Có bao nhiêu số phức z với phần thực là số nguyên thỏa mãn |z ngang trừ 2 yxz 2 là số ảo

DẠNG TOÁN 42 TÌM SỐ PHỨC THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC – phát triển theo đề tham khảo Toán 2021
  Theo đề tham khảo Toán 2021 của Bộ GD&ĐT
ĐỀ BÀI:
Có bao nhiêu số phức \(z\) có phần thực và phần ảo là số nguyên thỏa mãn \(\left| {2z + \overline z  – 2i} \right| \le \left| {z + 2i} \right|\) và \(z + 2\overline z  + 4i\) có phần ảo không âm?

A.\(25\). 

B. \(12\). 

C. \(13\). 

D. \(15\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Đặt \(z = x + yi\) với \(x,y \in \mathbb{R}\). Ta có

+ \(\left| {2z + \overline z  – 2i} \right| \le \left| {z + 2i} \right| \Leftrightarrow \left| {2\left( {x + yi} \right) + \left( {x – yi} \right) – 2i} \right| \le \left| {\left( {x + yi} \right) + 2i} \right|\)

\( \Leftrightarrow \left| {3x + \left( {y – 2} \right)i} \right| \le \left| {x + \left( {y + 2} \right)i} \right| \Leftrightarrow \sqrt {9{x^2} + {{\left( {y – 2} \right)}^2}}  \le \sqrt {{x^2} + {{\left( {y + 2} \right)}^2}} \)

\( \Leftrightarrow 9{x^2} + {y^2} – 4y + 4 \le {x^2} + {y^2} + 4y + 4 \Leftrightarrow y \ge {x^2}\) \(\left( 1 \right)\).

+ \(z + 2\overline z  + 4i = \left( {x + yi} \right) + 2\left( {x – yi} \right) + 4i = 3x + \left( {4 – y} \right)i\).

\(z + 2\overline z  + 4i\) có phần ảo không âm khi và chỉ khi \(4 – y \ge 0 \Leftrightarrow y \le 4\) \(\left( 2 \right)\).

Cách 1:

Từ \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\) suy ra \(0 \le {x^2} \le y \le 4 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} – 2 \le x \le 2\\{x^2} \le y \le 4\end{array} \right.\)

Với \(x \in \left\{ { – 2\,;\,2} \right\}\) ta có \(y = 4\)\( \Rightarrow \) có 2 số phức thỏa.

Với mỗi \(x \in \left\{ { – 1\,;\,1} \right\}\) ta có \(y \in \left\{ {1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 8 số phức thỏa.

Với \(x = 0\) ta có \(y \in \left\{ {0\,;\,1\,;\,2\,;\,3\,;\,4} \right\}\)\( \Rightarrow \) có 5 điểm số phức thỏa.

Vậy có 15 số phức thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2:

Gọi \(M\left( {x;y} \right)\) là điểm biểu diễn của \(z\)

Theo hình vẽ ta thấy, có 15 điểm \(M\)có tọa độ nguyên.

Vậy có 15 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

 

Chọn  A.

Gọi z = a + bi.

Ta có 

 và z2 = a2 – b2 + 2abi

Yêu cầu của bài toán thỏa mãn khi và chỉ khi

Vậy có 4 số phức thỏa mãn điều kiện bài toán.

...Xem thêm

Tìm điểm $M$ biểu diễn số phức \(z = i - 2\)

Cho số phức $z = 2 + 5i$. Tìm số phức \(w = iz + \overline z \).

Số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right| + z = 0$. Khi đó:

Tập điểm biểu diễn số phức $z$ thỏa mãn ${\left| z \right|^2} = {z^2}$ là:

Xét các số phức z thỏa mãn \( \left( { \overline z + 2i} \right) \left( {z - 2} \right) \) là số thuần ảo. Trên mặt phẳng tọa độ, tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z là một đường tròn có bán kính bằng

A.

B.

C.

D.

 Có bao nhiêu số phức z  thỏa mãn \(|z+2-i|=2\sqrt{2}\)  và \({{(z-1)}^{2}}\)  là số thuần ảo?

VietJack

Bằng cách đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách Bảo mật của chúng tôi.