Căn bậc 3 là một chủ đề thuộc chương trình toán lớp 9, đây là dạng thường xuyên xuất hiện trong đề thi vào 10 nên các bạn học sinh phải học thật cẩn thận. Trong bài viết này mathsilo sẽ chia sẻ lý thuyết đầy đủ và chi tiết nhất về căn bậc ba. Mời bạn theo dõi
1. Căn bậc 3 đầy đủ
1.1 Căn bậc 3 là gì?
Đ/n: Căn bậc ba của một số a là một số 𝒙 sao cho 𝒙𝟑 = 𝒂
+ Căn bậc ba của một số a là số x sao cho \[x^3=a\]
+ Căn bậc ba của số a được kí hiệu là \[\root 3 \of a \]
Như vậy \[{\left[ {\root 3 \of a } \right]^3} = a\]
Mọi số thực đều có căn bậc ba.
Lưu ý: Mọi số a đều có duy nhất một căn bậc ba.
1.2 Tính chất
Dưới đây là 6 tính chất quan trọng của căn bậc ba
1.3 Rút gọn biểu thức căn bậc ba
Dự vào tính chất và phép nhân, khai căn bậc 3 ta sẽ rút gọn được các biểu thức
1.4 Áp dụng
Từ các tính chất trên, ta cũng có các quy tắc đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn bậc ba, quy tắc khử mẫu của biểu thức lấy căn bậc ba và quy tắc trục căn bậc ba ở mẫu:
a] \[a\root 3 \of b = \root 3 \of {{a^3}b} \]
b] \[\displaystyle \root 3 \of {{a \over b}} = {{\root 3 \of {a{b^2}} } \over b}\]
c] Áp dụng hằng đẳng thức \[\left[ {A \pm B} \right]\left[ {{A^2}\mp AB + {B^2}} \right] = {A^3} \pm {B^3}\], ta có:
\[\eqalign{
& \left[ {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b } \right]\left[ {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^3}} } \right] \cr
& = {\left[ {\root 3 \of a } \right]^3} \pm {\left[ {\root 3 \of b } \right]^3} = a \pm b \cr} \]
Do đó
\[\eqalign{
& {M \over {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b }} \cr
& = {{M\left[ {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right]} \over {\left[ {\root 3 \of a \pm \root 3 \of b } \right]\left[ {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right]}} \cr
& = {{M\left[ {\root 3 \of {{a^2}} \mp \root 3 \of {ab} + \root 3 \of {{b^2}} } \right]} \over {a \pm b}} \cr} \]
2. Phân dạng
Dạng 1: Tính giá trị biểu thức
Sử dụng: \[{\left[ {\sqrt[3]{a}} \right]^3} = \sqrt[3]{{{a^3}}} = a\]
Ví dụ:\[\sqrt[3]{{64}} = \sqrt[3]{{{4^3}}} = 4\]
Dạng 2: So sánh các căn bậc ba
Sử dụng:\[a < b \Leftrightarrow \sqrt[3]{a} < \sqrt[3]{b}\]
Ví dụ: So sánh 3 và\[\sqrt[3]{{26}}\]
Ta có:\[3 = \sqrt[3]{{27}}\] mà \[26 \sqrt[3]{{28}}$ $ \Rightarrow 2\sqrt[3]{6} > \sqrt[3]{{28}}$
b] $3\sqrt[3]{2} = \sqrt[3]{{27.2}} = \sqrt[3]{{54}} > \sqrt[3]{{15}}$ $ \Rightarrow 3\sqrt[3]{2} > \sqrt[3]{{15}}$
c] $13 = \sqrt[3]{{{{13}^3}}} = \sqrt[3]{{2197}} > \sqrt[3]{{120}}$ $ \Rightarrow 13 > \sqrt[3]{{120}}$
d] $6 = \sqrt[3]{{{6^3}}} = \sqrt[3]{{216}}$ [1]
$3\sqrt[3]{6} = \sqrt[3]{{{3^3}.6}} = \sqrt[3]{{162}}$ [2]
Từ [1], [2]: $\sqrt[3]{{216}} > \sqrt[3]{{162}}$ => 6 > $3\sqrt[3]{6}$
Bài tập 2. Hãy rút gọn biểu thức sau
a] y = $\sqrt[3]{{216}} + \sqrt[3]{{27}} \sqrt[3]{8}$
b] y = $\sqrt[3]{{ 125}} + \sqrt[3]{{0,064}} \sqrt[3]{{216}}$
Lời giải
Để rút gọn biểu thức này ta cần dựa vào tính chất để biến đổi, từ đó khai căn rồi rút gọn biểu thức trên
a] y = $\sqrt[3]{{216}} + \sqrt[3]{{27}} \sqrt[3]{8}$
$ = \sqrt[3]{{{6^3}}} + \sqrt[3]{{{3^3}}} \sqrt[3]{{{2^3}}}$
= 6 + 3 2 = 7
b] y = $\sqrt[3]{{ 125}} + \sqrt[3]{{0,064}} \sqrt[3]{{216}}$
$ = \sqrt[3]{{{{\left[ { 5} \right]}^3}}} + \sqrt[3]{{{{\left[ {0,4} \right]}^3}}} \sqrt[3]{{{6^3}}}$
= 5 + 0,4 6 = 10,6
Bài tập 3. Tìm nghiệm của phương trình
a] $\sqrt[3]{{{x^3} 2{x^2} + 1}} = 3 + x$
b] $\sqrt[3]{{{x^2} 1}} = 1 x$
Lời giải
a] $\sqrt[3]{{{x^3} 2{x^2} + 1}} = 3 + x$
${x^3} 2{x^2} + 1 = {\left[ {3 + x} \right]^3}$
${x^3} 2{x^2} + 1 = {3^3} + {3.3^2}.x + 3.3.{x^2} + {x^3}$
$11.{x^2} + 27.x + 26 = 0$
Phương trình này vô nghiệm!
b] $\sqrt[3]{{{x^2} 1}} = 1 x$
$ \Leftrightarrow {x^2} 1 = {\left[ {1 x} \right]^3}$
$ \Leftrightarrow \left[ {x 1} \right]\left[ {x + 1} \right] = {\left[ {1 x} \right]^3}$
$ \Leftrightarrow \left[ {x 1} \right]\left[ {x + 1} \right] + {\left[ {x 1} \right]^3} = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ {x 1} \right]\left[ {\left[ {x + 1} \right] + {{\left[ {x 1} \right]}^2}} \right] = 0$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x 1 = 0\\ \left[ {x + 1} \right] + {\left[ {x 1} \right]^2} = 0 \end{array} \right.$
$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = 1\\ {x^2} x + 2 = 0\left[ {Vo\,nghiem} \right] \end{array} \right.$
=> x = 1
PHương trình có nghiệm duy nhất là x = 1
Hy vọng với chia sẻ về lý thuyết căn bậc 3 đầy đủ trên sẽ là tài liệu hữu ích với bạn. Ngoài ra bạn có thể tìm hiểu thêm về chủ đề vòng tròn lượng giác, căn bậc 2, trong bài trước. Chúc các bạn học tập tốt!