Có bao nhiêu giá trị thực của tham số m để phương trình z2 m = 0 có nghiệm phức z_0 thỏa mãn z0 1
|
Xét các trường hợp \({z_0}\) là số thực hoặc là số ảo. Trường hợp \({z_0}\) là số thực, ta thay vào phương trình ban đầu tìm \(m.\) Trường hợp \({z_0}\) là số ảo, ta sử dụng định lí Vi-ét đối với phương trình bậc hai ban đầu để tìm ra \(m.\)
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$ ( ${m}$ là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị của ${m}$ để phương trình đó có nghiệm ${z_0}$ thỏa mãn ${\left|z_0\right|=7 ?}$
2 .
3 .
1 .
4 .
Sort by date Sort by votes
Phương trình ${z^2-2(m+1) z+m^2=0}$.
Ta có ${\Delta\prime =(m+1)^2-m^2=2 m+1}$
Trường hợp 1: Nếu ${2 m+1 \geq 0 \Leftrightarrow m \geq-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có nghiệm thực nên
${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}z_0=7 \\ z_0=-7\end{array}\right.}$
Với ${z_0=7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2-2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7+\sqrt{14} \\ m=7-\sqrt{14}\end{array}\right.}$
(thoả ${m \geq-\dfrac{1}{2}}$ ). Với ${z_0=-7}$ thay vào phương trình ta được ${7^2+2(m+1) .7+m^2=0 \Leftrightarrow m^2+14 m+63=0}$ phương trình vô nghiệm.
Trường hợp ${1:}$ Nếu ${\quad 2 m+1<0 \Leftrightarrow m<-\dfrac{1}{2}}$ thì phương trình có hai nghiệm phức là
${\left[\begin{array}{l}z=m+1+i \sqrt{-2 m-1} \\ z=m+1-i \sqrt{-2 m-1}\end{array}\right.}$
Khi đó ${\left|z_0\right|=7 \Leftrightarrow(m+1)^2-2 m-1=49 \Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=7 \\ m=-7\end{array}\right.}$.
Kết hợp với ${m<-\dfrac{1}{2}}$ ta được ${m=-7}$.
Vậy có 3 giá trị ${m}$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Lời giải của GV Vungoi.vn TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 6 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 6\\{z_0} = - 6\end{array} \right.\) Nếu \({z_0} = 6\) thay vào (*) ta có: \({6^2} - 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} - 12m + 24 = 0 \Rightarrow m = 6 \pm 2\sqrt 3 \) Nếu \({z_0} = - 6\) thay vào (*) ta có: \({\left( { - 6} \right)^2} + 12\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0 \Rightarrow {m^2} + 12m + 48 = 0\) (vô nghiệm) TH2: \({z_0}\) là số phức \( \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} = 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\) Do đó phương trình có hai nghiệm phức \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \). Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\) Mà \(\left| {{z_0}} \right| = 6 \Rightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 36 \Rightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 36\) Suy ra \({m^2} = 36 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 6\,\,\,\,(ktmdk)\\m = - 6\,(tmdk)\end{array} \right.\) Vậy có \(3\) giá trị \(m\) thỏa mãn. Lời giải của GV Vungoi.vn Đặt \({z^2} - 2\left( {m + 1} \right)z + {m^2} = 0\) (*). TH1: \({z_0}\) là nghiệm thực \( \Rightarrow \left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 7\\{z_0} = - 7\end{array} \right.\). + Nếu \({z_0} = 7\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow {7^2} - 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} - 14m + 35 = 0\\ \Leftrightarrow m = 7 \pm \sqrt {14} \end{array}\) \( \Rightarrow \) Có 2 giá trị thỏa mãn \(m = 7 \pm \sqrt {14} \) thì phương trình (*) có nghiệm \({z_0} = 7\) (tmycbt). + Nếu \({z_0} = - 7\) thay vào (*) \(\begin{array}{l} \Rightarrow 49 + 14\left( {m + 1} \right) + {m^2} = 0\\ \Leftrightarrow {m^2} + 14m + 63 = 0\end{array}\) \( \Rightarrow \) Vô nghiệm. TH2: \({z_0}\) là nghiệm có chứa \(i \Leftrightarrow \Delta ' = {\left( {m + 1} \right)^2} - {m^2} < 0 \Leftrightarrow 2m + 1 < 0 \Leftrightarrow m < - \dfrac{1}{2}\). Theo tính chất của phương trình bậc hai trên tập phức, nếu phương trình (*) có 1 nghiệm phức \({z_0}\) chứa \(i\) thì sẽ có 1 nghiệm phức còn lại là \(\overline {{z_0}} \). Điều kiện \(\left| {{z_0}} \right| = 7 \Leftrightarrow {\left| {{z_0}} \right|^2} = 7 \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = {7^2} \Leftrightarrow {z_0}.\overline {{z_0}} = 49\,\,\left( 1 \right)\). Vì \({z_0}\) và \(\overline {{z_0}} \) là 2 nghiệm của phương trình (*), theo định lí Vi-ét ta có: \({z_0}.\overline {{z_0}} = {m^2}\,\,\,\left( 2 \right)\) Từ (1) và (2) \( \Rightarrow {m^2} = 49 \Leftrightarrow m = \pm 7\). So sánh điều kiện \(m < - \dfrac{1}{2} \Rightarrow m = - 7\). Vậy tất cả TH1 và TH2 có 3 giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán (\(m = 7 \pm \sqrt {14} \) và \(m = - 7\)).
|
