Mệnh đề và tập hợp nằm trong chương mở đầu của sách giáo khoa đại số toán 10, để học tốt toán 10 các em cần nắm vững kiến thức ngay từ bài học đầu tiên. Vì vậy trong bài viết này chúng ta cùng ôn lại kiến thức Mệnh đề và áp dụng giải một số bài tập.
» Đừng bỏ lỡ: Các dạng toán về Tập hợp cực hay
I. Lý thuyết về Mệnh đề
1. Mệnh đề là gì?
- Định nghĩa: Mệnh đề là một câu khẳng định ĐÚNG hoặc SAI.
- Một mệnh đề không thể vừa đúng hoặc vừa sai.
2. Mệnh đề phủ định
- Cho mệnh đề
- Nếu
3. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo
- Cho hai mệnh đề
- Mệnh đề
- Cho mệnh đề
- Nếu
◊ P là điều kiện ĐỦ để có Q
◊ Q là điều kiện CẦN để có P
4. Mệnh đề tương đương
- Cho hai mệnh đề
- Mệnh đề
* Chú ý: "Tương đương" còn được gọi bằng các thuật ngữ khác như "điều kiện cần và đủ", "khi và chỉ khi", "nếu và chỉ nếu".
5. Mệnh đề chứa biến
- Mệnh đề chứa biến là một câu khẳng định chứa biến nhận giá trị trong một tập X nào đó mà với mỗi giá trị của biến thuộc X ta được một mệnh đề.
6. Các kí hiệu ∀, ∃ và mệnh đề phủ định của mệnh đề có chứa kí hiệu ∀, ∃
- Kí hiệu ∀ : đọc là với mọi; ký hiệu ∃ đọc là tồn tại.
- Phủ định của mệnh đề
- Phủ định của mệnh đề
II. Các dạng bài tập toán về Mệnh đề và phương pháp giải
• Dạng 1: Xác định mệnh đề và tính đúng sai của mệnh đề
* Phương pháp:
- Dựa vào định nghĩa mệnh đề xác định tính đúng sai của mệnh đề đó
- Mệnh đề chứa biến: Tìm tập D của các biến x để p[x] đúng hoặc sai
Ví dụ 1: Các câu sau đây, câu nào là mệnh đề, câu nào không phải là mệnh đề? Nếu là mệnh đề hãy cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.
a] Trời hôm nay đẹp quá!
b] Phương trình x2 - 3x +1 = 0 vô nghiệm.
c] 15 không là số nguyên tố.
d] Hai phương trình x2 - 4x + 3 = 0 và
e] Số Π có lớn hơn 3 hay không?
f] Italia vô địch Worldcup 2006.
g] Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.
h] Một tứ giác là hình thoi khi và chỉ khi nó có hai đường chéo vuông góc với nhau.
* Hướng dẫn:
- Câu a] câu e] không là mệnh đề [là câu cảm thán, câu hỏi?]
- Câu c] d] f] h] là mệnh đề đúng
- Câu b] câu g] là mệnh đề sai
Ví dụ 2:Xác định tính đúng sai của các mệnh đề sau
a] 2 là số chẵn
b] 2 là số nguyên tố
c] 2 là số chính phương
* Hướng dẫn:
a] Đúng
b] Đúng [2 chia hết cho 1 và chính nó nên là số nguyên tố]
c] Sai [số chính phương có các chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9]
Ví dụ 3:Điều chính ký hiệu ∀ và ∃ để được mệnh đề đúng
a] ∀x ∈ R: 2x + 5 = 0
b] ∀x ∈ R: x2 - 12 = 0
* Hướng dẫn:
a] ∃x ∈ R: 2x + 5 = 0
b] ∃x ∈ R: x2 - 12 = 0
• Dạng 2: Các phép toán về mệnh đề - phủ định mệnh đề
* Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các phép toán
+]
+]
+]
+]
Ví dụ 1: Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau, cho biết mệnh đề này đúng hay sai?
P: "Hình thoi có hai đường chéo vuông góc với nhau".
Q: "66 là số nguyên tố".
R: Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh còn lại
S: "3>-2"
K: "Phương trình x4 - 2x2 + 2 = 0 có nghiệm"
H:
* Hướng dẫn:
- Ta có mệnh đề phủ định là:
Ví dụ 2:Phủ định của các mệnh đề sau
A: n chia hết cho 2 và chia hết cho 3 thì n chia hết cho 6.
B: ΔABC vuông cân tại A
C: √2 là số thực
* Hướng dẫn:
Ví dụ 3:Phủ định của các mệnh đề sau và cho biết tính đúng sai.
P: ∀x ∈ R: x2 + 2 > 0
Q: ∃x ∈ R: x3 + x2 + x + 2 ≠ 0
R: ∀A, ∀B: A∩B⊂A
* Hướng dẫn:
R: ∀A, ∀B: A∩B⊂A ⇔ ∀x∈A∩B ⇒x∈A
• Dạng 3: Các phép toán về mệnh đề - mệnh đề kéo theo, tương đương
* Phương pháp: Dựa vào định nghĩa các phép toán
+]
+]
Ví dụ 1:Phát biểu mệnh đề P ⇒ Q và phát biểu mệnh đề đảo, xét tính đúng sai của nó.
a] P:" Tứ giác ABCD là hình thoi" và Q: "Tứ giác ABCD có AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường".
b] P:"2>9" và Q: "49 thì 4 0"
Bài 3 trang 9 SGK Đại số 10: Cho các mệnh đề kéo theo:
Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c [a, b, c là những số nguyên].
Các số nguyên tố có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5.
Một tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau.
Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau.
a] Hãy phát biểu mệnh đề đảo của mỗi mệnh đề trên.
b] Hãy phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ".
c] Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần".
* Lời giải Bài 3 trang 9 SGK Đại số 10:
| Mệnh đề | Mệnh đề đảo | Phát biểu bằng khái niệm "điều kiện đủ" | Phát biểu bằng khái niệm "điều kiện cần" |
| Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a+b chia hết cho c. | Nếu a+b chia hết cho c thì cả a và b đều chia hết cho c. | a và b chia hết cho c là điều kiện đủ để a+b chia hết cho c. | a+b chia hết cho c là điều kiện cần để a và b chia hết cho c. |
| Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0. | Một số nguyên tận cùng bằng 0 là điều kiện đủ để số đó chia hết cho 5. | Các số nguyên chia hết cho 5 là điều kiện cần để số đó có tận cùng bằng 0. |
| Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau | Tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau là tam giác cân. | Tam giác cân là điều kiện đủ để tam giác đó có hai đường trung tuyến bằng nhau. | Hai trung tuyến của một tam giác bằng nhau là điều kiện cần để tam giác đó cân. |
| Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là hai tam giác bằng nhau. | Hai tam giác bằng nhau là điều kiện đủ để hai tam giác đó có diện tích bằng nhau. | Hai tam giác có diện tích bằng nhau là điều kiện cần để hai tam giác đó bằng nhau. |
Bài 4 trang 9 SGK Đại số 10: Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần và đủ".
a] Một số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại.
b] Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại.
c] Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương.
* Lời giải bài 4 trang 9 SGK Đại số 10
a] Điều kiện cần và đủ để một số chia hết cho 9 là tổng các chữ số của nó chia hết cho 9.
b] Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là điều kiện cần và đủ để nó là một hình thoi.
c] Để phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt, điều kiện cần và đủ là biệt thức của nó dương.
Bài 5 trang 10 SGK Đại số 10: Dùng kí hiệu ∀, ∃ để viết các mệnh đề sau:
a] Mọi số nhân với 1 đều bằng chính nó.
b] Có một số cộng với chính nó bằng 0.
c] Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0.
* Lời giải bài 5 trang 10 SGK Đại số 10:
a] ∀ x ∈ R: x.1 = x
b] ∃ a ∈ R: a + a = 0
c] ∀ x ∈ R: x + [-x] = 0
Bài 6 trang 10 SGK Đại số 10: Phát biểu thành lời mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó.
a] ∀ x∈R : x2 > 0 ;
b] ∃ n∈N : n2 = n
c] ∀ n∈N; n ≤ 2n
d] ∃ x∈R : x < 1/x.
* Lời giải bài 6 trang 10 SGK Đại số 10:
a] Bình phương của mọi số thực đều dương.
- Mệnh đề này sai vì khi x = 0 thì x2 = 0.
- Sửa cho đúng: ∀x∈R : x2 ≥ 0.
b] Tồn tại số tự nhiên mà bình phương của nó bằng chính nó.
- Mệnh đề này đúng. Vì có: n = 0; n = 1.
c] Mọi số tự nhiên đều nhỏ hơn hoặc bằng hai lần của nó.
- Mệnh đề này đúng.
d] Tồn tại số thực nhỏ hơn nghịch đảo của chính nó.
- Mệnh đề này đúng. Vì có: 0,5 < 1/0,5.
Bài 7 trang 10 SGK Đại số 10: Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau và xét tính đúng, sai của nó:
a] ∀ n ∈ N: n chia hết cho n ;
b] ∃ x ∈ Q : x2 = 2
c] ∀ x ∈ R : x < x + 1;
d] ∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1
* Lời giải bài 7 trang 10 SGK Đại số 10:
a] A: "∀ n ∈ N: n chia hết cho n"
⇒
b] B: "∃ x ∈ Q: x2 = 2".
c] C: "∀ x ∈ R : x < x + 1".
d] D: "∃ x ∈ R: 3x = x2 + 1".
Hy vọng với bài viết hệ thống lại các dạng toán về mệnh đề và bài tập ở trên giúp ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.