Cho hàm số [f[ x ] # 0 ]; [f'[ x ] = [ [2x + 1] ].[f^2][ x ] ] và [f[ 1 ] = - 0,5 ]. Tính tổng [f[ 1 ] + f[ 2 ] + f[ 3 ] + ... + f[ [2017] ] = [a][b] ]; [[ [a thuộc mathbb[Z];b thuộc mathbb[N]] ] ] với [[a][b] ] tối giản. Chọn khẳng định đúng:
Câu 24874 Vận dụng cao
Cho hàm số \[f\left[ x \right] \ne 0\]; \[f'\left[ x \right] = \left[ {2x + 1} \right].{f^2}\left[ x \right]\] và \[f\left[ 1 \right] = - 0,5\].
Tính tổng \[f\left[ 1 \right] + f\left[ 2 \right] + f\left[ 3 \right] + ... + f\left[ {2017} \right] = \dfrac{a}{b}\]; \[\left[ {a \in \mathbb{Z};b \in \mathbb{N}} \right]\] với \[\dfrac{a}{b}\] tối giản. Chọn khẳng định đúng:
Đáp án đúng: c
Phương pháp giải
- Tìm hàm số \[f\left[ x \right]\] bằng cách chia cả hai vế của đẳng thức \[f'\left[ x \right] = \left[ {2x + 1} \right].{f^2}\left[ x \right]\] cho \[{f^2}\left[ x \right]\]
- Thay hàm số \[f\left[ x \right]\] vừa tìm được vào tính tổng suy ra \[a,b\]
Lời giải của GV Vungoi.vn
Cách 1: Không đi tìm hàm \[F\left[ x \right]\].
Ta có:
\[\begin{array}{l}P = F\left[ { - 1} \right] + 2F\left[ 2 \right]\\\,\,\,\,\, = \left[ {F\left[ { - 1} \right] - F\left[ 0 \right]} \right] + 2\left[ {F\left[ 2 \right] - F\left[ 0 \right]} \right] + 3F\left[ 0 \right]\\\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {f\left[ x \right]dx} + 2\int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx} + 3F\left[ 0 \right]\end{array}\]
[Hàm số \[F\left[ x \right]\] là hàm số thay đổi công thức tại \[x = 1\], nhưng liên tục tại \[x = 1\], nên việc ta khẳng định \[\int\limits_0^2 {f\left[ x \right]dx} = F\left[ 2 \right] - F\left[ 0 \right]\] là hoàn toàn chặt chẽ bản chất và việc phân đoạn tích phân vẫn đúng].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow P = \int\limits_0^{ - 1} {f\left[ x \right]dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {f\left[ x \right]dx} + \int\limits_1^2 {f\left[ x \right]dx} } \right] + 3.2\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = \int\limits_0^{ - 1} {\left[ {3{x^2} + 4} \right]dx} + 2\left[ {\int\limits_0^1 {\left[ {3{x^2} + 4} \right]dx} + \int\limits_1^2 {\left[ {2x + 5} \right]dx} } \right] + 6\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 27\end{array}\]
Cách 2: Tìm hàm \[F\left[ x \right]\].
\[f\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}2x + 5\\3{x^2} + 4\end{array} \right. \Rightarrow F\left[ x \right] = \int {f\left[ x \right]dx} = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + {C_1}\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + {C_2}\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\].
+ Vì \[F\left[ 0 \right] = 2 \Rightarrow {0^3} + 4.0 + {C_2} = 2 \Leftrightarrow {C_2} = 2\].
+ Theo giả thiết, \[F\left[ x \right]\] là hàm số tồn tại đạo hàm trên \[\mathbb{R}\].
\[ \Rightarrow F\left[ x \right]\] tồn tại đạo hàm tại \[x = 1 \Rightarrow F\left[ x \right]\] liên tục tại \[x = 1\].
\[ \Rightarrow F\left[ {{1^ + }} \right] = F\left[ {{1^ - }} \right] = F\left[ 1 \right] \Rightarrow 1 + 5 + {C_1} = 1 + 4 + {C_2}\] \[ \Rightarrow {C_1} = - 1 + {C_2} = 1\].
\[\begin{array}{l} \Rightarrow F\left[ x \right] = \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 5x + 1\,\,khi\,\,x \ge 1\\{x^3} + 4x + 2\,\,khi\,\,x < 1\end{array} \right.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}F\left[ { - 1} \right] = {\left[ { - 1} \right]^3} + 4.\left[ { - 1} \right] + 2 = - 3\\F\left[ 2 \right] = {2^2} + 5.2 + 1 = 15\end{array} \right.\\ \Rightarrow P = F\left[ { - 1} \right] + 2F\left[ 2 \right] = - 3 + 2.15 = 27\end{array}\]
- lý thuyết
- trắc nghiệm
- hỏi đáp
- bài tập sgk
Cho hàm số y = f[x] = 2x - 5
a. Tính f[-2]; f[1]
b. Tìm x để f[x] = -11
Các câu hỏi tương tự
Cho hàm số y = f[x] = -2x + 5. Tính f[2] A. 1 B. 9 C. 7 D. -9
M
F[0]=2 ko thể áp dụng cho 2x+5 ạ vì x>=1. Em cảm ơn ạ
Nguyen Anh · 2 tháng trước
Sao e tính ra 27 nhỉ . Em cảm ơn
...Xem tất cả bình luận