Làm được bài tập trắc nghiệm về liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
3. Thái độ:
Cẩn thận, chính xác.
Tích cực xây dựng bài.
4. Định hướng phát triển năng lực:
Phát triển năng lực tư duy trừu tượng, trí tưởng tưởng tượng trong không gian.
Biết quan sát và phán đoán hình học không gian một cách chính xác.
II. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh
1. Giáo viên: Dụng cụ dạy học; máy vi tính; máy chiếu.
2. Học sinh: Đồ dùng học tập; bài cũ.
III. Chuỗi các hoạt động học
Giới thiệu
Hãy quan sát một số hình ảnh sau đây
Trong thực tế, hình ảnh cây cột cờ dựng giữa sân trường cho ta khái niệm về sự vuông góc của đường thẳng với mặt phẳng [xem hình vẽ minh họa].
Những hình ảnh này có mối liên hệ gì giữa các đường thẳng và các mặt phẳng trong không gian?
2. Nội dung bài học:
2.1. Định nghĩa:
Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa
Gợi ý
Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ hãy liệt kê AA’ vuông góc với những cạnh nào của hình lập phương?
Cạnh AA’ vuông góc với các cạnh: AB, BC, CD, DA, A’B, B’C’, C’D’, D’A’,
Hoạt động 2: Hình thành định nghĩa
Gợi ý
Định nghĩa: Đường thẳng d được gọi là vuông góc với mặt phẳng [α] nếu d vuông góc với mọi đường thẳng a nằm trong mặt phẳng [α].
Các cạnh AB, BC, CD, DA nằm trong mặt phẳng ABCD và các cạnh A’B’, B’C’, C’D’, D’A’ nằm trong mặt phẳng A’B’C’D’ khi đó cạnh vuông góc với hai mặt phẳng [ABCD] và [A’B’C’D’].
Hoạt động 3: Củng cố định nghĩa
Gợi ý
Cho hai đường thẳng phân biệt a, b và mặt phẳng [α]. Các mệnh đề sau đây đúng hay sai ?
Nếu a // [α] vàthì.
Nếu a // [α] vàthì.
Nếu a // [α] và b // [α] thì b // a.
Nếu a[α] vàthì b // [α].
A. Nếu a // [α] và thì . [Đ]
B. Nếu a // [α] và thì . [S]
C. Nếu a // [α] và b // [α] thì b // a. [S]
D. Nếu a [α] và thì b // [α]. [S]
2.2. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Hoạt động 1: Tiếp cận định lý
Gợi ý
+ Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng [α], đường thẳng d cùng vuông góc với 2 đường thẳng a và b.
+ Chỉ ra a và b là 2 đường thẳng bất kỳ cắt nhau nằm trong mp [α], khi đó đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [α] chứa 2 đường thẳng a và b đó.
+ Lưu ý cho học sinh đây là điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
Hoạt động 2: Hình thành định lý
Gợi ý
Định lý:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng ấy.
Hệ quả:
Nếu một đường thẳng vuông góc với hai cạnh của một tam giác thì nó cũng vuông góc với cạnh thứ ba của tam giác đó.
+ Từ HĐ 1, học sinh nêu định lý điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
+ Nhấn mạnh lại cách chứng minh một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
- Tìm hai đường thẳng a và b bất kì nằm trong mp[α] .
- Đường thẳng d cùng vuông góc với a và b.
- Khi đó đường thẳng d vuông góc với mp [α].
Hoạt động 3: Củng cố định lý
Gợi ý
BT1. Muốn chứng minh một đường thẳng vuông góc với một mp [α], người ta phải làm như thế nào?
BT2. Cho hai đường thẳng a và b song song với nhau. Một đường thẳng d vuông góc với a và b. Khi đó đường thẳng d có vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a và b hay không ?
BT1. Muốn chứng minh một đường thẳng d vuông góc với một mp [α] ta cần chứng minh d vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau cùng thuộc hoặc chúng minh d // d’ mà d’[α].
BT2. Đường thẳng d nói chung không vuông góc với mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng a và b song song.
2.3. Tính chất
Hoạt động 1: Tiếp cận tính chất
Gợi ý
+ Trong không gian cho trước một điểm O và một đường thẳng d, xác định có bao nhiêu mặt phẳng đi qua điểm O và vuông góc với đường thẳng d?
+ Cho đoạn thẳng AB bất kỳ và trung điểm I. Hãy dựng một mặt phẳng đi qua trung điểm I của AB và vuông góc với đoạn thẳng AB?
+ Trong không gian cho một điểm O bất kỳ và một mặt phẳng [P] . Hãy xác định có bao nhiêu đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng [P] cho trước ?
+ Có duy nhất một mặt phẳng đi qua O và vuông góc với đường thẳng d.
+ Mặt phẳng được dựng như trên được gọi là mp trung trực của đoạn thẳng AB.
+ Có duy nhất một đường thẳng đi qua điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng [α].
Hoạt động 2: Hình thành tính chất
Gợi ý
Tính chất 1.
Có duy nhất một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với đường thẳng cho trước.
Mặt phẳng trung trực của một đoạn thẳng.
Mặt phẳng đi qua trung điểm I của đoạn thẳng AB và vuông góc với đường thẳng AB là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB.
Tính chất 2.
Có duy nhất một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.
+ Từ HĐ 1, học sinh nêu tính chất 1.
+ Cách dựng: Dựng một mặt phẳng chứa điểm O và vuông góc với đường thẳng d cho trước.
+ Từ HĐ tiếp cận trên , học sinh nêu và lĩnh hội kiến thức mặt phẳng gọi là trung trực của đoạn thẳng.
+ Cho học sinh nêu tính chất 2 và lĩnh hội kiến thức.
+ Cách dựng: Dựng một đường thẳng d đi qua điểm O cho trước và vuông góc với mặt phẳng [P].
Hoạt động 3: Củng cố các tính chất
Gợi ý
Vd1. Cho hình chópcó đáy là hình thoi tâm,. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.
B.
C.
D.
VD 2. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Hai mặt phẳng vuông góc với nhau thì đường thẳng nào nằm trong mặt này cũng vuông góc với mặt kia.
B. Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng kia.
D. Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với đường thẳng thứ ba thì song song nhau.
VD 1 : ĐÁP ÁN :
A.
VD 2: ĐÁP ÁN
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai mặt phẳng song song thì vuông góc với mặt phẳng kia.
2.4. Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của đường thẳng và mặt phẳng.
Hoạt động 1: Tiếp cận tính chất
Gợi ý
+ Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với nhau, nếu mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng a thì hỏi mp [P] có vuông góc với b hay không ?
+ Cho hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng. Hỏi hai đường thẳng đó có song song với nhau hay không?
+ Trong không gian cho hai mặt phẳng song song, một đường thẳng bất kỳ vuông góc với mặt phẳng này, hỏi đường thẳng đó có vuông góc với mặt phẳng kia hay không?
+ Ngược lại cho hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng, hỏi hai mp đó như thế nào với nhau?
+ Trong không gian cho đường thẳng a và mặt phẳng [α]. Lấy đường thẳng b vuông góc với mp [α], hỏi đường thẳng b có vuông góc với đường thẳng a hay không?
+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [không chứa đường thẳng đó] cùng vuông góc với một đường thẳng khác, hỏi đường thẳng và mặt phẳng đó có song song với nhau hay không?
+ Mặt phẳng [P] vuông góc với đường thẳng a thì cũng vuông góc với đường thẳng b.
+ Hai đường thẳng đó song song với nhau.
+ Đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
+ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song với nhau.
+ Đường thẳng b vuông góc với mp [α] thì cũng vuông góc với đường thẳng a.
+ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [không chứa đường thẳng đó] cùng vuông góc với một đường thẳng khác, hỏi đường thẳng và mặt phẳng đó có song song với nhau
Hoạt động 2: Hình thành tính chất
Gợi ý
Tính chất 1.
a/ Cho hai đường thẳng song song, nếu mặt phẳng nào vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia.
b/ Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.
Tính chất 2.
a/ Cho hai mặt phẳng song song, đường thẳng nào vuông góc với mặt phẳng này thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.
b/ Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
Tính chất 3.
a/ Cho đường thẳng a và mặt phẳng [α] song song với nhau. đường thẳng nào vuông góc với mp [α] thì cũng vuông góc với đường thẳng a .
b/ Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng [không chứa đường thẳng đó] cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.
+ Từ HĐ 1, học sinh nêu tính chất 1.
+ Cách dựng:
Dựng một mặt phẳng vuông góc với a và vuông góc với b.
Dựng hai đường thẳng cùng vuông góc với mặt phẳng và song song với nhau.
+ Cho học sinh nêu tính chất 2 và lĩnh hội kiến thức.
+ Cách dựng:
Dựng hai mặt phẳng song song, dựng một đường thẳng a vuông góc với hai mặt phẳng trên .
Dựng hai mặt phẳng song song cùng vuông góc với một đường thẳng.
+ Từ HĐ tiếp cận tính chất, học sinh nêu tính chất 3.
+ Cách dựng:
Dựng đường thẳng a và mặt phẳng [α] song song với nhau, dựng đường thẳng b vuông góc với mp [α] và vuông góc với a.
Dựng đường thẳng a và mặt phẳng [α] không chứa đường thẳng đó, dựng một đường thẳng vuông góc với mặt phẳng và vuông góc với đường thẳng a.
Hoạt động 3: Củng cố các tính chất
Gợi ý
Vd: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác ABC vuông tại B và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng [ABC].
a/ Chứng minh
b/ Gọi AH là đường cao của tam giác SAB. Chứng minh
a/ Vìnên
ta có
từ đó suy ra.
b/ Vìvà AH nằm trong [SAB] nên
. Ta lại cónên
Từ đó suy ra
2.5. Phép chiếu vuông góc và định lý ba đường vuông góc.
2.5.1 Phép chiếu vuông góc.
Hoạt động 1: Tiếp cận khái niệm phép chiếu vuông góc
Gợi ý
+ Trong không gian cho đường thẳngvuông góc với mặt phẳng []. Cho đoạn thẳng AB không nằm trong mặt phẳng []. Hãy chiếu đoạn thẳng AB theo phương củalên mặt phẳng []?
+ Chiếu đoạn thẳng AB theo phương củavà vuông góc với mặt phẳng [].
Hoạt động 2: Hình thành khái niệm
Gợi ý
Khái niệm.
Cho đường thẳngvuông góc với mặt phẳng []. Phép chiếu song song theo phương củalên mặt phẳng [] được gọi là phép chiếu vuông góc lên mặt phẳng [].
Nhận xét: [SGK]
+ Từ HĐ 1, học sinh nêukhái niệm về phép chiếu vuông góc.
+ Phép chiếu vuông góc lên một mặt phẳng là trường hợp đặc biệt của phép chiếu song song.
Hoạt động 3: Củng cố khái niệm
Gợi ý
Vd: Cho hình chópcó đáy là hình vuông,vuông góc với đáy. Xác định hình chiếu của cạnhlên mặt phẳng.
A..
B..
C..
D..
Đáp án: A
Hình chiếu của cạnh SC lên mp [SAD] là SD.
2.5.2 Định lí ba đường vuông góc.
Hoạt động 1: Tiếp cận định lí
Gợi ý
+ Trong không gian cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng []. B là đường thẳng không nằm trong mặt phẳng [] đồng thời không vuông góc với []. Gọi b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng []. Hãy tìm điều kiện để a vuông góc với đt b?
+ Trên đường thẳng b lấy 2 điểm A, B phân biệt không thuộc []. Gọi A’, B’ là hình chiếu của A, B trên [].
+ Khi đó hình chiếu b’ của b trên [] chính là đường thẳng đi qua 2 điểm A’và B’.
Hoạt động 2: Hình thành định lí
Gợi ý
Định lí ba đường vuông góc.
Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng []. B là đường thẳng không nằm trong mặt phẳng [] đồng thời không vuông góc với []. Gọi b’ là hình chiếu của b lên mặt phẳng []. Khi đó a vuông góc với b khi và chỉ khi a vuông góc với b’.
+ Từ HĐ 1, học sinh nêu định lí ba đường vuông góc.
+ Vì a nằm trong [] nên a vuông góc với AA’
Nếu a vuông góc với b thì a vuông góc với mp [b,b’]. Do đó a vuông góc với b’.
+ Ngược lại nếu a vuông góc với b’ thì a vuông góc với mp [b,b’]. Do đó a vuông góc với b.
Hoạt động 3: Củng cố định lí
Gợi ý
VD. Cho hình chópđáy là hình vuông,. Gọivàlần lượt là hình chiếu của điểmlên các đường thẳngvà. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A..
B..
C..
D..
ĐÁP ÁN: A..
[đpcm].
2.5.3 Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
Hoạt động 1: Tiếp cận định nghĩa
Gợi ý
+ Yêu cầu học sinh nhắc lại định nghĩa về góc giữa hai đường thẳng trong không gian?
+ Nêu cách xác định góc giữa 2 đt trong không gian.
+ Để xác định góc giữa hai đt a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng đi qua O và song song với đường thẳng còn lại.
Hoạt động 2: Hình thành định nghĩa
Gợi ý
Định nghĩa
Cho đường thẳng d và mặt phẳng [].
Trường hợp đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng [] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [] bằng 900.
Trường hợp đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng [] thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và hình chiếu d’ của nó trên gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng [].
Chú ý: Nếu là góc giữa d và [] thì ta luôn có.
+ Từ HĐ 1, học sinh nêu định nghĩa góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.
+ Khi d không vuông góc với mp[] và d cắt [] tại điểm O, ta lấy một điểm A tùy ý trên d khác với O. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mp [] vàlà góc giữa d và [] thì.
Hoạt động 3: Củng cố định nghĩa
Gợi ý
VD. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, có cạnh SA =và SA vuông góc với mặt phẳng [ABCD].
a/ Gọi M, N lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Tính góc giữa đường thẳng SC và [AMN].
b/ Tính góc giữa đường thẳng SC và [ABCD].
a/ Ta có
Tương tự chứng minh
Vậydo đó góc giữa đường thẳng SC và mp [AMN] bằng 900.
b/ ta có AC là hình chiếu của SC lên mp [ABCD] nênlà góc giữa đt SC và mp [ABCD]. Tam giác vuông SAC vuông cân tại A códo đó= 450.
3. LUYỆN TẬP [thời gian]
Cho hình lập phương, tìm vectơthỏa mãn.
A.
B.
C.
D.
Cho hình hộp. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.. B..
C.. D..
Cho tứ diện. ĐặtGọilà trọng tâm của. Phân tích vectơtheo ba vectơ.
A. . B. .
C.. D. .
Cho hình lập phươngcạnh bằngvàlà trọng tâm tam giác. Tính.
A.B.C.D.
Trong không gian cho ba đường thẳng phân biệt. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Nếuvàcùng vuông góc vớithì.
B. Nếuvàthì.
C. Nếu góc giữavàbằng góc giữavàthì.
D.Nếuvàcùng nằm trong mặt phẳngthì góc giữavàbằng góc giữavà.
Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.
B. Hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng thì vuông góc với nhau.
C. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng vuông góc với nhau thì song song với đường thẳng còn lại.
D. Một đường thẳng vuông góc với một trong hai đường thẳng song song thì vuông góc với đường thẳng còn lại.
Cho hình lập phương. Tìm các đường thẳng đi qua 2 đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng
A.và. B.và. C.và. D.và.
Cho hình chópcó, có đáylà hình bình hành,cắttại O. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A.. B.. C.. D..
Câu 9. Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, IJ = [ I, J lần lượt là trung điểm của BC vàAD]. Tinh góc giữa hai đường thẳng AB và CD.
A.. B.. C.. D..
Câu 10. Cho hình chópcó đáy là hình vuông,vuông góc với mặt phẳng đáy. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A.. B..
C.. D..
4. VẬN DỤNG VÀ MỞ RỘNG
4.1 Vận dụng vào thực tế [thời gian]
Vd: trong một đợt tổ chức cho học sinh đi dã ngoại tham quan. Để có chỗ nghỉ ngơi trong quá trình tham quan, các bạn học sinh đã dựng trên mặt đất bằng phẳng 1 chiếc lều bạt từ một tấm bạt hình chữ nhật có chiều dài là 12m, chiều rộng 6m bằng cách: Gập đôi tấm bạt lại theo đoạn nối trung điểm 2 cạnh là chiều rộng của tấm bạt sao cho 2 mép chiều dài còn lại của tấm bạt sát đất cách nhau là xm, Tìm x để không gian phía trong lều là lớn nhất?
Hướng dẫn
Gọi h là chiều cao hại từ đỉnh lều xuống đáy lều, suy ra không gian trong lều là thể tích của hình lăng trụ có công thức là: V=S.d
Trong đó: S là diện tích đáy và d là chiều cao của hình lăng trụ.
V=S.d =
BXD:Vậy Vmax = V[].
4.2 Mở rộng, tìm tòi [mở rộng, đào sâu, nâng cao,…] [thời gian]
Câu 1: Cho hình chópcólà hình chữ nhật,vuông góc mặt phẳng đáy,.
Xác định hình chiếu của các cạnhtrên mặt phẳng.
Tình góc giữa hai đường thẳngvà.
Tình góc giữa đường thẳngvà mặt phẳng
Chứng minh.
Gọilà hình chiếu vuông góc củatrên, chứng minh tam giácvuông .
Câu 2: Một cột cờ bằng gỗ được chôn trên mặt đất đang bị xiêu vẹo. Bạn Vinh dùng 3 thanh gỗ AB dài 1.3m , CD dài 1,3m và EF dài 1m để cố định lại cột cờ . Bạn cố định các đầu A, C, E vào thân cột cờ sao cho các điểm A, C cách mặt đất 1,2m và điểm E cách mặt đất 0,8m : còn các đầu thanh gỗ còn lại là B, D, F bạn cố định trên mặt đất theo thế kiềng ba chân cho cột cờ được vững chắc . Vậy bạn Vinh phải xác định vị trí các điểm B, D, F trên mặt đất như thế nào để đảm bảo cột cờ luôn thẳng góc với mặt đất ?. Các em hãy giúp bạn Vinh nhé ! biết rằng bạn Vinh chỉ có một thước thẳng đo độ dài và các thao tác thực hiện ảnh hưởng không đáng kể đến chiều dài của các thanh gỗ.