Bài tập phương trình bậc 2 và hệ thức Viet
Định lý Viet là một kiến thức quan trọng ở bậc THCS mà bạn cần phải nhớ khi muốn học tốt toán. Không chỉ có trong bài kiểm tra, thi học kì mà còn xuất hiện nhiều trong đề thi học sinh giỏi, thi vào 10. Do đó, hôm nay ToanHoc.org gửi tới bạn nội dung định lý Viet thuận, định lý viet đảo, hệ thức viet và những ứng dụng của nó. Mời bạn theo dõi ngay sau đây Show
1. Định lý viet bậc 2Định lý Viet thuận: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) thì $\left\{ \begin{array}{l} S = {x_1} + {x_2} = – \frac{b}{a}\\ P = {x_1}{x_2} = \frac{c}{a} \end{array} \right.$ Định lý Viet đảo: Nếu có 2 số x1, x2 thỏa mãn $\left\{ \begin{array}{l} {x_1} + {x_2} = S\\ {x_1}{x_2} = P \end{array} \right.$ thì chúng là nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn: t2 – St + P = 0 (điều kiện để tồn tại 2 số x1, x2 là S2 – 4P ≥ 0) Áp dụng: Nhờ định lý Viet, nếu đã biết một nghiệm của phương trình bậc 2 thì có thể suy ra nghiệm kia. Lưu ý: Trước khi áp dụng hệ thức Vi-ét cần tìm điều kiện để pt có hai nghiệm $\left\{ \begin{array}{l} a \ne 0\\ \Delta \ge 0 \end{array} \right.$ 2. Các dạng bài tập định lý VietDạng 1. Dựa định lý Viet để tính nhẩm nghiệmThường thì khi gặp bài toán giải phương trình bậc 2, nhiều bạn dùng ngay biệt thức Δ để suy ra các nghiệm x1, x2 (nếu có). Tuy nhiên dựa vào hệ thức Viet ta có một cách tính nhẩm nhanh hơn Ví dụ: Tìm nghiệm của phương trình sau a) ($\sqrt 3 $ – 1)x2 – 4x – ($\sqrt 3 $ – 5 ) = 0 b) (m + 4)x2 – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1 Lời giải a) ($\sqrt 3 $ – 1)x2 – 4x – ($\sqrt 3 $ – 5 ) = 0 Ta thấy: a + b + c = ($\sqrt 3 $ – 1) – 4 – (($\sqrt 3 $ – 5) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = $\frac{{ – \left( {\sqrt 3 – 5} \right)}}{{\sqrt 3 – 1}}$ b) (m + 4)x2 – (2m + 3)x + m – 1 = 0 với m ≠ 1 Ta thấy a – b + c = (m + 3) – (2m + 3) + (m – 1) = 0 => PT có 2 nghiệm là x1 = – 1 và x2 = $\frac{{ – \left( {m – 1} \right)}}{{m + 4}} = \frac{{1 – m}}{{m + 4}}$ Nhận xét: Qua ví dụ thứ 2, bạn đồng ý với mình rằng phương pháp này giúp giải pt đặc biệt trở nên siêu nhanh! Dạng 2. Tính giá trị của biểu thức giữa các nghiệmNếu ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có hai nghiệm x1, x2 thì ta có thể biểu thị các biểu thức đối xứng giữa các nghiệm theo S = x1 + x2 và P = x1.x2. Ví dụ: Chú ý: Khi tính giá trị của một biểu thức giữa các nghiệm thông thường ta biến đổi sao cho trong biểu thức đó xuất hiện tổng và tích các nghiệm rồi áp dụng định lý Vi-ét để giải. Dạng 3. Tìm hai số khi biết tổng và tíchDựa vào định lý Viet đảo, ta có: Ví dụ: Tính các kích thước của hình chữ nhật ABCD. Biết diện tích và chu vi của nó theo thứ tự là 2a2 và 6a . Lời giải Gọi các kích thước của hình chữ nhật là x, y với x, y > 0 Dạng 4. Phân tích tam thức bâc hai thành nhân tửGiả sử ax2 + bx + c = 0 ( với a ≠ 0) có Δ ≥ 0 Ví dụ: Phân tích 3x2 + 5x – 8 thành nhân tử Giải Nhận xét: 3x2 + 5x – 8 = 0 có a + b + c = 3 + 5 – 8 = 0 => có 2 nghiệm là x1 = 1 và x2 = $\frac{c}{a} = \frac{{ – 8}}{3} = – \frac{8}{3}$ Khi này tam thức 3x2 + 5x – 8 = (x – 1)(x + $\frac{8}{3}$) Dạng 5. Tìm điều kiện của tham số để phương trình bậc 2 có một nghiệm x = x1 cho trước. Tìm nghiệm thứ haiTìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 cho trước ta có thể làm theo 1 trong 2 cách sau Cách 1:
Cách 2:
Nếu sau khi thay giá trị của tham số vào phương trình đã cho mà có Δ < 0 thì kết luận không có giá trị nào của tham số để phương trình có nghiệm x1 cho trước. Để tìm nghiệm thứ hai ta có thể làm như sau
Ví dụ: Với giá trị nào của k thì: a) Phương trình 2x2 + kx – 10 = 0 có một nghiệm x = 2. Tìm nghiệm kia b) Phương trình (k – 5)x2 – (k – 2)x + 2k = 0 có một nghiệm x = – 2. Tìm nghiệm kia c) Phương trình kx2 – kx – 72 có một nghiệm x = – 3. Tìm nghiệm kia? Lời giải Dạng 6. Xác định tham số để các nghiệm của phương trình bậc 2 thỏa mãn hệ một điều kiện cho trước.“Điều kiện cho trước” ở đây có thể là các nghiệm của phương trình bậc hai thỏa mãn một đẳng thức hoặc bất đẳng thức hoặc để một biểu thức của các nghiệm của phương trình bậc hai đạt gtln, gtnn v.v…. Chú ý: Sau khi tìm được tham số ta phải đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm. Ví dụ: Cho phương trình: x2 – 6x + m = 0. Tính giá trị của m biết phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện: x1 – x2 = 4 Lời giải Dạng 7. Lập phương trình bậc trình bậc hai một ẩn khi biết hai nghiệm của nó hoặc hai nghiệm có liên quan tới hai nghiệm của một phương trình đã choĐể lập phương trình bậc hai khi biết hai nghiệm là α và β ta cần phải tính α + β và α.β, áp dụng định lý vi-ét đảo ta có phương trình cần lập là: x2 – (α + β)x + α.β = 0 Ví dụ: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 – 7x + 3 = 0.Hãy lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là 2x1 – x2 và 2x2 – x1. Lời giải Dạng 8. Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham sốĐể tìm hệ thức liên hệ giữa các nghiệm không phụ thuộc váo tham số trong phương trình bậc 2 ta làm như sau Ví dụ: Cho phương trình 8x2 – 4(m – 2)x + m(m – 4) = 0. Định m để phương trình có hai nghiệm x1, x2. Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m, suy ra vị trí của các nghiệm với hai số – 1 và 1. Lời giải Phương trình đã cho là phương trình bậc 2 có Dạng 9. Chứng minh hệ thức giữa các nghiệm của phương trình bậc 2 hoặc hai phương trình bậc 2Ví dụ: Chứng minh rằng nếu a1, a2 là các nghiệm của phương trình x2 + px + 1 = 0 và b1, b2 là các nghiệm của phương trình x2 + qx + 1 = 0 thì (a1 – b1)(a2 – b1)(a1 + b2)(a2 + b2) = q2 -p2. Lời giải Dạng 10. xét dấu các nghiêm của phương trình bậc 2, so sánh nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trướcSử dụng định lý vi-ét ta có thể xét dấu các nghiệm của phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (với a ≠ 0) dựa trên các kết quả sau: Ngoài ra áp dụng định lý Vi-ét ta có thể so sánh được nghiệm của phương trình bậc 2 với một số cho trước. Ví dụ: Cho phương trình x2 – (2m + 3)x + m2 + 3m + 2 = 0. Tìm m để phương trình có hai nghiệm đối nhau Lời giải Dạng 11. Nghiệm chung của hai hay nhiều phương trình, hai phương trình tương đươngVí dụ: Xác định m để hai phương trình sau tương đương với nhau: x2 + 2x – m = 0 (1) Lời giải Dạng 12. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải các bài toán số họcVí dụ: Tìm các số nguyên dương x, y thỏa mãn phương trình x3 + y3 + 1 = 3xy Lời giải Dạng 13. Ứng dụng của định lý vi-ét vào giải phương trình, hệ phương trìnhVí dụ: Giải phương trình $\sqrt {1 – x} + \sqrt {4 + x} = 3$ Lời giải Dạng 14. Ứng dụng của định lý Viet vào các bài toán chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức, tìm gtln, gtnnHọc sinh đã được làm quen với bất đẳng thức Cô-si, tuy nhiên ta có thể chứng minh bất đẳng thức này dựa vào định lý Vi-ét: Giả sử x1 + x2 = S không đổi, còn P = x1.x2 thay đổi. Từ điều kiện S2 ≥ 4P => $P \le \frac{{{S^2}}}{4} \Rightarrow MaxP = \frac{{{S^2}}}{4} \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = \frac{S}{2}$ Vậy nếu hai số có tổng không đổi thì tích hai số đó lớn nhất khi hai số đó bằng nhau Giả sử x1 > 0, x2 > 0 và x1x2 = P không đổi còn x1 + x2 = S thay đổi. Từ điều kiện $\begin{array}{l} {S^2} – 4P \ge 0 \Rightarrow \left( {S – 2\sqrt P } \right)\left( {S + 2\sqrt P } \right) \ge 0\\ S – 2\sqrt P \ge 0 \Rightarrow S \ge 2\sqrt P \end{array}$ Vậy $S = 2\sqrt P \Leftrightarrow {x_1} = {x_2} = \sqrt P $ Vậy hai số dương có tích không đổi thì tổng của hai số đó nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau Ví dụ: Biết rằng các số x, y thỏa mãn điều kiện x + y = 2. Hãy tìm GTNN của F = x3 + y3 Lời giải Nhận xét: để giải bài toán trên có rất nhiều cách giải như biến đổi biểu thức F chỉ có một biến, đổi biến số. Tuy nhiên vận dung định lý Viet cho ta một cách giải mới như sau: Dạng 15. Vận dung định lý Viet trong mặt phẳng tọa độVận dung định lý Viet ta có thể giải một số dạng toán trong mặt phẳng tọa độ như khảo sát hàm số, viết phương trình đường thẳng, xét vị trí tương đối của đường thẳng và parabol Ví dụ: Cho (P): y = – x2 và đường thẳng (D) có hệ số góc là a đi qua điểm M( – 1; – 2). a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của a thì (D) luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A và B b) Xác định a để A, B nằm về hai phía trục tung Lời giải Dạng 16. Ứng dụng của định lý Viet trong các bài toán hình họcTa đã biết một trong những phương pháp giải các bài toán hình học là “phương pháp đai số”, phương pháp này vận dụng rất có hiệu quả trong các dạng bài tập tính độ dài đoạn thẳng, một số bài toán cực trị hình học. kết hợp với đinh lý Viet sẽ cho ta những lời giải hay và thú vị. Ví dụ: Cho hình vuông ABCD có cạnh là a và hai điểm M, N theo thứ tự chuyển động trên cạnh BC và CD sao cho $\widehat {MAN} = {45^0}.$. Tìm GTNN và GTLN của diện tích tam giác ΔAMN Lời giải File bài tập có lời giải |