1. Định nghĩa
Góc nội tiếp là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh cắt đường tròn đó.
Cung nằm bên trong góc là cung bị chắn.
Trong đường tròn tâm O ta có góc $\widehat{BAC}$ là góc nội tiếp, cung bị chắn là cung $\overset\frown{BC}$
2. Định lí
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn
$\widehat{BAC}$=$\frac{1}{2}$sđ $\overset\frown{BC}$
Chứng minh:
Trường hợp tâm O nằm bên trong góc $\widehat{BAC}$
Vì tâm O nằm bên trong góc $\widehat{BAC}$ nên tia $AD$ nằm giữa hai tia $AB$ và $AC$, ta có:
$\widehat{BAC}=\widehat{BAD}+\widehat{DAC}$
sđ$\overset\frown{BC}$=sđ $\overset\frown{DC}$+sđ $\overset\frown{BD}$
mà $\widehat{BAD}$=$\frac{1}{2}$sđ $\overset\frown{BD}$; $\widehat{DAC}$=$\frac{1}{2}$sđ $\overset\frown{DC}$. Suy ra $\widehat{BAC}=\frac{1}{2}[s\overset\frown{BD}+s\overset\frown{DC}]$
Vậy $\widehat{BAC}$=$\frac{1}{2}$sđ $\overset\frown{BC}$
Trường hợp O nằm trên một cạnh của góc $\widehat{BAC}$ hoặc nằm ngoài góc $\widehat{BAC}$ chứng minh tương tự
3. Hệ quả
Trong một đường tròn:
a] Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau.
b] Các góc nội tiếp chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c] Góc nội tiếp [ nhỏ hơn hoặc bằng 90° ] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung.
d] Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông
Bài viết gợi ý:
Thế nào là góc nội tiếp [inscribed angle]? Góc nội tiếp có những tính chất gì?
Để trả lời được những câu hỏi trên, các em hãy cùng đọc bài viết và học được cách làm các bài toán hình 9 về góc nội tiếp nhé!
Mục tiêu bài học Góc nội tiếp
Ở bài học này, các em cần nắm được:
- Thế nào là góc nội tiếp?
- Tìm được mối liên hệ giữa số đo góc nội tiếp và số đo của cung bị chắn, số đo của góc ở tâm và giải thích được các mối liên hệ đó.
Nội dung bài học Góc nội tiếp
VÍ DỤ mở đầu: Giả sử các em được tặng vé xem biểu diễn tại một rạp như hình sau:
Các em hãy chọn cho mình chỗ ngồi và cô sẽ tiến hành đổi các vị trí để xem vị trí nào cho ta góc nhìn lớn nhất nhé!
Thực tế: mọi góc nhìn trên hình đều có số đo như nhau. Vì thế sẽ không có điểm nào cho bạn góc nhìn tốt nhất.
Mỗi góc có đỉnh màu hồng nằm trên đường tròn, hai cạnh chứa hai dây cung là một góc nội tiếp.
1. Định nghĩa Góc nội tiếp
Góc có đỉnh nằm trên đường tròn và hai cạnh chứa hai dây cung của đường tròn gọi là góc nội tiếp.
Chú ý:
Cung nằm bên trong góc nội tiếp được gọi là cung bị chắn.
Ở hình trên, cung bị chắn là cung nhỏ AC.
2. Định lý về góc nội tiếp
Trong một đường tròn, số đo của góc nội tiếp bằng nửa số đo của cung bị chắn.
3. Hệ quả
Trong một đường tròn:
a] Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
Ví dụ:
b] Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau.
c] Góc nội tiếp [nhỏ hơn hoặc bằng 90°] có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một nửa cung.
d] Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông.
Trên đây ta đã nêu tóm tắt các kiến thức cần nhớ về góc nội tiếp. Để hiểu rõ cách áp dụng của các kiến thức trên, ta hãy cùng tìm hiểu các dạng bài tập liên quan đến góc nội tiếp.
Các dạng bài tập về góc nội tiếp
Dạng 1: Chứng minh hai góc bằng nhau, hai đoạn thẳng bằng nhau, hai tam giác đồng dạng
Phương pháp giải:
Áp dụng hệ quả về góc nội tiếp để chứng minh hai góc bằng nhau [ta đưa về trường hợp hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung hoặc chắn các cung bằng nhau] và hai đường thẳng bằng nhau [hai dây cung bằng nhau hoặc đưa về cm hai tam giác bằng nhau].
Bài tập ví dụ:
Bài 1. [Bài 21 – Góc nội tiếp – SGK T76 – Toán 9 tập 2]
Cho hai đường tròn bằng nhau [O] và [O’] cắt nhau tại A và B. Vẽ đường thẳng qua A cắt [O] tại M và cắt [O’] tại N [A nằm giữa M và N]. Hỏi MBN là tam giác gì? Tại sao?
Giải:
Trước tiên ta vẽ hình theo đề bài:
Phân tích bài toán:
Để xét xem tam giác MBN là hình gì, ta cần chú ý khả năng các góc của tam giác MBN có bằng nhau không hay các cạnh của tam giác MBN có bằng nhau không.
Và ta nhận ra góc AMB = ANB vì cùng chắn hai cung bằng nhau. Ta đi chứng minh điều khẳng định trên.
Ta nhớ rằng hai đường tròn [O] và [O’] là hai đường tròn bằng nhau, vì thế dây cung AB của hai đường tròn này như nhau sẽ căng hai cung AB nhỏ bằng nhau. [Kiến thức bài trước: Liên hệ giữa cung và dây]
Ta thấy rằng đường tròn [O] có góc nội tiếp AMB chắn cung AB nhỏ [cung màu đỏ] nên góc AMB = 1/2 sđ cung AB.
Còn đường tròn [O’] có góc nội tiếp ANB chắn cung AB nhỏ [cung màu xanh lá] nên góc ANB = 1/2 sđ cung AB.
Mà theo suy luận đầu tiên thì ta có hai cung AB nhỏ [xanh và đỏ] bằng nhau. Vì thế kéo theo góc AMB = góc ANB vì là hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau.
Thế nên suy ra tam giác MBN là tam giác cân [vì có hai góc bằng nhau].
Lời giải: các bạn tự trình bày dựa trên phân tích trên.
Bài 2. [Bài 22 – Góc nội tiếp – SGK T76 – Toán 9 tập 2]
Trên đường tròn [O] đường kính AB, lấy điểm M [khác A và B]. Vẽ tiếp tuyến của [O] tại A. Đường thẳng MB cắt tiếp tuyến đó tại C. Chứng minh rằng ta luôn có:
MA² = MB.MC.
Giải:
Ta vẽ hình theo đề bài.
Phân tích bài toán:
Ta muốn chứng minh MA² = MB.MC trong tam giác vuông ACB [góc vuông A] thì ta nghĩ đến ngay khả năng AM chính là đường cao.
Nếu AM là đường cao thì ta hoàn toàn thu được MA² = MB.MC từ hệ thức lượng trong trong tam giác vuông
[Trong một tam giác vuông, bình phương đường cao ứng với cạnh huyền bằng tích hai hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền.]
Mà AMB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn [O] nên góc AMB = 90° [hệ quả].
Lời giải:
Xét đường tròn [O] có đường kính AB. Góc nội tiếp AMB chắn cung AB tức là chắn nửa đường tròn nên ta suy ra:
∠AMB = 90°
Ta suy ra AM là đường cao trong tam giác vuông ACB vuông tại A. Vậy nên theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta luôn có:
MA² = MB.MC [đpcm]
Bài 3: [Bài 26 – Góc nội tiếp – SGK T76 – Toán 9 tập 2]
Cho AB, BC, CA là ba dây của đường tròn [O]. Từ điểm chính giữa M của cung AB vẽ dây MN song song với dây BC. Gọi giao điểm của MN và AC là S. Chứng minh SM = SC và SN = SA.
Giải:
Ta đọc đề bài và vẽ hình
Phân tích bài toán:
Muốn chứng minh SM = SC và SN = SA ta nghĩ đến việc chứng minh tam giác ASM = tam giác NSC.
Muốn được như vậy, ta sẽ xét các cặp góc và cặp cạnh nào bằng nhau theo c-c-c hay g-c-g hay c-g-c.
Ta có thể thấy có các cặp góc nội tiếp cùng chắn một cung và cặp cạnh bằng nhau vì căng hai dây cung bằng nhau.
Ta đọc kĩ đề bài, M là điểm chính giữa cung AB tức là cung MB = cung AM nên MB = MA.
Mà hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau [Bài 13 – SGK Toán 9 tập 2] nên suy ra cung MB = cung NC và suy ra MB = NC. Mà MB = MA nên ta suy ra MA = NC.
Xét các góc nội tiếp SAM và SNC.
Góc nội tiếp CAM[= góc SAM] chắn cung MC.
Góc nội tiếp MNC[= góc SNC] chắn cung MC.
Vậy suy ra góc SAM = góc SNC.
Xét các góc nội tiếp AMN và ACN cùng chắn cung AN
nên suy ra Góc AMN = góc ACN.
Lời giải:
M là điểm chính giữa cung AB nên cung MB = cung AM nên ta suy ra MB = MA.
Mà cung MB = cung NC [hai cung bị chắn giữa hai dây song song thì bằng nhau] và suy ra MB = NC. Mà MB = MA [cmt] nên ta suy ra MA = NC.
Xét tam giác ASM và tam giác NSC có:
MA = NC [cmt]
Góc SAM = góc SNC [góc nội tiếp cùng chắn cung MC]
Góc AMN = góc ACN [góc nội tiếp cùng chắn cung AN]
Vậy ta suy ra tam giác ASM = tam giác NSC.
Suy ra SM = SC và SN = SA.
Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc, ba điểm thẳng hàng
Bài 1. [Bài 19 – Góc nội tiếp – SGK T75 – Toán 9 tập 2]
Cho đường tròn [O], đường kính AB và S là một điểm nằm bên ngoài đường tròn. SA và SB lần lượt cắt đường tròn tại M, N. Gọi H là giao điểm của BM và AN. Chứng minh rằng SH vuông góc với AB.
Giải:
Trước tiên ta vẽ hình theo đề bài.
Phân tích bài toán:
Muốn chứng minh SH vuông góc AB, ta xét tam giác SAB, SH mà vuông góc AB thì SH chính là đường cao tam giác SAB.
Ta có SA cắt đường tròn [O] tại M tạo ra góc nội tiếp AMB chắn nửa đường tròn, suy ra AMB = 90° hay MB ⊥ MA.
SB cắt đường tròn [O] tại N tạo ra góc nội tiếp ANB chắn nửa đường tròn, suy ra góc ANB = 90° hay NA ⊥ NB.
Mà AN ∩ BM tại H nên ta suy ra H là trực tâm tam giác SAB.
Vậy suy ra SH là đường cao tam giác SAB nên SH ⊥ ASB.
Lời giải: các bạn tự trình bày dựa trên phân tích trên.
Bài 2. [Bài 20- Góc nội tiếp – SGK T76 – Toán 9 tập 2]
Cho hai đường tròn [O] và [O’] cắt nhau tại A và B. Vẽ các đường kính AC và AD của hai đường tròn. Chứng minh rằng ba điểm C,B, D thẳng hàng.
Giải:
Ta vẽ hình theo đề bài:
Phân tích:
Ta cần chứng minh C, B, D thẳng hàng, tức là ta có thể chứng minh góc ABD = 180°.
Nhìn lên hình vẽ, ta thấy rằng các góc nội tiếp ABC và ABD chắn nửa đường tròn [O] và [O’] nên suy ra góc ABC = 90° và ABD = 90°. Vì thế góc ABC + ABD = 90° + 90° = 180°.
Lời giải: các bạn tự trình bày dựa trên phân tích trên.
Bài 3.
Cho đường tròn [O] và hai dây MA, MC vuông góc với nhau. Gọi I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB.
a] Chứng minh ba điểm A, O, B thẳng hàng.
b] Gọi P là giao điểm của AK và BI. Chứng minh P là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MAB.
Giải:
Ta vẽ hình theo đề bài:
Phân tích bài toán:
a] Để chứng minh AOB thẳng hàng ta có thể chỉ ra AB là đường kính của đường tròn [O].
Các điểm A, M, B thuộc đường tròn [O].
Góc AMB là góc nội tiếp có số đo 90° nên suy ra góc AMB chắn nửa đường tròn [O] và ta suy ra AB là đường kính của [O].
Như vậy A, O, B thẳng hàng.
b] Muốn chứng minh giao điểm P của BI và AK là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB, ta cần chứng minh BI và AK là hai đường phân giác của lần lượt các góc B và A trong tam giác AMB.
I, K lần lượt là điểm chính giữa của các cung nhỏ MA và MB nên suy ra cung AI = cung IM và cung MK = cung BK.
Ta suy ra góc MBI = góc ABI và góc MAK = góc BAK [vì chắn các cung bằng nhau]
Vậy ta suy ra BI và AK lần lượt là các đường phân giác góc B và góc A trong tam giác AMB. Vì thế P [giao của BI và AK] là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AMB.
Lời giải: các em tự trình bày theo phân tích trên.
Như vậy chúng ta đã tìm hiểu xong thế nào là góc nội tiếp, và các tính chất của góc nội tiếp. Các em hãy tự thực hành giải các bài tập sau để củng cố kiến thức về góc nội tiếp.
Bài tập tự luyện
Bài 1: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AH và góc nội tiếp đường tròn tâm O, đường kính AM.
a] Tính góc ACM.
b] Chứng minh góc BAH = góc OCA.
c] Gọi N là giao điểm của AH với [O]. Tứ giác BCMN là hình gì? Vì sao?
[Sách củng cố và ôn luyện toán 9 tập 2]
Đ/S: a] góc ACM = 90° [góc nội tiếp]
b] có thể chứng minh dựa vào hai tam giác đồng dạng
c] BCMN là hình thang cân
Bài 2: Cho đường tròn [O], đường kính AB, điểm D thuộc đường tròn [O]. Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.
a] Tam giác ABE là tam giác gì?
b] Gọi K là giao điểm của EB với [O]. Chứng minh OD ⊥ AK.
[Sách củng cố và ôn luyện toán 9 tập 2]
Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn [O], hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H. Vẽ đường kính À.
a] Tứ giác BFCH là hình gì?
b] Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng ba điểm H, M, F thẳng hàng.
c] Chứng minh OM = 1/2 AH.
Chúc bạn học tốt!
Hãy like và chia sẻ nếu thấy bài viết hữu ích nhé!
Ths Toán học
Nguyễn Thùy Dung
Xem thêm:
Các bài viết Toán lớp 9
Toán tiếng Anh phần này xem tại đây