Bài tập giới hạn của dãy số.violet năm 2024
Chuyên đề giới hạn dãy số TOÁN LỚP 11 TUYỂN TẬP Các dạng bài tập về giới hạn dãy số violet RẤT HAY Show YOPOVN xin chia sẻ tài liệu Hướng dẫn giải các bài tập nâng cao giới hạn của dãy số được chọn lọc từ các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia, quốc tế. Với chia sẻ Chuyên đề giới hạn dãy số TOÁN LỚP 11 TUYỂN TẬP Các dạng bài tập về giới hạn dãy số violet RẤT HAY này. Thầy cô có thể ôn tập cho học sinh, các em cũng có thêm tài liệu để học tập, nghiên cứu.
Bài viết trên đã giới thiệu cho các em phần lý thuyết cơ bản và các dạng bài về giới hạn của dãy số. Đây là một phần kiến thức khó và quan trọng trong chương trình toán 11 nên để đạt được kết quả tốt nhất các em học cần phải nắm rõ lý thuyết và rèn luyện thêm các dạng bài tập. Các em học sinh có thể truy cập nền tảng Vuihoc.vn và đăng ký tài khoản để luyện đề ngay hôm nay nhé! Tài liệu gồm 36 trang, tóm tắt lý thuyết SGK, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập trắc nghiệm chuyên đề giới hạn của dãy số, có đáp án và lời giải chi tiết; giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected] BÀI VIẾT LIÊN QUANBài viết Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11. Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập1. Lý thuyết
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
Ta nói rằng dãy số (un) có giới hạn là số thực L nếu lim (un – L) = 0 Kí hiệu: hay lim un = L hay un → L khi n → +∞.
Dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi. Ký hiệu : lim un \= +∞ hoặc un → +∞ khi n → +∞ Dãy số (un) có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim(−un) = +∞ Ký hiệu : lim un = −∞ hoặc un → −∞ khi n → +∞
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0 ; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*)
* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có : lim(un + vn) = a + b lim(un - vn) = a - b lim(un vn) = a.b
lim(cun ) = c.a lim|un | = |a|
Nếu un ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu thì lim un = a. Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu thì lim un = 0.
* Quy tắc tìm giới hạn tích lim (unvn) Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ * Quy tắc tìm giới hạn thương lim un = L lim vn Dấu của vn
L ±∞ Tùy ý 0 L > 0 0 + +∞ 0 - −∞ L < 0 0 + −∞ 0 - +∞
Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: 2. Các dạng toán Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt Phương pháp giải: Sử dụng các giới hạn đặc biệt: lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0 ; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức Phương pháp giải: Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk (với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất). Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất. Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt: lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0 ; ,(k > 0, k ∈ ℕ*); lim nk = +∞,(k > 0, k ∈ ℕ*) Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp (thường sử dụng trong các bài toán chứa căn)
Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Lời giải
Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức Phương pháp giải: Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung. Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Vì lim n4 = +∞; .
Vì lim n3 = +∞;
Vì lim 5n = +∞ và . Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau Lời giải
Vì
Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức Phương pháp giải: Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung. Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim (unvn) Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ (hay −∞). Khi đó: lim (unvn) lim un = L lim vn lim (unvn) + +∞ +∞ + −∞ −∞ - +∞ −∞ - −∞ +∞ Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau . Lời giải
Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp Phương pháp giải: Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu thì lim un = a Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu thì lim un = 0. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
Lời giải Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi Phương pháp giải: Cho dãy số (un) ở dạng công thức truy hồi, biết (un) có giới hạn hữu hạn Giả sử lim un = a (a là số thực) thì lim un+1 = a. Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a. Ta được giới hạn của (un) là lim un = a. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): . Lời giải Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a Suy ra ⇒ a2 + 2a = 2a + 3 ⇔ a2 = 3 ⇔ . Do u1 = 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên a > 0 ⇒ Vậy . Ví dụ 2: Tìm lim un biết (un) có giới hạn hữu hạn và (un): . Lời giải Vì Giả sử lim un = a (a > 0), khi đó lim un+1 = a Suy ra Vậy lim un = 2. Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn Phương pháp giải: * Rút gọn (un) (sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội) * Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp. * Định lí kẹp: Cho ba dãy số (vn); (un) và (wn): Nếu thì lim un = a Hệ quả: Cho hai dãy số (un) và (vn): Nếu thì lim un = 0. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1. Tổng n số hạng của cấp số cộng: Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 32 ; 33 ; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có (n+1) số hạng với u1 = 1 và q = 3. Tổng (n + 1) số hạng của cấp số nhân:
(Bằng quy nạp ta luôn có n < 2n ,∀n ∈ ℕ* và 3n > 1, ∀n ∈ ℕ* ⇒ 3n+1 − 3n = 2.3n > 2 >1 ⇒ 3n+1 − 1 > 3n). Ví dụ 2: Tính giới hạn sau: Lời giải Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn Phương pháp giải: Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là: Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính tổng Lời giải
Nên
Nên Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
Lời giải
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với Nên
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với Nên 3. Bài tập tự luyện Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0? Câu 4. Tính giới hạn bằng
Câu 5. Cho dãy số (un) với. Khi đó lim un bằng
Câu 6. Cho dãy số (un) với. Khi đó lim un bằng
Câu 7. Tính bằng:
Câu 8. Tính bằng: Câu 9. Tính bằng:
Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
Câu 11. Cho dãy số (un) được xác định bởi u1 = 1, với mọi n ≥ 1. Biết dãy số (un) có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
Câu 12. Giới hạn dãy số (un) với là. Câu 13. Chọn kết quả đúng của
Câu 14. Tổng bằng:
Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số: Bảng đáp án 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 C D D A A B B C D D B A D B B Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:
Săn shopee siêu SALE :
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85 Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS. Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube: Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn. |
