Bài tập không gian sinh bởi hệ vecto
|
Để nhận biết các đặc điểm lâm sàng, cận lâm sàng và các bất thường di truyền liên quan đến tình trạng không có tinh trùng không do tắc, chúng tôi tiến hành nghiên cứu trên 501 bệnh nhân nam vô sinh không có tinh trùng không do tắc. Kết quả cho thấytuổi trung bình của nhóm nghiên cứu là 29,8± 5,5tuổi. Tỷ lệ vô sinh nguyên phát chiếm 90,3%. Tiền sử viêm tinh hoàn do quai bị chiếm tỉ lệ 38,6%. Nồng độ hormon FSH, LH, Testosterone huyết thanh trung bình lần lượt là 31,6 ± 16,5 mIU/ml, 15,5 ± 10 mIU/ml, 12,8 ± 7,13 nmol/l. Bất thường NST chiếm tỉ lệ 30,7%, trong đó bất thường số lượng NST với Karyotype 47,XXY chiếm tỉ lệ 27,3%. Đột biến mất đoạn nhỏ AZF chiếm tỉ lệ 13,8%, trong đó mất đoạnAZFc có tỉ lệ cao nhất với 42,1%, mất đoạn AZFa 2,6%, mất đoạn AZFd chiếm 5,3%, không có mất đoạn AZFb đơn độc mà phối hợp với các mất đoạn khác với tỉ lệ là 34,2%. Nghiên cứu của chúng tôi cho thấy viêm tinh hoàn do quai bị và các bất thường di truyền là những nguyên nhân chính dẫn tới tình trạng không... Show \(\begin{array}{l} (i)\,\,\forall x,y \in A,x + y \in A\\ (ii)\,\forall \alpha \in R,\forall x \in A,\alpha x \in A \end{array}\) Ví dụ: Cho \(A = {\rm{\{ }}({x_1};1)/{x_1} \in R{\rm{\} }}\). A có phải là không gian vectơ con của R2 không ? Giải: Ta có: 2.(0; 1) = (0,2) \(\notin \) A Vậy, tính chất (ii) không thỏa nên A không phải là không gian vectơ con của R2. Ví dụ: Cho \(A = \left\{ {({x_1};{x_2}) \in {R^2}/{x_2} = 3{x_1}} \right\}\). A có phải là không gian vectơcon của R2 không ? Giải: \((i)\,Coi\,x = ({x_1};{x_2}) \in A,\,y = ({y_1};{y_2}) \in A\,\,thì\,{x_2} = 3{x_2}\,và\,{y_2} = 3{y_1}\) Suy ra: \(x + y = ({x_1} + {y_1};{x_2} + {y_2}) \in A\,\,vì\,{x_2} + {y_2} = 3({x_1} + {y_1})\) \((ii)\,\,Coi\,\alpha \in R,x = ({x_1};{x_2}) \in A\,thì\,{x_2} = 3x\) Suy ra: \(\alpha x = (\alpha {x_1};\alpha {x_2}) \in A\,vì\,\alpha {x_2} = 3(\alpha {x_1})\) Vậy, A là một không gian vectơ con của R2. Trong R2:
Trong R3:
Từ định nghĩa của không gian vectơ con, ta chứng minh được: Nếu A là không gian vectơ con của Rn thì A chứa vectơ không Vậy nếu A không chứa vecto không thì A không phải là không gian vectơ con. Ví dụ: A ={(x1; 1)} không phải là không gian con của R2 vì A không chứa vectơ không. 2. Không gian vectơ con sinh bởi hệ vectơ.Cho V là hệ gồm m vectơ trong Rn. Tập hợp tất cả các tổ hợp tuyến tính của m vectơ đó tạo thành một không gian con của Rn gọi là không gian sinh bởi V, ký hiệu \(\left\langle V \right\rangle \). Không gian \(\left\langle V \right\rangle \) có số chiều bằng số vectơ độc lập tuyến tính tối đa của hệ vectơ đó. Ví dụ: Cho hệ vectơ V = {(1;0;0),(0:1;0),(1;1;0)}. Tìm không gian con sinh bởi V và số chiều của không gian con này. Giải Ta có: (1;1;0) = (1;0;0) + (0;1;0) {(1;0;0),(0;1;0)} độc lập tuyến tính. Tổ hợp tuyến tính tùy ý của {(1; 0; 0), (0; 1; 0)} có dạng x1 (1; 0; 0) + x2 (0; 1; 0) = (x1 ; x2 ; 0)
Giải. a) 2 1 1 2 3 4 3 0 3 1 2 Hệ đã cho độc lập tuyến tính. b) 3 2 4 2 2 0 0 1 2 4 Hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính.
1123 D1 ( 2) D 2D1 ( 3) D3 1123 D 2 ( 1) D3 1 1 2 3 A 2 3 2 4 0 5 6 10 0 5 4 10 3 2 0 1 0 5 6 10 0 0 0 0 r(A) 2 r(U) 2 < số vectơ = 3 Hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính. Bài 3. Biểu diễn véc tơ a qua các véc tơ u 1 , u 2 , u 3
Giải.
13 123123 1 2 3 1 2 3 x 2x 4 2x x 4x 9 x 2, x 1, x 1 x 2x x 3 x 2x x 1 a 2u 1 u 2 u 3
12 1 2 3 1 2 3 1 2 3 x +2x 3 x x x 0 x 1, x 1, x 2 2x 4x x 4 a u 1 u 2 2u 3 Bài 3. Trong R 3 , hệ véc tơ nào sau đây là cơ sở của R 3 a) U = {u = (1 ; -2 ; 3)} b) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -2) ; u 2 = (3 ; 0 ; 1)} c) U = {u 1 =(1 ; -2 ; 1) ;u 2 = (1 ;-3 ; - 4) ; u 3 = (2 ; -5 ; - 3) } d) U = {u 1 = (1 ; -1 ; -3) ;u 2 = (0 ; 0 ; 0); u 3 = (5 ; -4 ; 0)} e) U = {u 1 = (1 ; 1 ; 0) ; u 2 = (-1 ; 1 ; 2); u 3 = (2 ; 0 ; 1) ; u 4 = (1 ; 2 ; 3)} f) U = {u 1 = (1 ; 1 ; -2) ; u 2 = (0 ; -1 ; 1) ; u 3 = (0 ; 0 ; 2)} Giải. Để một hệ vectơ là một cơ sở của R 3 thì hệ đó phải có đúng 3 vectơ và là hệ độc lập tuyến tính. a) Hệ đã cho không là cơ sở của R 3 vì hệ này có 1 vectơ. b) Hệ đã cho không là cơ sở của R 3 vì hệ này có 2 vectơ. c) Hệ đã cho có đúng 3 vectơ. 1 2 1 1 3 4 0 253 Hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính Hệ đã cho không là một cơ sở của R 3 d) Hệ đã cho có đúng 3 vectơ. 1 1 3 0 0 0 0 5 4 0 Hệ đã cho phụ thuộc tuyến tính Hệ đã cho không là một cơ sở của R 3. D 2 D3 D 2 2 D3D 2 m D 4 1 1 1 2 1 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 0 2 1 2 0 0 1 6 0 m m 2m 0 0 2m 4m D3 ( 2m ) D 4 1 1 1 2 0 1 1 2 0 0 1 6 0 0 0 8m +) Nếu m0 thì r(A) 3 r(U) 3. +) Nếu m0 thì r(A) 4 r(U) 4. Bài 3. Tập hợp nào sau đây là không gian con của không gian R 3
Lấy (x ; 0; x ), (y ; 0; y ) F, 1 2 1 2 R, ta có (x ; 0; x ) (y ; 0; y ) (x 1 2 1 2 1 y ; 0; x 1 2 y ) F 2. (x ; 0; x ) ( x ; 0; x ) F 1 2 1 2. Suy ra F là một không gian vectơ con của không gian R 3. Lấy (x ; 0; x ) F 12 , ta có (x ; 0; x ) x (1; 0; 0) x (0; 0;1) 1 2 1 2. {(1; 0; 0), (0; 0;1)} là một hệ sinh của F. Mặt khác, hệ vectơ {(1; 0; 0), (0; 0;1)} là hệ độc lập tuyến tính vì hai vectơ trong hệ không tỷ lệ với nhau. Vậy, {(1; 0; 0), (0; 0;1)} là một cơ sở của F và dim F 2.
(x ; 0;1) (y ; 0;1) (x 1 1 1 y ; 0; 2) F 1 . Suy ra F không là không gian vectơ con của không gian R 3.
Lấy (a ; b ; a 1 1 1 2b ), (a ; b ; a 1 2 2 2 2b ) F 2 , ta có (a ; b ; a 1 1 1 2b ) (a ; b ; a 1 2 2 2 2b ) (a 2 1 a ; b 2 1 b ; (a 2 1 a ) 2(b 2 1 b )) F 2. (a ; b ; a 1 1 1 2b ) ( a ; b ; a 1 1 1 1 2 b ) F 1. Suy ra F là một không gian vectơ con của không gian R 3. Lấy (a; b; a 2b) F, ta có (a; b; a 2b) a(1; 0;1) b(0;1; 2) . {(1; 0;1), (0;1; 2)} là một hệ sinh của F. Mặt khác, hai vectơ(1; 0;1), (0;1; 2) không tỷ lệ với nhau nên nó là hệ độc lập tuyến tính. Vậy, (1; 0;1), (0;1; 2) là một cơ sở của F và dim F 2.
x y ( x 1 y x 1 , 2 y x 2 , 3 y 3 ) và 1 2 3 1 2 3 2 1 2 1 x x x y y y . Suy ra ( x 1 y 1 )2 ( x 2 y 2 )( x 3 y 3 ) ( x 1 2 x 2 x 3 ) ( y 1 2 y 2 y 3 ) 2. Vậy x y F , tức là F không là không gian vectơ con của không gian R 3. Bài 3. Tìm cơ sở và số chiều của không gian con F của R 3 sinh bởi hệ véc tơ sau
1 0 0 A 110 1 1 1 1 2 3 . Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A về ma trận bậc thang như sau: D1 ( 1) Di,i 2,3, 1 0 0 1 0 0 A 110010 1 1 1 0 1 1 1 2 3 0 2 3 D 2 D3D 2 ( 2) D 4 D3 ( 3) D 4 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 3 0 0 0 . Vậy dim F r(U) r(A) 3 . Một cơ sở của F là {(1; 0; 0); (0; 1; 0), (0; 0; 1)} hoặc {}u 1 1 ; 0 ; 0 ; u 2 1 ; 1 ; 0 ; u 3 1 ; 1 ; 1 .
1 0 0 A 1 1 0 1 1 1 . Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp trên dòng để đưa A về ma trận bậc thang như sau: 100 D1 ( 1) D 2D1 D3 100 D 2 D3 1 0 0 A 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 . Vậy dim F r(U) r(A) 3 . Một cơ sở của F là: {(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0;1)} hoặc u 1 1 ; 0 ; 0 ; u 2 1 ; 1 ; 0 ; u 3 1 ; 1 ; 1.Bài 3. Tìm m để hệ véc tơ sau là cơ sở của không gian R 3
3 1 m 1 1 0 0 m 0 2 1 m .
1 2 2 0 1 1 0 m 1 0 m 1 1 1 m . Bài 3. Cho tập F ( ; ; ) x y z R ax by z 3 : 0; , a b R
####### a) Vì (0, 0, 0) F nên F . Lấy u ( , , ), x y z v 1 1 1 ( , , ) x y z 2 2 2 F , , ta có 1 1 1 2 2 2 0 0 ax by z ax by z . Mặt khác ####### u v ( x 1 x y 2 , 1 y z 2 , 1 z 2 ), u ( x 1 , y 1 , z 1 ). Ta lại có 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ) 0 ( 0 a x x b y y z z ax by z ax by z ####### a x b y z ax by z . ####### Suy ra u v F u , F. Vậy F là không gian vectơ con của R 3.
Bài 3. Cho tập x y 0 F )z;y;x( R 3 : x y2 mz 0 (m là tham số)
####### a) Vì (0, 0, 0) F nên F . Lấy u ( , , ), x y z v 1 1 1 ( , , ) x y z 2 2 2 F và . Ta có Ta lại có 1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 1 1 1 1 1 1 2( ) 3( ) 2( ) 2 3 2 ) 2 3 2 ) 2( ) 3( ) 2( ) 2 3 2 ) ( ( 0 ( 0 x x y y z z x y z x y z ####### x y z x y z. ####### Suy ra u v F u , F. Vậy F là không gian vectơ con của R 3.
, , 33 (1, 0,1) 0,1, 22 u x y x y x y . Suy ra (1, 0,1), 0,1, 32 là một hệ sinh của F. Mặt khác, hệ (1, 0,1), 0,1, 32 độc lập tuyến tính nên (1, 0,1), 0,1, 32 là một cơ sở của F và dim F 2. Bài 3. Cho hệ v éc tơ a 1 = (2; 1; 0); a 2 = (-1; 1; 1); a 3 = (1; 2; -1) và các v éc tơ b 1 = a 1 – a 2 ; b 2 = 2a 2 – a 3 ; b 3 = a 1 – 2a 3. a) Xét sự độc lập tuyến tính và phụ thuộc tuyến tính của hệ véc tơ {b 1 , b 2 , b 3 } b) Biểu diễn véc tơ x = (3; 1; -1) qua hệ véc tơ {b 1 , b 2 , b 3 } Giải. a) Ta có b 1 (3; 0; 1), b 2 ( 3; 0;3), b 3 (0; 3; 2). 3 0 1 3 0 3 18 0 0 3 2 . Vậy hệ b , b , b 1 2 3 độc lập tuyến tính.
1 12 32 1 2 3 3 x 4 3x 3x 3 3 3x 1 x 1 x 3x 2x 1 3 x 1 3 . Vậy, x 43 b 1 13 b 2 13 b 3. Bài 3. Cho E, F là các không gian véc tơ con của Rn. Hỏi EF có là không gian con của Rn hay không? Giải. Ta lấy ví dụ về hợp của hai không gian vectơ con của Rn không phải là không gian vectơ con của Rn. Xét 11 n E(x , 0, 0,..., 0) | x R thμnh phÇn {} và 22 n F(0, x , 0,..., 0) | x R thμnh phÇn {}. Rõ ràng E và F là hai không gian vectơ con của Rn. Ta thấy nn (1, 0, 0,..., 0), (0,1, 0,..., 0) EF thμnh phÇn thμnh phÇn nhưng nn (1, 0, 0,..., 0) (0,1, 0,..., 0) (1,1, 0,..., 0) E F thμnh phÇn thμnh phÇn . Vậy EF không phải là không gian vectơ con của Rn. Bài 3. Trong R 4 , cho hệ véc tơ U = {u 1 =(-1; 2;1;2); u 2 =(1; m; 1; 3); u 3 =(1; -1; -1; -1); u 4 =(-1; 2; m; 2); u 5 =(1; 1; -1; 1)} Tìm một cơ sở không gian con L(U). Giải. Trước hết ta thực hiện các phép biến đổi sơ cấp trên dòng đối với ma trận sau D1 Di,i 2,3,5D1 ( 1) D 4 1 2 1 2 1 2 1 2 1 m 1 3 0 m 2 2 5 A 1 1 1 1 0 1 0 1 1 2 m 2 0 0 m 1 0 1 1 1 1 0 3 0 3 D3 ( 3) D5 D 2 D 1 2 1 2 1 2 1 2 0 m 2 2 5 0 1 0 1 0 1 0 1 0 m 2 2 5 0 0 m 1 0 0 0 m 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 . D 2 ( m 2) D3 D3 m1 2 D 4 1 2 1 2 1 2 1 2 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 2 3 m 0 0 2 3 m B 0 0 m 1 00 0 0 (m 1)(m 3) 0 0 0 0 2 0 0 0 0 . Xét ma trận B. D1 ( 2) D 2D1 ( 2) D D1 D 2 D1 ( 1) D 4 2 3 3 1 1 1 3 3 1 1 3 3 1 1 3 3 2 3 3 1 0 5 3 7 2 3 1 a 2 3 1 a 0 5 5 a 6 1 1 b 1 1 1 b 1 0 0 b 3 2 D 2 ( 1) D 1133537 053702 a 1 5 2 a 1 5(7 ab 3a b) 0 0 2 a 1 0 b 3 2 b 3 2 0 0 b 3 2 . Vậy, để U là một cơ sở của R 4 thì 7 ab 3a b 0. b) Với a = -1, b = 2 thì hệ U trở thành U = {u 1 = (2; 3; 3; -1); u 2 = (1; -1; 3; 3); u 3 = (2; 3; 1; -1); u 4 = (1; -1; 2; 1)} Giả sử X x u 1 1 x u 2 2 x u3 3 x u 4 4. Từ đó, ta có hệ phương trình tuyến tính sau 1 2 3 4 1 1 2 3 4 2 1 2 3 4 3 1 2 3 4 4 2x x 2x x 2 x 3x x 3x x 3 x 3x 3x x 2x 0 x x 3x x x 1 x Vậy X u 1 u 2 2u 3 u 4. Bài 3. Cho các tập con của R 3 : E )z;y;x( R 3 x: y2 z 0 x2 y3 mz 0 F )z;y;x( R 3 : x y z2 0 Tìm m để EF là không gian con của R 3 có số chiều bằng 1. Giải. Ta có 3 x 2y z 0 E F= (x; y ; z) R : x y 2z 0 2x 3y mz 0 . Cách 1 : 3 x 2y z 0 E F= (x; y ; z) R : y z 0 (m 3)z 0 +) Trường hợp m3 : EF={(0; 0; 0)}dim(EF)=0. +) Trường hợp m3 : EF= (x; y ; z) R : 3 x 2y z 0 y z 0 ( 3z; z ; z) :z R Lấy u EF thì u ( 3z; z ; z) z( 3; 1;1) . Vậy, {( 3; 1;1)} là một hệ sinh của EF. Mặt khác, {( 3; 1;1)} là hệ độc lập tuyến tính. Suy ra {( 3; 1;1)} là một cơ sở của EF. Vậy dim(EF) 1. Vậy, giá trị của m cần tìm là: m3. Cách 2 : Số chiều của EF chính là số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất x 2y z 0 x y 2z 0 2x 3y mz 0 . Mà số chiều của không gian nghiệm của hệ phương trình thuần nhất bằng: số ẩn của hệ phương trình – hạng của ma trận hệ số A = 3 – r(A), với 1 2 1 A 1 1 2 2 3 m . Vậy, để số chiều của EF bằng 1 thì r(A) phải bằng 2. Ta sử dụng các phép biến đổi sơ cấp để đưa ma trận A về ma trận bậc thang như sau: 121 D1 ( 1) D 2D1 ( 2) D3 121 D1 ( 1) D3 1 2 1 A 1 1 2 0 1 1 0 1 1 2 3 m 0 1 m 2 0 0 m 3 . Để r(A) 2 thì m 3 0 hay m3. Bài 3. Trong R 4 , cho hệ véc tơ U = {u 1 = (1; 2; a; 1); u 2 = (a; 1; 2; 3); u 3 = (0; 1; b; 0)} a) Xác định a, b để hệ U là phụ thuộc tuyến tính. b) Với a, b tìm được, hãy t ìm một cơ sở và số chiều của L(U). Giải. a) Để U phụ thuộc tuyến tính thì r(U) 3. Hạng của U bằng hạng của ma trận sau: D1 ( a ) D 2 2 1 2 a 1 1 2 a 1 A a 1 2 3 0 1 2a 2 a 3 a 0 1 b 0 0 1 b 0 ( 1;1;1;1) (1; 0; 0;1) (0;1;1; 2). Do đó (x z; y; y z; x 2y) x(1;0;0;1) y(0;1;1; 2) z(1;0;1;0) (x 1)(1; 0; 0;1) (y 1)(0;1;1; 2) z(1; 0;1; 0) ( (1; 0; 0;1) (0;1; 1; 2)) (x 1)(1; 0; 0;1) (y 1)(0;1;1; 2) z(1; 0;1; 0) ( 1;1;1;1) Vậy V là một hệ sinh của F. b)
(x z; y; y z; x 2y) x(1;0;0;1) y(0;1;1; 2) z(1;0;1;0) Suy ra {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)} là một hệ sinh của F. Ta tính hạng của hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)}. D1 ( 1) D 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 r {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)} =3 hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)}độc lậptuyến tính hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)} là một cơ sở của F.
( 1;1;1;1) (1; 0; 0;1) (0;1;1; 2) 0.(1; 0;1; 0) hệ {(1; 0; 0;1), (0;1;1; 2), (1; 0;1; 0)} là một hệ con độc lập tuyến tính tối đại của V. Vậy r(V) 3. Cách 2: Hạng của V là hạng của ma trận sau: D1 ( 1) D3D1 D 4 D 2 ( 1) D 4 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 2 0 1 1 2 0 1 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 0 0 0 0 Vậy r(V) 3.
a 1; 1; 1; 3 x 1 1; 0; 0; 1 x 0; 1; 1; 2 2 x 1; 0; 1; 0 3 x 4 1; 1; 1 1; 1 3 4 24 234 1 2 4 x x x 1 x x 1 x x x 1 x 2x x 3 (*) D1 ( 1) D 4 1 0 1 1 : 1 1 0 1 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 1 1 1 : 1 0 1 1 1 : 1 1 2 0 1 : 3 0 2 1 2 : 2 D 2 ( 1) D3D 2 ( 2) D 4 D3 D 4 1 0 1 1 : 1 1 0 1 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 1 0 1 : 1 0 0 1 0 : 0 0 0 1 0 : 0 0 0 1 0 : 0 0 0 0 0 : 0 Vậy, hạng của ma trận hệ số của hệ () bằng hạng của ma trận bổ sung của hệ () và bằng 3. Suy ra hệ (*) có vô số nghiệm. Điều đó có nghĩa là vectơ a = (1; 1; 1; 3) là một tổ hợp tuyến t ính của các vectơ của V. |
