Tài liệu gồm 31 trang, trình bày lý thuyết, phương pháp giải và bài tập trắc nghiệm chuyên đề giới hạn của dãy số với 2 dạng toán thường gặp:
Dạng 1: Tìm giới hạn của dãy số Loại 1: Giới hạn của dãy số hữu tỉ + Nếu bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng ±∞ + Nếu bậc của tử bằng bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng hệ số bậc cao nhất của tử trên hệ số bậc cao nhất của mẫu + Nếu bậc của tử bé hơn bậc của mẫu thì giới hạn đó bằng 0 Điều này rất cần thiết cho tất cả chúng ta giải bài toán giới hạn dạng hữu tỉ khi giải trắc nghiệm. Bởi vì một giới hạn hữu tỉ khi nhìn vào ta hoàn toàn có thể biết được kết quả ngay lập tức [ads] Loại 2: Giới hạn của dãy có căn thức Nếu dãy số có chứa căn thức mà không có dạng hữu tỉ để xét bậc, thì ta tiến hành nhân thêm lượng liên hiệp để tính giới hạn. Nhưng đồng thời các em cũng sử dụng nhận xét ở tính giới hạn hữu tỉ. Sau khi nhân thêm lượng liên hiệp ta cũng có thể sử dụng nhận xét về giới hạn của dãy số hữu tỉ để có thể tính giới hạn nhanh hơn Loại 3: Dãy số chứa lũy thừa – mũ Tương tự như dãy hữu tỉ, ta tiến hành chia tử và mẫu cho mũ với cơ số lớn nhất. Cũng tương tự giới hạn của dãy số hữu tỉ. Ta cũng hoàn toàn có thể tự nhẩm được kết quả của giới hạn dãy số dạng này. Bằng cách quan sát hệ số của những số mũ với cơ số lớn nhất ở tử và mẫu. Từ đó ta hoàn toàn có thể tính nhanh để thực hiện những bài toán giới hạn dưới dạng trắc nghiệm Dạng 2: Tìm giới hạn bằng chứng minh hoặc theo định nghĩa
- Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
BÀI VIẾT LIÊN QUAN
Tài liệu gồm 154 trang, được biên soạn bởi thầy giáo Nguyễn Trọng, tóm tắt lý thuyết, hướng dẫn giải các dạng toán và tuyển chọn các bài tập chuyên đề giới hạn và liên tục, giúp học sinh lớp 11 tham khảo khi học sinh trình Đại số và Giải tích 11 chương 4.
BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
- DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn L = lim P[n]/Q[n] với P[n], Q[n] là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn dạng L = lim P[n]/Q[n] với P[n], Q[n] là các hàm mũ an. Dạng 3. Tính giới hạn của dãy số chứa căn thức.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
BÀI 2. GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
- DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức là các đa thức. Dạng 2. Tính giới hạn vô định dạng 0/0, trong đó tử thức và mẫu thức có chứa căn thức. Dạng 3. Giới hạn của hàm số khi x tiến đến vô cực. Dạng 4. Giới hạn một bên x tiến đến x0+ hoặc x tiến đến x0-. Dạng 5. Giới hạn của hàm số lượng giác.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
BÀI 3. HÀM SỐ LIÊN TỤC.
- TÓM TẮT LÝ THUYẾT.
- DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP. Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm. Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định. Dạng 3. Chứng minh phương trình có nghiệm.
- BÀI TẬP RÈN LUYỆN.
BÀI 4. ÔN TẬP CHƯƠNG IV.
- Giới Hạn - Hàm Số Liên Tục
Ghi chú: Quý thầy, cô và bạn đọc có thể chia sẻ tài liệu trên TOANMATH.com bằng cách gửi về: Facebook: TOÁN MATH Email: [email protected]
Bài viết Giới hạn của dãy số và cách giải các dạng bài tập sẽ giúp học sinh nắm vững lý thuyết, biết cách làm bài tập từ đó có kế hoạch ôn tập hiệu quả để đạt kết quả cao trong các bài thi môn Toán 11.
1. Lý thuyết
- Dãy số có giới hạn 0
Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu với mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số kể từ một số hạng nào đó trở đi, |un| nhỏ hơn số dương đó.
Kí hiệu: hay lim un = 0 hay un → 0 khi n → +∞.
- Dãy số có giới hạn hữu hạn
Ta nói rằng dãy số [un] có giới hạn là số thực L nếu lim [un – L] = 0
Kí hiệu: hay lim un = L hay un → L khi n → +∞.
- Dãy số có giới hạn vô cực
Dãy số [un] có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì kể từ một số hạng nào đó trở đi.
Ký hiệu : lim un \= +∞ hoặc un → +∞ khi n → +∞
Dãy số [un] có giới hạn là −∞ khi n → +∞ , nếu lim[−un] = +∞
Ký hiệu : lim un = −∞ hoặc un → −∞ khi n → +∞
- Một vài giới hạn đặc biệt
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,[k > 0, k ∈ ℕ*]; lim nk = +∞,[k > 0, k ∈ ℕ*]
- Định lý về giới hạn hữu hạn
* Nếu lim un = a và lim vn = b và c là hằng số. Khi đó ta có :
lim[un + vn] = a + b
lim[un - vn] = a - b
lim[un vn] = a.b
lim[cun ] = c.a
lim|un | = |a|
Nếu un ≥ 0 với mọi n thì a ≥ 0 và
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số [vn]; [un] và [wn]:
Nếu thì lim un = a.
Hệ quả: Cho hai dãy số [un] và [vn]:
Nếu thì lim un = 0.
- Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
* Quy tắc tìm giới hạn tích lim [unvn]
Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ [hay −∞]. Khi đó: lim [unvn]
lim un = L
lim vn
lim [unvn]
+
+∞
+∞
+
−∞
−∞
-
+∞
−∞
-
−∞
+∞
* Quy tắc tìm giới hạn thương
lim un = L
lim vn
Dấu của vn
L
±∞
Tùy ý
0
L > 0
0
+
+∞
0
-
−∞
L < 0
0
−∞
0
-
+∞
- Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Xét cấp số nhân vô hạn u1; u1q; u1q2; … u1qn; … có công bội |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
2. Các dạng toán
Dạng 1. Tính giới hạn sử dụng một vài giới hạn đặc biệt
Phương pháp giải:
Sử dụng các giới hạn đặc biệt:
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,[k > 0, k ∈ ℕ*]; lim nk = +∞,[k > 0, k ∈ ℕ*]
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Áp dụng công thức tính giới hạn đặc biệt, ta có:
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
- lim [-0,999]n
Lời giải
- lim [-0,999]n = 0 vì |-0,999| < 1.
Dạng 2. Tính giới hạn hữu hạn của phân thức
Phương pháp giải:
Trường hợp lũy thừa của n: Chia cả tử và và mẫu cho nk [với nk là lũy thừa với số mũ lớn nhất].
Trường hợp lũy thừa mũ n: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa có cơ số lớn nhất.
Sử dụng một vài giới hạn đặc biệt:
lim un = 0 ⇔ lim|un| = 0
; ,[k > 0, k ∈ ℕ*]; lim nk = +∞,[k > 0, k ∈ ℕ*]
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 3: Tính giới hạn hữu hạn sử dụng phương pháp liên hợp
Phương pháp giải: Sử dụng các công thức liên hợp [thường sử dụng trong các bài toán chứa căn]
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 4: Tính giới hạn ra vô cực dạng chứa đa thức hoặc căn thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của đa thức làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim [unvn]
Nếu un \= L ≠ 0, lim vn = +∞ [hay −∞]. Khi đó: lim [unvn]
lim un = L
lim vn
lim [unvn]
+
+∞
+∞
+
−∞
−∞
-
+∞
−∞
-
−∞
+∞
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
- lim [n4 − 2n2 +3]
- lim [ −2n3 + 3n − 1]
- lim [5n − 2n]
Lời giải
- lim [n4 − 2n2 +3] =
Vì lim n4 = +∞; .
- lim [ −2n3 + 3n − 1] =
Vì lim n3 = +∞;
- lim [5n − 2n] =
Vì lim 5n = +∞ và .
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau
Lời giải
Vì
Dạng 5: Tính giới hạn ra vô cực dạng phân thức
Phương pháp giải:
Rút bậc lớn nhất của tử và mẫu ra làm nhân tử chung.
Sử dụng quy tắc giới hạn tới vô cực lim [unvn]
Nếu lim un = L ≠ 0, lim vn = +∞ [hay −∞]. Khi đó: lim [unvn]
lim un = L
lim vn
lim [unvn]
+
+∞
+∞
+
−∞
−∞
-
+∞
−∞
-
−∞
+∞
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau .
Lời giải
Dạng 6: Tính giới hạn sử dụng định lý kẹp
Phương pháp giải:
Sử dụng định lý kẹp và hệ quả của định lý kẹp
Định lí kẹp: Cho ba dãy số [vn]; [un] và [wn]: Nếu thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số [un] và [vn]: Nếu thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Ví dụ 2: Tính các giới hạn sau :
Lời giải
Dạng 7: Giới hạn dãy số có công thức truy hồi
Phương pháp giải:
Cho dãy số [un] ở dạng công thức truy hồi, biết [un] có giới hạn hữu hạn
Giả sử lim un = a [a là số thực] thì lim un+1 = a.
Thay a vào công thức truy hồi. Giải phương trình tìm a.
Ta được giới hạn của [un] là lim un = a.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tìm lim un biết [un] có giới hạn hữu hạn và [un]: .
Lời giải
Giả sử lim un = a, khi đó lim un+1 = a
Suy ra ⇒ a2 + 2a = 2a + 3 ⇔ a2 = 3 ⇔ .
Do u1 = 1 > 0, ∀n ∈ ℕ* nên a > 0 ⇒
Vậy .
Ví dụ 2: Tìm lim un biết [un] có giới hạn hữu hạn và [un]: .
Lời giải
Vì
Giả sử lim un = a [a > 0], khi đó lim un+1 = a
Suy ra
Vậy lim un = 2.
Dạng 8: Giới hạn của tổng vô hạn hoặc tích vô hạn
Phương pháp giải:
* Rút gọn [un] [sử dụng tổng cấp số cộng, cấp số nhân hoặc phương pháp làm trội]
* Rồi tìm lim un theo định lí hoặc dùng nguyên lí định lí kẹp.
* Định lí kẹp: Cho ba dãy số [vn]; [un] và [wn]: Nếu thì lim un = a
Hệ quả: Cho hai dãy số [un] và [vn]: Nếu thì lim un = 0.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính các giới hạn sau:
Lời giải
Xét tử số: Ta thấy 1; 2; 3; 4; … ; n là một dãy số thuộc cấp số cộng có n số hạng với u1 = 1 và d = 1.
Tổng n số hạng của cấp số cộng:
Xét mẫu số: Ta thấy 1; 3 ; 32 ; 33 ; … ; 3n là một dãy số thuộc cấp số nhân có [n+1] số hạng với u1 = 1 và q = 3.
Tổng [n + 1] số hạng của cấp số nhân:
[Bằng quy nạp ta luôn có n < 2n ,∀n ∈ ℕ* và 3n > 1, ∀n ∈ ℕ* ⇒ 3n+1 − 3n = 2.3n > 2 >1 ⇒ 3n+1 − 1 > 3n].
Ví dụ 2: Tính giới hạn sau:
Lời giải
Dạng 9: Tổng cấp số nhân lùi vô hạn
Phương pháp giải:
Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là:
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Tính tổng
Lời giải
- là tổng cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và
Nên
- S = 1 + 0,9 + [0,9]2 + [0,9]3 +... là cấp số nhân lùi vô hạn với u1 = 1 và q = 0,9.
Nên
Ví dụ 2: Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
- a = 0,32111...
- b = 2,151515...
Lời giải
- Ta có a = 0,32111... =
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
Nên
- Ta có b = 2,151515... =
Vì là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với
Nên
3. Bài tập tự luyện
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào là mệnh đề Sai?
Câu 2. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 3. Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?
Câu 4. Tính giới hạn bằng
- 0. B. 1. C. +∞ . D. 2.
Câu 5. Cho dãy số [un] với. Khi đó lim un bằng
Câu 6. Cho dãy số [un] với. Khi đó lim un bằng
Câu 7. Tính bằng:
- +∞ . B. −∞ . C. -1. D. 0.
Câu 8. Tính bằng:
Câu 9. Tính bằng:
Câu 10. Trong bốn giới hạn sau đây, giới hạn nào là 0 ?
Câu 11. Cho dãy số [un] được xác định bởi u1 = 1, với mọi n ≥ 1. Biết dãy số [un] có giới hạn hữu hạn, lim un bằng:
Câu 12. Giới hạn dãy số [un] với là.
Câu 13. Chọn kết quả đúng của
- 5. B. . C. −∞ . D. +∞ .
Câu 14. Tổng bằng:
Câu 15. Biểu diễn số thập phân 1,24545454545… như một phân số:
Bảng đáp án
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
C
D
D
A
A
B
B
C
D
D
B
A
D
B
B
Xem thêm phương pháp giải các dạng bài tập Toán lớp 11 có đáp án, hay khác:
- Giới hạn của hàm số và cách giải các dạng bài tập
- Hàm số liên tục và cách giải các dạng bài tập
- Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa hay, chi tiết
- Quy tắc tính đạo hàm và cách giải bài tập
- Đạo hàm của hàm số lượng giác và cách giải
- Gói luyện thi online hơn 1 triệu câu hỏi đầy đủ các lớp, các môn, có đáp án chi tiết. Chỉ từ 200k!
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, GÓI THI ONLINE DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 11
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại //tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.