Cách tìm tiệm cận đứng và ngang bằng máy tính

Bài toán tìm tiệm cận hàm số sau: Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số [latex]\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}[/latex] là: [Trích câu 18 – Mã đề 101 đề thi THPTQG 2018]

 Lời giải tự luận

Ta nhắc lại về định nghĩa tiệm cận đứng, đường thẳng $latex x={{x}_{0}}$ được gọi là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $latex y=f[x]$ nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thoả mãn:

$latex \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=+\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=-\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=+\infty \\ \underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f[x]=-\infty$

Quay trở lại bài toán trên, ta có tập xác định của $latex f[x]$ là: $latex D=[-9;+\infty ]\backslash \{0;1\}$.

Ta có: $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=+\infty$ nên $latex x=-1$ là tiệm cận đứng

Mặc khác:

$latex \begin{align}   & \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\left[ \sqrt{x+9}-3 \right]\left[ \sqrt{x+9}+3 \right]}{\left[ {{x}^{2}}+x \right]\left[ \sqrt{x+9}+3 \right]} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{x+9-9}{\left[ {{x}^{2}}+x \right]\left[ \sqrt{x+9}+3 \right]} \\  & =\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{1}{\left[ x+1 \right]\left[ \sqrt{x+9}+3 \right]} \\  & =\dfrac{1}{6} \\ \end{align}$

Nên $latex x=0$ không phải là tiệm cận đứng.

Vậy chỉ có 1 đường tiệm cận đứng do đó ta chọn đáp án D.

Chúng ta có thể xác định nhanh giới hạn của $latex f[x]$ bằng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX như sau:

Bước 1: Nhập biểu thức $latex f[x]$

• Cách bấm: as[+9$p3R[d+[
• Máy tính hiển thị:

Nhập biểu thức như trên

Bước 2: Để tính $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}$ ta có thể CALC tại giá trị $latex x=-1+{{10}^{-6}}\approx -1$

• Cách bấm: as[+9$p3R[d+[==
• Máy tính hiển thị:

Kết quả CALC

Từ kết quả ta dự đoán $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=+\infty$ nên $latex x=-1$ là một tiệm cận đứng.

Bước 3: Để tính $latex \underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}$ ta có thể CALC tại giá trị $latex x=0+{{10}^{-6}}\approx 0$

• Cách bấm: !r0+10Kp6==
• Máy tính hiển thị:

Kết quả CALC

Từ kết quả ta dự đoán $latex \underset{x\to -{{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\dfrac{\sqrt{x+9}-3}{{{x}^{2}}+x}=0,1666649544\approx \dfrac{1}{6}$ nên $latex x=0$ không là một tiệm cận đứng.

Các bạn tham khảo đồ thị của hàm số và đường tiệm cận đứng qua hình sau:

Đồ thị hàm số và đường tiệm cận

Trên đây diendanmaytinhcamtay.vn đã giới thiệu cho các bạn cách tìm tiệm cận đứng để giải bài toán tìm tiệm cận hàm số trong đề thi THPTQG 2018. Truy cập diễn đàn mỗi ngày để xem thêm nhiều bài toán ứng dụng hay về cách sử dụng máy tính cầm tay CASIO fx 580VNX.

Phương pháp tìm tiệm cận đứng của đồ thị bằng máy tính Casio FX 500VN PLUS.

TÌM TIỆM CẬN ĐỨNG CỦA HÀM SỐ BẰNG MÁY TÍNH CASIO

Định nghĩa: Đường thẳng $x = {x_0}$ được gọi là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = f[x]$nếu thỏa một trong bốn điều kiện sau:

1. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f[x] = + \infty \,[ – \infty ]$
2. $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f[x] = + \infty \,[ – \infty ]$

Phương pháp:

Bước 1. Tìm các giá trị của ${x_0}$ sao cho hàm số $y = f[x]$không xác định [Thông thường ta cho mẫu số bằng 0]

Bước 2.

+ Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ + } f[x]$ bằng máy tính casio.  Nhập $f[x]$-> nhấn CALC -> chọn $x = {x_0} + 0,00001$.

+ Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}^ – } f[x]$ bằng máy tính casio.  Nhập $f[x]$-> nhấn CALC -> chọn $x = {x_0} – 0,00001$.

Kết quả có 4 dạng sau:

+ Một số dương rất lớn, suy ra giới hạn bằng $ + \infty \,$.

+ Một số âm rất nhỏ, suy ra giới hạn bằng $ – \infty \,$.

+ Một số có dạng ${\rm{A}}{.10^{ – n}}$, suy ra giới hạn bằng $0$.

+ Một số có dạng bình thường là B. Suy ra giới hạn bằng B hoặc gần bằng B.

Câu 1. Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{4x – 3}}{{x – 5}}$

Giải: Cho $x – 5 = 0 \Leftrightarrow x = 5$

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 5}} =  + \infty $$ \Rightarrow x = 5$là tiệm cận đứng

+Tính $\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ + }} \frac{{4x – 3}}{{x – 5}} =  – \infty $$ \Rightarrow x = 5$là tiệm cận đứng

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x = 5

Câu 2. Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2{x^2} – 5x + 3}}{{x – 1}}$

Giải:

Cho x- 1 = 0 suy ra x= 1

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \frac{{2{x^2} – 5x + 3}}{{x – 1}} =  – 1$

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ – }} \frac{{2{x^2} – 5x + 3}}{{x – 1}} =  – 1$

Vậy x= 1 không là tiệm cận đứng. Tóm lại đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng

Câu 3. Tìm các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{3{x^2} + 7x – 10}}{{{x^2} – 2x – 3}}$

Cho ${x^2} – 2x – 3 = 0 \Leftrightarrow x =  – 1;x = 3$

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} \frac{{3{x^2} + 7x – 10}}{{{x^2} – 2x – 3}} =  + \infty $

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ – }} \frac{{3{x^2} + 7x – 10}}{{{x^2} – 2x – 3}} =  – \infty $

Suy ra x = -1 là tiệm cận đứng.

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 7x – 10}}{{{x^2} – 2x – 3}} =  + \infty $

+$\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ – }} \frac{{3{x^2} + 7x – 10}}{{{x^2} – 2x – 3}} =  – \infty $

Suy ra x= 3 là tiệm cận đứng.

Vậy đồ thị hàm số có 2 tiệm cận đứng là x= -1 và x = 3

Câu 4. [ĐỀ THPT QG 2017] Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{{x^2} – 3x – 4}}{{{x^2} – 16}}$ .

Vậy đồ thị hàm số có 1 tiệm cận đứng là x = -4

Câu 5. [ĐỀ THPT QG 2018]  Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {x + 9}  – 3}}{{{x^2} + x}}$ là

Cho      ${x^2} + x = 0 \Leftrightarrow x = 0;x =  – 1$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  – 3}}{{{x^2} + x}} = 0,1666……$

$\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ – }} \frac{{\sqrt {x + 9}  – 3}}{{{x^2} + x}} = 0,1666……$

Suy ra x= 0 không là tiệm cận đứng

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ + }} \frac{{\sqrt {x + 9}  – 3}}{{{x^2} + x}} =  + \infty $

$\mathop {\lim }\limits_{x \to  – {1^ – }} \frac{{\sqrt {x + 9}  – 3}}{{{x^2} + x}} =  – \infty $

1. $3$. B. $2$.                        C. $0$.                         D. $1$.

Câu 6. [ĐỀ MINH HỌA THPT QG 2017]  Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{2x – 1 – \sqrt {{x^2} + x + 3} }}{{{x^2} – 5x + 6}}$ là

1. $x = – 3;x =  – 2$.          B. $x = 3$                    C. $x = 3;x = 2$                 D. $x = 2$.

Giải

${x^2} – 5x + 6 = 0 \Leftrightarrow x = 2;x = 3$

Câu 7. Tìm số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y = \frac{{\sqrt {2{x^2} + 7}  – x – 2}}{{{x^2} – 4x + 3}}$

1. $3$. B. $2$                          C. $0$.                             D. $1$.