- Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, nửa đường tròn đơn vị là nửa đường tròn có tâm $ O[0;0]$, bán kính bằng $ 1$ và đi qua các điểm $ A[1;0], B[0;1], A'[-1;0]$.
1.2. Giá trị lượng giác của một góc từ $0^\circ$ đến $180^\circ$
- Với mỗi góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ thì có đúng một điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$. Ngược lại, với mỗi điểm $ M$ trên nửa đường tròn đơn vị thì tồn tại đúng một góc $0^\circ \leqslant \alpha \leqslant 180^\circ$ sao cho $ \widehat{AOM}=\alpha$.
- Giả sử điểm $ M$ có tọa độ $ M[x_0;y_0]$ thì chúng ta định nghĩa:
- $ \sin \alpha =y_0$;
- $ \cos \alpha = x_0$;
- $ \tan \alpha =\frac{y_0}{x_0}=\frac{\sin x}{\cos x}$ nếu $ x_0\ne 0$;
- $ \cot \alpha =\frac{x_0}{y_0}=\frac{\cos x}{\sin x}$ nếu $ y_0\ne 0$.
Trục hoành – trục nằm ngang – còn được gọi là trục cos, trục tung – trục thẳng đứng – còn được gọi là trục sin.
1.3. Tính chất của giá trị lượng giác
- Nếu $ a+b=180^\circ$ [hai góc bù nhau] thì \begin{align} \sin a =\sin b,\\ \cos a = -\cos b,\\ \tan a =-\tan b, \\ \cot a =-\cot b.\end{align}
- Các hệ thức lượng giác cơ bản:
- $ \sin^2x+\cos^2x =1$
- $ \tan x =\frac{\sin x}{\cos x}$
- $ \cot x =\frac{\cos x}{\sin x}$
- $ \tan x \cdot \cot x =1$
1.4. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
2. Bài tập giá trị lượng giác của một góc từ 0° đến 180°
Bài 1. Cho $\cos \alpha=-\frac{2}{3}$. Tính $\sin \alpha;\tan \alpha$ và $\cot \alpha$.
Bài 2. Cho góc $\alpha$ biết $0^\circ < \alpha < 90^\circ $ và $\tan \alpha =3$. Tính $\sin \alpha$ và $\cos \alpha$.
Bài 3. Cho $\sin \alpha =\frac{3}{4}$ với $90^\circ Lưu ý: vì sđ = sđ nên định nghĩa các giá trị lượng giác của cung lượng giác α cũng là giá trị lượng giác của góc lượng giác α.
2. Hệ quả
a] sinα và cosα xác định với mọi α ∈ R, hơn nữa, ta có:
sin[α + k2π] = sinα, ∀k ∈ Z;
cos[α + k2π] = cosα, ∀k ∈ Z;
b] Vì nên:
c] tanα xác định với mọi
cotα xác định với mọi
d] Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác
II. Quan hệ giữa các giá trị lượng giác
1. Công thức lượng giác cơ bản
- Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau:
2. Giá trị lượng giác của các cung liên quan đặc biệt
a] Cung đối nhau: α và -α
cos[-α] = cosα
sin[-α] = -sinα
tan[-α] = -tanα
cot[-α] = -cotα
b] Cung bù nhau: α và π-α
sin[π-α] = sinα
cos[π-α] = -cosα
tan[π-α] = -tanα
cot[π-α] = -cotα.
c] Cung hơn kém nhau π: α và α+π
sin[α+π] = -sinα
cos[α+π] = -cosα
tan[α+π] = tanα
cot[α+π] = cotα.
d] Cung phụ nhau π: α và π/2 - α
> Gợi ý cách ghi nhớ:
- Chúng ta thấy: Trong cung đối chỉ hàm cos có dấu dương, cung bù chỉ hàm sin có dấu dương, cung phụ tất cả dương nhưng chéo sin-cos tan-cot; hơn kém nhau pi thì tan và cot dương; nên cách nhớ như sau: cos đối, sin bù, phụ chéo, khác pi [π] tan [Cot]
B. Bài tập vận dụng Giá trị lượng giác của một cung
* Bài 1 trang 148 SGK Đại Số 10: Có cung α nào mà sinα nhận các giá trị tương ứng sau đây không?
a] -0,7; b] 4/3; c] –√2 d] [√5]/2;
* Lời giải:
Ta có: -1 ≤ sin α ≤ 1 với mọi α ∈ R.
a] Vì -1 < –0,7 < 1 nên tồn tại cung α thỏa mãn sinα = -0,7.
+ Cách dựng:
Trên trục tung xác định kiểm K sao cho Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với trục tung cắt đường tròn lượng giác tại hai điểm M1 và M2.
Khi đó với α = sđ hoặc α = sđ khi đó, theo định nghĩa
b] Vì 4/3 > 1 nên không tồn tại α để sinα = 4/3.
c] Vì [-√2] < -1 nên không tồn tại α để sinα = -√2.
d] Vì [√5]/2 > 1 nên không tồn tại α để sinα = √5/2.
* Bài 2 trang 148 SGK Đại Số 10: Các đẳng thức sau đây có thể đồng thời xảy ra không?
a] và
b] và
c] sinα = 0,7 và cosα = 0,3
* Lời giải:
- Vận dụng công thức: sin2α + cos2α = 1, ∀α ∈ R.
a] và
- Ta có:
Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để và
b] và
- Ta có:
Do đó TỒN TẠI α ∈ R để và
c] sinα = 0,7 và cosα = 0,3
- Ta có: 0,72 + 0,32 = 0,49 + 0,09 = 0,58 ≠ 1
Do đó KHÔNG TỒN TẠI α ∈ R để sinα = 0,7 và cosα = 0,3
* Bài 3 trang 148 SGK Đại Số 10: Cho 0 < α < π/2. Xác định dấu của các giá trị lượng giác.
a] sin[α – π] b]
c] d]
* Lời giải:
- Vì 0 < α < π/2 [góc phần tư thứ I] nên sin α > 0, cos α > 0, tan α > 0, cot α > 0.
• Cách 1: Dựa vào mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt
a] sin[α – π] = -sin[π – α] [áp dụng công thức sin[-α] = -sinα]
= -sinα [áp dụng công thức sin [π – α] = sinα].
b] =-sinα
[áp dụng công thức cos[π + α]=-cosα và công thức cos[π/2 - α] = sinα]
Mà sinα > 0 nên suy ra 0 nên tan [α + π] > 0.
d]
[áp dụng công thức và công thức tan[-α] = -tan α].
Mà tanα > 0 nên