Bài viết Các dạng toán về Dãy số và cách giải sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.
Các dạng toán về Dãy số và cách giải
1. Lý thuyết
- Định nghĩa dãy số
- Mỗi hàm số u xác định trên tập số tự nhiên ℕ∗ được gọi là một dãy số vô hạn [gọi tắt là dãy số].
Kí hiệu: u : ℕ∗ →
n ↦ u[n]
Dạng khai triển: u1; u2; u3;... ; un;...
Trong đó ta gọi: u1 là số hạng đầu, un= u[n] là số thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.
- Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3;... ;m} với được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của nó là u1; u2; u3;... ; um , trong đó u1 là số hạng đầu và um là số hạng cuối.
- Ba cách cho một dãy số:
+ Cho dãy số bằng công thức của số hạng tổng quát.
+ Cho dãy số bằng phương pháp mô tả.
+ Cho dãy số bằng phương pháp truy hồi.
- Dãy số tăng, dãy số giảm
- Dãy số [un] được gọi là tăng nếu un+1 > un với mọi n ∈ ℕ∗.
- Dãy số [un] được gọi là giảm nếu un+1 < un với mọi n ∈ ℕ∗.
- Dãy số bị chặn
- Dãy số [un] được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại số M sao cho un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗
- Dãy số [un] được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại số m sao cho un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗.
- Dãy số [un] được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗.
2. Các dạng bài tập
Dạng 1. Tìm số hạng của dãy số
Phương pháp giải:
Bài toán 1: Cho dãy số [un]: un = f[n] [trong đó f[n] là một biểu thức của n]. Hãy tìm số hạng uk.
→ Thay trực tiếp n = k vào uk để tìm.
Bài toán 2: Cho dãy số [un] cho bởi [với f[un] là một biểu thức của un]. Hãy tìm số hạng uk.
→ Tính lần lượt u2; u3;... ; uk bằng cách thế u1 vào u2, thế u2 vào u3, …, thế uk-1 vào uk.
Bài toán 3: Cho dãy số [un] cho bởi . Hãy tìm số hạng uk.
→ Tính lần lượt u3; u4;... ; uk bằng cách thế u1; u2vào u3; thế u2;u3vào u4; … ; thế uk -2; uk-1 vào uk.
Bài toán 4: Cho dãy số [un] cho bởi . Trong đó f[{n; un]}] là kí hiệu của biểu thức un + 1tính theo un và n. Hãy tìm số hạng uk.
→ Tính lần lượt u2; u3;... ; uk bằng cách thế {1;u1} vào u2; thế {2;u2} vào u3; … ; thế {k-1;uk-1} vào uk.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho dãy số [un] được xác định bởi . Viết năm số hạng đầu của dãy.
Lời giải
Ta có năm số hạng đầu của dãy
Vậy năm số hạng đầu của dãy là:
Ví dụ 2: Cho dãy số [un] được xác định như sau: . Tìm số hạng u11.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
Ví dụ 3: Cho dãy số [un] được xác định như sau: . Tìm số hạng u8.
- u8 = 3050. B. u8 = 5003. C. u8 = 3500. D. u8 = 3005.
Lời giải
Chọn D.
Ta có:
u3 = 2u2 + 3u1 + 5 = 12
u4 = 2u3 + 3u2 + 5 = 35
u5 = 2u4 + 3u3 + 5 = 111
u6 = 2u5 + 3u4 + 5 = 332
u7 = 2u6 + 3u5 + 5 = 1002
u8 = 2u7 + 3u6 + 5 = 3005
Dạng 2: Xét tính tăng giảm của dãy số
Phương pháp giải
Cách 1: Xét hiệu un+1 – un
- Nếu un+1 – un > 0 ∀n ∈ ℕ∗ thì [un] là dãy số tăng.
- Nếu un+1 – un < 0 ∀n ∈ ℕ∗ thì [un] là dãy số giảm.
Cách 2: Khi un > 0 ∀n ∈ ℕ∗, ta xét tỉ số
- Nếu \>1 thì [un] là dãy số tăng.
- Nếu < 1 thì [un] là dãy số giảm.
Cách 3: Nếu dãy số [un] được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh un+1 > un ∀n ∈ ℕ∗ [hoặc un+1 < un ∀n ∈ ℕ∗]
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
- Dãy số [un] có un = an + b tăng khi a > 0 và giảm khi a < 0
- Dãy số [un] có un = qn
+ Không tăng, không giảm khi q < 0
+ Giảm khi 0 < q < 1
+ Tăng khi q > 1
- Dãy số [un] có với điều kiện cn + d > 0 ∀n ∈ ℕ∗
+ Tăng khi ad – bc > 0
+ Giảm khi ad – bc < 0
- Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
- Nếu dãy số [un] tăng hoặc giảm thì dãy số [qn. un] [với q < 0] không tăng, không giảm
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau[∀n ∈ ℕ∗]:
- un = 3n + 6
Lời giải
- Ta có un = 3n + 6 ⇒ un+1 = 3[n + 1] + 6 = 3n +9
Xét hiệu un+1 – un= [3n + 9] – [3n + 6] = 3 > 0 ∀n ∈ ℕ∗
Vậy [un] là dãy số tăng.
- Ta có
Xét hiệu
[do n là số tự nhiên]
Vậy [un] là dãy số giảm.
- Ta có
Vậy [un] là dãy số giảm.
Ví dụ 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số sau [∀n ∈ ℕ∗]:
Lời giải
- Ta có
Xét tỉ số
Vậy [un] là dãy số tăng.
Ta có:
Vậy [un] là dãy số giảm.
Vậy [un] là dãy số tăng.
Dạng 3: Xét tính bị chặn của hàm số
Phương pháp giải:
- Cách 1: Dãy số [un] có un = f[n] là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức un = f[n] ≤ M, ∀n ∈ ℕ∗ hoặc un = f[n] ≥ M, ∀n ∈ ℕ∗
- Cách 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số [un] được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số [un] giảm thì bị chặn trên, dãy số [un] tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số [un] có un = qn [|q| ≤ 1] bị chặn
Dãy số [un] có un = qn [|q| < -1] không bị chặn
Dãy số [un] có un = qn với q > 1 bị chặn dưới
Dãy số [un] có un = an + b bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
Dãy số [un] có un = an2 + bn + c bị chặn dưới nếu a > 0 và bị chặn trên nếu a < 0
Dãy số [un có un = amnm + am-1nm-1 +... + a1n + a0 bị chặn dưới nếu am > 0 và bị chặn trên nếu am < 0
Dãy số [un] có trong đó P[n] và Q[n] là các đa thức, bị chặn nếu bậc của P[n] nhỏ hơn hoặc bằng bậc của Q[n]
Dãy số [un] có trong đó P[n] và Q[n] là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn trên nếu bậc của P[n] lớn hơn bậc của Q[n].
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Xét tính bị chặn của dãy số sau [với ∀n ∈ ℕ∗]:
Lời giải
Ta có
Mặt khác
Suy ra
Vậy dãy số [un] bị chặn
- un = 3n - 1
Ta có: n ≥ 1 ⇔ 3n ≥ 3 ⇔ 3n – 1 ≥ 2 ⇔ un ≥ 2 ∀n ∈ ℕ∗
Vậy [un] bị chặn dưới; không bị chặn trên.
Ta có
Vậy [un] bị chặn dưới, không bị chặn trên do bậc của tử cao hơn bậc mẫu.
Ví dụ 2: Xét tính bị chặn của dãy số sau:
Lời giải
Ta dự đoán dãy số này bị chặn [dùng máy Casio để tính một vài số hạng]. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp: –2 ≤ un ≤ 1, ∀n ∈ ℕ∗
Với n = 1 ta có –2 ≤ u1 = 1 ≤1 [đúng]`
Giả sử mệnh đề trên đúng với : n = k ≥ 1; –2 ≤ uk ≤1
Ta cần chứng minh mệnh đề trên đúng với n = k + 1
Ta có:
Theo nguyên lí quy nạp ta đã chứng minh được –2 ≤ un ≤1, ∀n ∈ ℕ∗
Vậy [un] bị chặn.
Xét
Suy ra
Vậy [un] bị chặn
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Cho dãy số [un] biết . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới đây?
Câu 2. Cho dãy số [un] biết . Viết năm số hạng đầu của dãy số.
Câu 3. Cho dãy số [un] xác định bởi khi đó u5 bằng:
- 317 B. 157 C. 77 D. 112
Câu 4. Cho dãy số [un] xác định bởi . Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng
- 0 B. 93 C. 9 D. 34
Câu 5. Cho dãy số [un] xác định bởi: . Tìm số hạng u8.
- u8 = - 1803 B. u8 = - 5793 C. u8 = - 18147 D. u8 = - 537
Câu 6. Cho dãy số [un] biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Dãy số tăng B. Dãy số giảm
- Dãy số không tăng, không giảm D. Cả A, B, C đều sai
Câu 7. Cho dãy số [un] biết . Mệnh đề nào sau đây đúng?
Câu 8. Trong các dãy số [un] cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào giảm?
Câu 9. Trong các dãy số [un] cho bởi số hạng tổng quát un sau, dãy số nào không tăng, không giảm?
Câu 10. Cho dãy số [un] biết. Mệnh đề nào sau đây đúng?
- Dãy số tăng B. Dãy số giảm
- Dãy số không tăng, không giảm D. Có u10 = 2
Câu 11. Trong các dãy số [un] sau, dãy số nào bị chặn?
Câu 12. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un], biết:
- Tăng, bị chặn trên B. Tăng, bị chặn dưới
- Giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Câu 13. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un], biết:
- Tăng, bị chặn trên B. Tăng, bị chặn dưới
- Giảm, bị chặn D. Cả A, B, C đều sai
Câu 14. Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
- Bị chặn B. Không bị chặn C. Bị chặn trên D. Bị chặn dưới
Câu 15. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của dãy số [un], biết:
- Dãy số tăng, bị chặn B. Dãy số tăng, bị chặn dưới
- Dãy số giảm, bị chặn trên D. Cả A, B, C đều sai
Đáp án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
A
B
B
D
A
A
B
C
D
B
C
C
C
A
A
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:
- Các dạng toán về Cấp số cộng và cách giải
- Các dạng toán về Cấp số nhân và cách giải
- Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập
- Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
- Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.