§3. CẤP SỐ CỘNG
A. KIẾN THỨC CĂN BẢN
ĐỊNH NGHĨA
Cấp số cộng là một dãy số [hữu hạn hoặc vô hạn], trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d.
Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.
Nếu [Un] là cấp số cộng với công sai d thì un+1-un = d với ne N * [1]
SỐ HẠNG TỔNG QUÁT
Định lí 1
Nếu cấp số cộng [un] có số hạng đầu u, và công sai d thì số hạng tổng quát Un được xác định bởi công thức: un = u, + [n - 1 ]đ với n > 2. [2]
TÍNH CHẤT CÁC số HẠNG CỦA CAP số CỘNG
Định lí 2
Jk+1
uk =
với k > 2.
[3]
IV. TỔNG n SỐ HẠNG ĐẨU TIÊN CỦA MỘT CẤP số CỘNG
Dịnh lí 3
Cho cấp só' cộng [un]. Đặt Sn = u, + u2 + u3 + ... + un.
n[u1+un] n[2u1+[n-Ị]d]
Khi đó
Chú ý: Vì
sn =
" 2 2 Un = u, + [n - 1 ]d nên công thức [4] có thể viết
[4]
nf2u, +[n-l]dl n[n-1]
sn = 1 1 ; 7 J = nu, + v’ 'd.
Trong một cấp số cộng, mỗi số hạng [trừ số hạng đầu và cuối] đểu là trung bình cộng của hai số hạng đứng kể với nó, nghĩa là uk 1+u
B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP
Chứng minh dãy [un] là cấp số cộng
Ta chứng minh hiệu Un+1 - Un là một hằng số [không phụ thuộc vào n]. Khi nó [un] là cấp số cộng có công sai d = Un+1 - un.
Xác định số hạng tổng quát cùa cấp số cộng
• Xác định u, và d • Un = u, + [n - 1 ]d • un - um = [n - m]d
1. Trong các dãy số [Un] sau đây, dãy nào là cấp số cộng? Tính số hạng đầu và công sai của nổ.
a] Un = 5 - 2n;
b]u„= 'ị -1;
c] u„ = 3";
d] u„ =
7-3n
tflai
Ta có un+1 - un = 5 - 2[n+l] - [5 - 2n] = -2; Vn 6 N*
Vậy [un ] là cấp số cộng có u! = 3, công sai d = -2.
Ta có un+1 - un = - 1 - -1 j = I; Vn e N*
Vậy [un] là cáp số cộng có U] = - i công sai d = .
2 2
Un+1 - un = 3n+1 - 3n = 2.3n. Vậy [un] không là cấp số cộng.
j\ rp„ „A .. .. - 7-3[n + l] 7-3n _ 3
2 2 2
3
Vậy [un] là cấp sô' cộng có U] = 2, công sai d = - .
2. Tìm số hạng đầu và công sai của các cấp số cộng sau, biết: [u,-u3+us=10
a]
u1+u6=17
b]
u7-u3 =8 u2.u7 = 75
Ốịiải
Áp dụng công thức un = Ư! + [n - l]d..
a] Ta có:
h~u3 +u5 =10
Uj + Ug = 17
Uj + 2d = 10 2uj + 5d = 17
Uj - Ui - 2d + + 4d = 10
ur + ur + 5d = 17
U| = 16 d =-3
Vậy [un] có Uị = 16, công sai d = -3.
í u7 - ua = 8 f u, + 6d - Ui - 2d - 8 b] Ta có: 7 3 „ » 7 ,
[u2.u7=75 [[Uị +d][uj + 6d] = 75 d = 2 íu, = 3 íi
[Ul + 2][uị +12] = 75
Y2 . «b=3hoặcí Uj+14u1-51 = 0 Id = 2 [
Uị = -17 d = 2
Tronđ các bài toán vể cấp sõ' cộng, ta thường gặp nãm đại lượng Ui, d, n, Un, sn.
Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó. cần phải biết ít nhất mấy đại lượng để có thể tìm được các đại lượng còn lại?
Lập bảng theo mẫu sau và điển sổ thích hợp vào ô trống.
u,
d
u„
n
Sn
-2
55
20
-4
15
120
3
4
27
7
17
12
72
2
-5
-205
Ốịiảl
Các hệ thức liên hiện giữa U], d, n, Un, Sn là
n[u,+un] „ n^Uj+[n-l]d’| u„ = u, + [n -l]d; sn = v 1 n/ ; Sn = L ;
Cần biết ít nhất ba trong năm. đại lượng Ui, d, n, un, s„ thì có thể tính
được hai đại lượng còn lại.
i] Cho Ui = -2, un = 55, n = 20. Tính d và Sn
Từ un = U] + [n - l]d. Ta có 55 = -2 + 19d => d = 3.
= 10Í-2 + 55] = 530
S20 -
20 [Uj +u20]
Ta có sn =
n[2uj + [n - l]d]
Cho d = -4, n = 15, Sn = 120. Tính Ui và un.
15
120 = [2u, + 14.[-4]1
2
=> 240 = 3ŨU] - 840 => u, = 36 Từ đó un = Ui + [n -1] d = 36 + 14.[-4] = -20
. 4
Cho Uj = 3, d = ; un = 7. Tìm n và Sn.
27
Ta có un = Uj + [n -l]d => 7 - 3 + [n - 1]. =>n-l = 27=>n = 28
27
n[ui+un] 28[3 + 7]
s„ = V 1J nf = —_ 140
2 2
Cho un = 17, n = 12, Sn = 72. Tìm Ui và d.
Ta có un = Ui + [n -1] d và Sn = [ 1 ——
12u,+17
=> 72 = V1--—=> u, = -5
2
Từ un = Ui + [n -1] d => 17 = -5 + lld => d = 2
n[2ut + [n - l]d]
n[4 - 5[n - 1]]
-205 =
Ta có sn =
Cho Ui = 2, d = -5, sn = -205. Tìm Un và n.
Ốịiải
Ta có 18 cm =■ 0,18m.
Gọi chiều cao của bậc thứ n so với mặt sân là hn, ta có:
hn = 0,5 + n.0,18.
Chiều cao mặt sàn tầng hai so với mặt sân là
h21 = 0,5 + 21.0,18 = 4,28 [m].
Tử 0 giở đến 12 gĩờ trưa, đống hố đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đánh chuông báo giờ và số tiếng chuông bằng sô' giở?
ỂỹÂl
Số tiếng chuông mà đồng hồ đánh từ 0 giờ đến 12 giờ trưa là:
„ 12[1 + 12] s12 = 1 + 2 + 3 + ... + 12 = —= 78.
2
c. BÀI TẬP LÀM THÊM
a]
a14 =18
1. Xác định a, và công sai của cấp số cộng [an] biết: ía3 =-15
b]
a2 - a3 + a5 = 10 a4 + a6 = 26
Hãy dặt giữa -6 và 8 sáu số nữa để được cấp số cộng.
-Hướng ?]ẫn
Giả sử - 6, a2, a3, a4, a5, aH, a7, 8 là cấp số cộng, ta có ai = -6, a8 = 8 => d = 2
Cho cấp số cộng [an]. Chứng minh rằng:
a, + ap = aq + ap.q+1 [p > q];
ap + aq = am + an nếu q + p = m + n.
-Hưởng ỉẫn
Áp dụng an = ai + [n - l id.
Tìm 5 số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng là 40 và tổng bình phương là 480.
-Hưởng ĩẫn
Giải hệ:
[a-2d] + [a-d] + a + [a + d] + [a + 2d] = 40 [a-2đ]2 + [a-d]2 + a2 + [a + d]2 + [a + 2d]2 = 480
Đáp số: 0, 4, 8, 12, 16, hoặc 16, 12, 8, 4, 0.
Cho cấp số cộng [a„] có a4 + a,, = 20. Tinh s,4.
Với Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng cực hay Toán học lớp 11 với đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải và bài tập có lời giải cho tiết sẽ giúp học sinh nắm được Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng cực hay.
Phương pháp giải bài tập Cấp số cộng cực hay
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Để xác định một cấp số cộng, ta cần xác định số hạng đầu và công sai. Do đó, ta thường biểu diễn giả thiết của bài toán qua
u1 và d.
Cho cấp số cộng [un]. Khi đó:
un= u1+ [n-1]d: số hạng tổng quát của cấp số cộng;
d: công sai của cấp số cộng
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho cấp số cộng
1. Tính số hạng thứ 100 của cấp số ;
2. Tính tổng 15 số hạng đầu của cấp số ;
3. Tính S = u4 + u5 + …+ u30.
Đáp án và hướng dẫn giải
Từ giả thiết bài toán, ta có:
1. Số hạng thứ 100 của cấp số: u_100=u_1+99d=-295
2. Tổng của 15 số hạng đầu:
3. Ta có:
Bài 2: Tìm bốn số hạng liên tiếp của một cấp số cộng biết tổng của chúng bằng 20 và tổng các bình phương của chúng bằng 120.
Đáp án và hướng dẫn giải
Giả sử bốn số hạng đó là a – 3x, a – x, a + x, a + 3x với công sai là d = 2x. Khi đó, ta có:
Vậy bốn số cần tìm là 2,4,6,8.
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho một cấp số cộng [un] có u1 = 1 và tổng 100 số hạng đầu
bằng 24850. Tính
Lời giải:
Gọi d là công sai của cấp số đã cho
Ta có: S100 = 50[2u1 + 99d] = 24850
Ta
có
Bài 2: Cho cấp số cộng [un]. Xác định cấp số cộng
Lời giải:
Ta có:
Vậy công thức của CSC là : un = u1 + [n-1]d = 70-20n
Bài 3: Với CSC ở câu 3. Tính tổng S = u5 + u7 + …+ u2011
Lời giải:
Ta có u5, u7, …, u2011 lập thành CSC với công sai d
= và có 1003 số hạng nên
Bài 5: Cho cấp số cộng [un] có u1 = 4 và d = -5 Tính tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng.
Lời giải:
Bài 4: Cho CSC
1. Xác định công sai và công thức tổng quát của cấp số;
2. Tính S = u1 + u4 + u7 + …+ u2011.
Lời giải:
Gọi d là
công sai của CSC, ta có:
1. Ta có công sai d = 3 và số hạng tổng quát : un = u1 + [n-1]d = 3n-2.
2. Ta có các số hạng u1, u4, u7,..., u2011 lập thành một CSC gồm 670 số hạng với công sai d’ = 3d, nên
ta có: