[Toán lớp 6 nâng cao – Chuyên đề Dãy số viết theo quy luật] – Bài 2: Dãy số cách đều.
Phương phápgiải:
- Tổng = [số đầu + số cuối].số số hạng : 2
- Số số hạng = [Số lớn nhất – Số nhỏ nhất] : khoảng cách + 1.
Bài tập vận dụng:
VD1: Tính: A = 1 + 2 + 3 + …+ 2015
A = [1 + 2015].2015 : 2 = 2016.2015 : 2.
VD2: Tính:B = 1 + 3 + 5 + …+ 1017
B = [1 + 1017].509 : 2 = 1018.509 : 2.
VD3: Tính:C = 2 + 4 + 6 +… + 2014
C = [2 + 2014].1007 : 2
C = 2016.1007 : 2.
VD4: Tính:D = 1 + 4 + 7 + …+ 2008
D = [1 + 2008].670 : 2 = 2009.670 : 2
Mọi thông tin cần hỗ trợ tư vấn đăng ký học tập Toán lớp 6 cơ bản và nâng cao vui lòng liên hệ Thầy Thích: 0919.281.916 [Hỗ trợ 24/7].
Chúc các em học tập tốt 🙂
Thân ái.
Dãy số viết theo quy luật – Bài 2: Dãy số cách đều
Tagged on: Dãy số cách đềuDãy số quy luật
Bài Toán Tính Tổng Của Dãy Số Có Quy Luật Cách Tính Số Số Hạng Lớp 6
Bạn đang xem: Bài Toán Tính Tổng Của Dãy Số Có Quy Luật Cách Tính Số Số Hạng Lớp 6 Tại Tác Giả
Các dạng toán tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật là một trong những chuyên đề có khá nhiều bài tập được gọi là “khó nhằn” và gây “căng thẳng đầu óc” cho các bạn học sinh lớp 6, đây có thểcoi làdạng toán dành cho học sinh khá giỏi.
Đang xem: Cách tính số số hạng lớp 6
Vì vậy, nhằm giúp các em học sinh “giải tỏa được căng thẳng” khi gặp các dạng toán về tính tổng dãy số lũy thừa có quy luật, trong bài viết này chúng ta hãy cùng hệ thống lại một sốdạng toán này cùngcông thức và cách giải, sau đó vận dụng làm các bài tập.
I. Dạng toán tính tổng dãy sử dụng phương pháp quy nạp.
– Đối với 1 số trường hợp khi tính tổng hữu hạn:
Sn = a1 + a2 + . . . + an [*]
khi mà ta có thể biết được kết quả [đề bài toán cho ta biết kết quả hoặc ta dự đoán được kết quả], thì ta sử dụng phương pháp quy nạp này để chứng minh.
* Ví dụ: Tính tổng Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + [2n -1]
° Hướng dẫn: [sử dụng phương pháp quy nạp]
– Đầu tiên, ta thử với n = 1, ta có: S1 = [2.1 – 1] = 1
Thử với n = 2, ta có: S2 = [2.1 – 1] + [2.2 – 1] = 1+ 3 = 4 = 22
Thử với n= 3, ta có: S3= [2.1 – 1] + [2.2 – 1] + [2.3 – 1]= 1+ 3 + 5 = 9 = 32
… … …
– Ta dự đoán: Sn= 1 + 3 + 5 + . . . + [2n -1] = n2
• Phương pháp quy nạp: Sn = 1 + 3 + 5 + . . . + [2n -1] = n2[*]
Với n = 1; S1 = 1 [đúng]
Giả sử đúng với n = k [k≠1], tức là:
Sk =1 + 3 + 5 + . . . + [2k -1] = k2 [1]
Ta cần chứng minh [*] đúng với n = k+1, tức là:
Sk+1 = 1 + 3 + 5 + . . . + [2k-1] + [2k+1] = [k+1]2
Vì ta đã giải sử Sk đúng nên ta đã có [1], từ đây ta biến đổi để xuất hiện [2], [1] còn được gọi là giải thiết quy nạp.
1 + 3 + 5 + . . . + [2k-1] = k2
1 + 3 + 5 + . . . + [2k-1] + [2k+1] = k2 + [2k+1][cộng 2k+1 vào 2 vế].
Từ đó⇒ 1 + 3 + 5 + . . . + [2k-1]+ [2k+1]= k2 + 2k + 1 = [k+1]2
•Tương tự như vậy, ta có thể chứng minh các kết quả sau bằng phương pháp quy nạp toán học:
1]
2]
3]
4]
II. Dạng toán Tính tổng dãy sử dụng phương pháp khử liên tiếp
– Giả sử cần tính tổng:Sn= a1+ a2+ . . . + an[*] mà ta có thể biểu diễn ai, i =1,2,3,…,n qua hiệu của 2 số hạng liên tiếp của 1 dãy khác, cụ thể như sau:
a1 = b1 – b2
a2= b2– b3
… … …
an= bn– bn+1
⇒ Khi đó ta có:Sn= [b1– b2] + [b2– b3]+…+[bn– bn+1] = b1 – bn+1
* Ví dụ 1: Tính tổng:
°Hướng dẫn:– Ta có:
…;
⇒
• Dạng tổng quát:
* Ví dụ 2:Tính tổng:
°Hướng dẫn:– Ta có:
;…;
* Ví dụ 3: Tính tổng:
°Hướng dẫn:– Ta có:
III. Dạng toán giải phương trình với ẩn là tổng cần tìm
• Dạng toán này vận dựng 2 phương pháp giới thiệu ở trên
* Ví dụ 1: Tính tổng: S = 1 + 2 + 22 + . . . + 2100 [*]
° Hướng dẫn:
* Cách 1: Ta viết lại S như sau:
S = 1 + 2[1 + 2 + 22+ . . . + 299]
S = 1 + 2[1 + 2 + 22+ . . . + 299 + 2100 – 2100]
⇒ S = 1+ 2[S – 2100] = 1+ 2S – 2101
⇒ S = 2101 – 1
* Cách 2: Nhân 2 vế với 2, ta được:
2S = 2[1 + 2 + 22+ . . . + 2100]
⇔ 2S = 2 + 22 + 23 + . . . 2101 [**]
– Lấy [**] trừ đi [*] ta được:
2S – S = [2 + 22+ 23+ . . . 2101] – [1 + 2 + 22+ . . . + 2100]
⇔ S = 2101– 1.
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Sn với a. Rồi TRỪ vế với vế ta được:
* Ví dụ 2:Tính:
S =1 – 2 + 22– 23 + 24 – . . . – 299 + 2100
° Hướng dẫn:– Ta có:
2S = 2[1 – 2 + 22– 23+ 24–. . . – 299+ 2100]
⇔2S = 2 – 22 + 23– 24+ 25–. . . – 2100+ 2101
⇔2S + S = [2 – 22+ 23– 24+ 25–. . . – 2100+ 2101] + [1 – 2 + 22– 23+ 24– . . . – 299+ 2100]
⇔ 3S =2101 + 1.
Xem thêm: Hướng Dẫn Cách Nhập Điểm Trong Excel Với Hàm Average, Tự Điền Chữ Khi Nhập Điểm Chấm Thi
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Snvới a. Rồi CỘNG vế với vế ta được:
* Ví dụ 3:Tính tổng:
S = 1 + 32 + 34 + . . . + 398 + 3100[*]
° Hướng dẫn:
– Với bài toán này, mục tiêulà nhân 2 vế của S với một số nào đó mà khi trừ vế với về thì ta được các số khử [triệu tiêu] liên tiếp.
– Đối với bài này, ta thấy số mũ của 2 số liên tiếp cách nhau 2 đơn vị nên ta nhân hai vế với 32 rồi áp dụng phương pháp khử liên tiếp.
S = 1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100
⇔ 32.S = 32[1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100]
⇔ 9S= 32+ 34+ . . . + 3100+ 3102 [**]
– Ta Trừ vế với vế của [**] cho [*] được:
9S-S= [32+ 34+ . . . + 3100+ 3102] – [1 + 32+ 34+ . . . + 398+ 3100]
⇔ 8S = 3102 – 1
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad . Rồi TRỪ vế với vế ta được:
* Ví dụ 4:Tính:
S = 1 – 23+ 26– 29+ . . . + 296– 299[*]
° Hướng dẫn:
– Lũy thừa các số liên tiếp cách nhau 3 đơn vị, nhân 2 vế với 23 ta được:
23.S = 23.[1 – 23+ 26– 29+. . . + 296– 299]
⇒ 8S = 23– 26+ 29– 212+. . . + 299– 2102 [**]
– Ta CỘNG vế với vế [**] với [*] được:
8S + S = [23– 26+ 29– 212+. . . + 299– 2102]+[1 – 23+ 26– 29+. . . + 296– 299]
⇔ 9S = 1 – 2102
• Tổng quát cho dạng toán này như sau:
Ta nhân cả 2 vế của Snvới ad. Rồi CỘNG vế với vế ta được:
III. Dạng toán vận dụng công thức tính tổng các số hạng của dãy số cách đều.
•Đối với dạng này ở bậc học cao hơn như THPT các em sẽ có công thức tính theo cấp số cộng hoặc cấp số nhân, còn với lớp 6 các em dựa vào cơ sở lý thuyết sau:
– Để đếm được số hạng cảu 1 dãy số mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Số số hạng = + 1
– Để tính Tổng các số hạng của một dãy mà 2 số hạng liên tiếp cách đều nhau 1 số đơn vị ta dùng công thức:
Tổng = :2
* Ví dụ 1:Tính tổng: S = 1 + 3 + 5 + 7 + … + 39
° Hướng dẫn:
– Số số hạng của S là: [39-1]:2+1 = 19+1 = 20.
S = :2 = 10.40 = 400.
* Ví dụ 2:Tính tổng: S = 2 + 5 + 8 + … + 59
° Hướng dẫn:
–Số số hạng của S là:[59-2]:3+1 = 19+1 = 20.
S = :2 = 10.61 = 610.
Xem thêm: Top 8 Trung Tâm Dạy Khóa Học Graphic Design Ngắn Hạn, Lớp Thiết Kế Đồ Hoạ Ngắn Hạn
IV. Dạng toán tổng hợp vận dụng các tổng đã biết
• Ký hiệu:
• Tính chất:
* Ví dụ:Tính tổng: Sn = 1.2 + 2.3 + 3.4 +…+n[n+1]
° Hướng dẫn:
–Ta có:
– Mặt khác, lại có:
[theo PP quy nạp ở mục I].
[theo PP quy nạp ở mục I]
V. Một số bài tập luyện tập về tính tổng dãy số có quy luật
Bài tập 1: Tính tổng: S = 3 + 8 + 13 + 18 + … + 228
Bài tập 2: Tính các tổng sau:
a] S = 6 + 62 + 63 +…+ 699 + 6100
b] S = 5 + 11 + 17 +…+ 95 + 101
c]
d]
Bài tập 3: Chứng minh
a] 1.4 + 4.7 + 7.10 +…+[3n-2][3n+1] = n[n+1]2
b]
Hy vọng với bài viết hệ thống lại Các dạng toán Tính tổng Dãy số lũy thừa có quy luật và bài tập vận dụng ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại bình luận dưới bài viết để Hay Học Hỏi ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt !
Xem thêm bài viết thuộc chuyên mục: Cách tính
Phương pháp tính tổng của dãy số có quy luật cách đều
- Bài Toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều
- Một số bài tự luyện
Bài Toán tính tổng của dãy số có quy luật cách đều
Muốn tính tổng của một dãy số có quy luật cách đều chúng ta thường hướng dẫn học sinh tính theo các bước như sau:
Bước 1: Tính số số hạng có trong dãy: [Số hạng lớn nhất của dãy - số hạng bé nhất của dãy]: khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp trong dãy + 1
Bước 2: Tính tổng của dãy: [Số hạng lớn nhất của dãy + số hạng bé nhất của dãy] x số số hạng có trong dãy : 2
Ví dụ 1: Tính giá trị của A biết:
A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.
Phân tích: Đây là dạng bài cơ bản trong dạng bài tính tổng của dãy có quy luật cách đều, chúng ta hướng dẫn học sinh tính giá trị của A theo 2 bước cơ bản ở trên.
Bài giải
Dãy số trên có số số hạng là:
[2014 – 1] : 1 + 1 = 2014 [số hạng]
Giá trị của A là:
[2014 + 1] x 2014 : 2 = 2029105
Đáp số: 2029105
Ví dụ 2: Cho dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............
Tìm số hạng thứ 2014 của dãy số trên?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = [Số số hạng trong dãy – 1] x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng bé nhất trong dãy.
Bài giải
Số hạng thứ 2014 của dãy số trên là:
[2014 – 1] x 2 + 2 = 4028
Đáp số: 4028
Ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy đó là 2013 ?
Phân tích: Từ bước 1 học sinh sẽ tìm ra cách tìm số hạng bé nhất trong dãy là: Số hạng bé nhất = Số hạng lớn nhất - [Số số hạng trong dãy – 1] x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ đó học sinh sẽ dễ dàng tính được tổng theo yêu cầu của bài toán.
Bài giải
Số hạng bé nhất trong dãy số đó là:
2013 - [50 – 1] x 2 = 1915
Tổng của 50 số lẻ cần tìm là
[2013 + 1915] x 50 : 2 = 98200
Đáp số: 98200
Ví dụ 4: Một dãy phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là các số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số nhà của dãy phố đó bằng 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của dãy phố đó là số nào ?
Phân tích: Bài toán cho chúng ta biết số số hạng là15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 và tổng của dãy số trên là 915. Từ bước 1 và 2 học sinh sẽ tính được hiệu và tổng của số nhà đầu và số nhà cuối. Từ đó ta hướng dẫn học sinh chuyển bài toán về dạng tìm số bé biết tổng và hiêu của hai số đó.
Bài giải
Hiệu giữa số nhà cuối và số nhà đầu là:
[15 - 1] x 2 = 28
Tổng của số nhà cuối và số nhà đầu là:
915 x 2 : 15 = 122
Số nhà đầu tiên trong dãy phố đó là:
[122 - 28] : 2 = 47
Đáp số: 47
Bài toán tính tổng dãy số là gì?
Bài toán tính tổng dãy số là bài có một dãy số gồm nhiều số hạng, tuy nhiên trước mỗi số hạng không nhất định phải là dấu cộng mà có thể là dấu trừ hoặc bao gồm cả dấu cộng và dấu trừ
Công thức tính tổng dãy số cách đều
Công thức tính tổng dãy số cách đều = [số hạng đầu + số hạng cuối] x số số hạng có trong dãy : 2
Tính số cuối cách đều = số hạng đầu + [số số hạng – 1] x đơn vị khoảng cách
Tính số đầu cách đều = số hạng cuối– [số số hạng trong dãy – 1] x đơn vị khoảng cách
Tính số số hạng trong dãy = [số hạng cuối – số hạng đầu] : đơn vị khoảng cách + 1
Tính trung bình cộng = trung bình cộng của số hạng đầu và số hạng cuối trong dãy
Chú ý:
- Bài toán tính tổng dãy số cách đều thì ta chỉ nên quan tâm đến số hạng đầu, số hạng cuối và số số hạng có trong dãy, hai số liên tiếp cách nhau bao nhiêu đơn vị [đơn vị khoảng cách]
- TRong bài toán có số hạng là lẻ thì số ở giữa bằng ½ tổng mỗi cặp [số đầu + số cuối]
- Tùy vào bài toán tính dãy số tăng hoặc giảm để vận dụng vào những công thức trên sao cho phù hợp nhé
Ví dụ: Cho dãy số 2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26. Biết dãy số cách đều nhau 3 đơn vị, có 9 số hạng, số hạng đầu là 2 và số hạng cuối bằng 26
Lời giải:
Áp dụng công thức tính tổng dãy số cách đều ở trên ta có:
Tổng = [2 + 26] x 9 : 2 = 126
Số cuối = 2 + 3 x [9 – 1] = 26
Số đầu = 26 – 3 x [9 – 1] = 0
Số số hạng = [26 – 1] : 3 + 1 = 9,3
TB cộng = [2 + 5 + 8 + 11 + 14 + 17 + 20 + 23 + 26] : 9 = [ 2 + 26] : 2 = 14 hay = số ở giữa là 14