Giới hạn của dãy số
Nguyễn Minh Tuấn - GV trường THPT Chuyên QB
MỞ ĐẦU
Trong môn Toán ở trường THPT, các bài toán về dãy số và giới hạn dãy số là
một phần quan trọng của giải tích toán học. Dãy số ngày càng được quan tâm đúng
mức và tỏ ra có sức hấp dẫn mạnh mẽ nhờ vẽ đẹp và tính độc đáo của phương pháp
và kỹ thuật giải chúng cũng như yêu cầu cao về tư duy cho người giải.
Các bài toán dãy số không những rèn luyện tư duy sáng tạo, trí thông minh mà
còn đem lại say mê và yêu thích môn Toán của người học.
Trong các kì thi học sinh giỏi cấp Tỉnh, cấp Quốc gia, Quốc tế các bài toán
liên quan đến dãy số đặc biệt là giới hạn dãy số được đề cập rất nhiều và có giá trị
phân hóa chất lượng bài thi cao.
Trong bài viết này tác giả trình bày một sô phương pháp tìm giới hạn dãy số:
phương pháp sử dụng định nghĩa, tính chất của các dãy số đặc biệt, định lí kẹp,
phương pháp sử dụng tính đơn điệu và bị chặn, phương pháp dùng sai phân, phương
pháp sử dụng tính chất của hàm số, phương trình, phương pháp lượng giác hóa...Một
điều quan trọng là sử dụng các kỹ thuật biến đổi linh hoạt, phù hợp, hiểu được các ý
tưởng trong từng phương pháp để giải quyết bài toán với hiệu quả tốt nhất.
Các ví dụ và bài tập được chọn lọc là các đề thi HSG cấp tỉnh, cấp quốc gia,
quốc tế, các bài trên các tạp chí nỗi tiếng. Bài viết được trình bày theo hệ thống:
- Kiến thức sử dụng.
- Ý tưởng chính của phương pháp.
- Các ví dụ và hướng dẫn giải.
- Bài tập tự giải.
Tác giả hy vọng bài viết này sẽ giúp các em học sinh bổ sung kiến thức về
phần dãy số trong các kì thi học sinh giỏi và tài liệu tham khảo bổ ích cho bạn đọc.
Làm sao để biết dãy số có giới hạn bằng 0?
Dãy số có giới hạn 0. Định nghĩa: Nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó thì dãy số [un] đó có giới hạn 0.
Dãy số có giới hạn là gì?
Trong toán học, giới hạn của một dãy là giá trị mà các số hạng của dãy "tiến tới". Nếu một giới hạn tồn tại, dãy được gọi là hội tụ, nếu không, dãy được gọi là phân kì. Giới hạn của một dãy số là một khái niệm quan trọng trong giải tích.
Sở hữu hạn là như thế nào?
Số hữu hạn là các số được định nghĩa là vô hạn [transfinite] nếu chúng chỉ lớn hơn 1000000000000, chứ không phải là hữu hạn tuyệt đối [infinity] một cách cần thiết.
Lim 1 mũ n bằng bao nhiêu?
- lim1n=0 lim 1 n = 0 ; lim1nk=0 lim 1 n k = 0 ; limnk=+∞ lim n k = + ∞ , với k nguyên dương.