệm thực trên đoạn 3 5,2 2    . 1.7. Chứng minh rằng với mỗi n nguyên dương, 2n thì phương trình HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 2tan tan tan 02 2 2nx x x                       có nghiệm thực duy nhất trong khoảng 0,4 . 1.8. Cho 2 ,n k k  . Chứng minh rằng phương trình : 2 1 21 3 2 2012 0n n nn x n x       . 1.9. Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình sau luôn có nghiệm duy nhất 3 2 2 33 1 3 1 1 0x m x m x m      . 1.10. Chứng minh rằng phương trình 3 23 1 0x x   có ba nghiệm phân biệt 1 2 3x x x  thỏa mãn    1 21 2 32 2 2 27x xx x x     1.11. Chứng minh rằng với , ,A B C là ba góc của một tam giác thì phương trình sau luôn có 4 nghiệm phân biệt 223 sin sin sin2 2 2x xA B C   1.12. Chứng minh rằng với mọi m thì hệ sau luôn có nghiệm     2008 20082( ) ( ) 04 1f x f yx m y   , trong đó 2 2( ) 3 2 2 3f x x x x x     BÀI TOÁN VỀ SỰ TƯƠNG GIAO Phương trình hoành độ giao điểm của hai đường cong ( )y f x và ( )y g x Khi đó số giao điểm của hai đường cong chính là số nghiệm của phương trình (*). Trong kì thi Tuyển sinh Đại học và Cao đẳng chỉ xét bài toán giao điểm của đường thẳng với đồ thị của hàm số bậc ba, hàm trùng phương và đồ thị của hàm phân thức bậc nhất trên bậc nhất. Kiến thức cần vận dụng: Hai đường cong tiếp xúc nhau: Hai đường cong : ( )C y f x và ' : ( )C y g x tiếp xúc nhau khi và chỉ khi hệ phương trình: 0 00 0( ) ( )'( ) '( )f x g xf x g x có nghiệm 0x . Tương giao với hàm đa thức bậc ba:(i). Xét phương trình: y ax bx cx d a     3 2 0 (*), 0. Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi đồ thị hàm số 18 ( ) ( ) 0 (*)f x g x HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 19 3 20y ax bx cx d     có hai điểm cực trị thỏa mãn 0.CD CTy y  i.1- Nếu phân tích phương trình (*) thành   12120( ) (1)x xa x x x px qg x x px q       Khi đó phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khác 1x . 2104 0( ) 0ap qg x     i.2- Định lý Vi-ét 1 2 31 2 2 3 3 11 2 3 (1) (2) (3)bx x xacx x x x x xadx x xa      Một số biến đổi thường dùng:    22 2 21 2 3 1 2 3 1 2 2 3 3 12x x x x x x x x x x x x            33 3 31 2 3 1 2 3 3 1 2 1 2 33x x x x x x x x x x x x         i.3- Phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp cố cộng khi 1 3 22x x x  thay vào (1) suy ra 23bxa  , lúc này thay ngược vào phương trình (*) ban đầu sẽ tìm ra giá trị của tham số cần tìm. Tuy nhiên đây chưa phải là điều kiện cần và đủ do đó với mỗi giá trị của tham số tìm được cần giải lại phương trình xem phương trình có ba nghiệm lập thành cấp số cộng hay không. Lúc đó mới chấp nhận giá trị của tham số đó hay không. i.4- Một cách tương tự phương trình (*) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì 21 3 2x x x , lúc này ta thay vào (3),… (ii). Xét với 0a , ta có: ii.1- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ , khi và chỉ khi phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 1 2x x  và thỏa mãn 1 2( ) 0( ). ( ) 0yy x y x HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 20 ii.2- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt biệt có hoành độ , khi và chỉ khi phương trình ' 0y  có hai nghiệm phân biệt 1 2x x  và thỏa mãn 1 2( ) 0( ). ( ) 0yy x y x Với 0a , ta biến đổi phương trình hoành độ giao điểm về phương trình có hệ số adương và áp dụng với trường hợp 0a . Tương giao với hàm trùng phương : (i). Xét phương trình: 4 2, 0 (*)ax bx c a   Đặt 20t x  , khi đó phương trình trở thành 2( ) 0 (1)g t at bt c    i.1- Phương trình (*) có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt đều dương 204 000ab acbSacPa       Khi đó phương trình (1) có 2 nghiệm 1 20 t t  . Lúc này phương trình (*) sẽ có bốn nghiệm là: 1 2 2 1 3 1 4 2, , ,x t x t x t x t      i.2- Vậy phương trình (*) có bốn nghiệm lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 1 3 2 4 3 2 1 1 2 12 9x x x x x x t t t t t          Định lí Vi-ét với phương trình (1) ta lại có: 1 21 2bt tact ta   Lưu ý: Dạng toán này luôn cần thiết sử dụng đến định lí Vi-ét. BÀI TẬP MẪU Bài 1. Cho hàm số 3 22 1y x x m x m     (1),mlà tham số thực HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt có hoành độ 1 2 3, ,x x x thỏa mãn điều kiện 2 2 21 2 34x x x   Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 3 22 1 0x x m x m     21 0 1x x x m x      hoặc20 (*)x x m   Đồ thị của hàm số (1) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 1. Kí hiệu 21 2( ) ; 1,g x x x m x x    và 3x là các nghiệm của (*). Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi 2 22 30 1 4 01(1) 0 0 141 2 33mg m mmx x                và 0m  Vậy  1 0\1,4m    là giá trị càn tìm. Bài 2.Cho hàm số 4 21y x mx m    (1) Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 4 21 0x mx m    Đặt 20t x  , khi đó phương trình trở thành 21 0 (*)t mt m    . Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt đều dương  22 000 0 1 20 1 0mS m mP m              Bài 3. Cho hàm số 3 23 1y x x mx    (1) (m là tham số ) Tìm m để đường thẳng d y: 1 cắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt A0;1 , B C, sao cho các tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1) tại B và C vuông góc với nhau. Lời giải:Phương trình hoành độ giao điểm: x x mx3 2   3 1 1 21 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 23 0 0x x x m x     hoặc23 0(*)x x m   Kí hiệu 2( ) 3g x x x m   Đường thẳng dcắt đồ thị hàm số (1) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 0. 9 4 09, 0.(0) 04mm mg m        Khi đó hoành độ của ,B Clà nghiệm của phương trình (*) Hệ số góc của tiếp tuyến tại ,B Clần lượt là 2 21 23 6 ; 3 6B B C Ck x x m k x x m      Tiếp tuyến tại ,B Cvuông góc với nhau khi và chỉ khi 2 21 21 3 6 3 6 1B B C Ck k x x m x x m         2 23 3 2 3 3 3 2 3 1B B B C C Cx x m m x x x m m x           22 3 2 3 1 4 6 9 1(2)B C B C B Cm x m x m m x x x x           Theo định lí Vi-ét ta có 3B CB Cx xx x m  , khi đó (2) trở thành 29 654 9 1 08m m m      Bài 4.Cho hàm số 3 23 2y x m x m   (1) Tìm mđể đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng 2 điểm phân biệt. Lời giải: Đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 2 điểm phân biệt thì đồ thị hàm số (1) phải có hai điểm cực trị2 2' 3 3 0y x m    có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi 0 (*)m  Khi đó ' 0y x m    Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại đúng hai điểm khi và chỉ khi hoặc 0CTy  hoặc CD0y  3( ) 2 2 0 0 1y m m m m m         3( ) 2 2 0 0y m m m m       Chỉ có 1m  thỏa mãn điều kiện (*). Vậy giá trị cần tìm của m là 1m  hoặc 1m  Bài 5. Cho hàm số 4 22 1 2 1y x m x m     (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt có hoành độ lập thành cấp số cộng. Lời giải: 22 HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 23 Phương trình hoành độ giao điểm:4 22 1 2 1 0x m x m     Đặt 20t x  , khi đó phương trình trở thành 22 1 2 1 0 (*)t m t m     Để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm đều dương  20' 010 2 1 0 0 (2)202 1 0mS m mPm            . Khi đó (*) có hai nghiệm là 1 20 t t  . Suy ra hoành độ bốn giao điểm lần lượt là 1 2 2 1 3 1 4 2; ; ;x t x t x t x t      . Bốn điểm này lập thành cấp số cộng khi và chỉ khi 2 1 3 2 4 3 2 1 1 2 12 9x x x x x x t t t t t            41 9 1 5 4 149mm m m m m mm          thỏa mãn (2) Vậy giá trị cần tìm của mlà 4;49m     Bài 6.Cho hàm số 3 26 9 6y x x x C    . Tìm mđể đường thẳng : 2 4d y mx m   cắt đồ thị C tại ba điểm phân biệt. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 3 26 9 6 2 4x x x mx m      3 2 26 9 2 2 0 2 4 1 0x x m x m x x x m             2x hoặc24 1 0 (*)x x m    Kí hiệu 2( ) 4 1g x x x m    . Yêu cầu bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt, khác 2 ' 0 3 03(2) 0 3 0mmg m              Bài 7. Cho hàm số 3 22 3 1 6 2my x m x mx C     . Tìm mđể đồ thị mC cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Lời giải: HÀM SỐ VÀ CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN 24 Phương trình hoành độ giao điểm: 3 22 3 1 6 2 0x m x mx     3 2 22 3 2 3 2 (*)x x m x x     Nhận thấy 0, 2x x  không là nghiệm của phương trình (*), khi đó phương trình (*) tương đương với: 3 222 3 23 (1)2x xmx x  Xét hàm số 3 222 3 2( )2x xg xx x , ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên suy ra để phương trình (1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi 3 3 3 3 3 3 3 1 3 1 3m m         . Vậy 1 3,1 3m    là những giá trị cần tìm. Cách 2: Để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại duy nhất một điểm thì xảy ra một trong hai khả năng 1. Hàm số luôn đồng biến hoặc luôn nghịch biến. 2. Hàm số có cực đại, cực tiểu nhưng CÐ0CTy y  . Bạn đọc tự làm theo hướng này và so sánh với kết quả trên. Bài 8. Cho hàm số 32my x mx C   . Tìm mđể đồ thị mC cắt trục hoành tại một điểm duy nhất. Lời giải: Phương trình hoành độ giao điểm: 32 0x mx    22 0m x xx     , do 0x không là nghiệm của phương trình Xét hàm số 22( )f x xx   . Ta có 322 2'( ) 0 1.xf x xx    Ta có bảng biến thiên: