Gọi số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau là \[\overline {abcd} \,\,\left[ {a;b;c;d \in \left\{ {0;1;2;3;4;5} \right\},\,\,a \ne b \ne c \ne d} \right]\].
Vì \[\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,15\] nên \[\left\{ \begin{array}{l}\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,5 \Rightarrow d \in \left\{ {0;5} \right\}\\\overline {abcd} \,\, \vdots \,\,3\end{array} \right.\].
+ TH1: \[d = 0\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc0} \] \[ \Rightarrow a + b + c\,\, \vdots \,\,3\].
Các bộ ba chữ số chia hết cho 3 là \[\left\{ {1;2;3} \right\};\,\,\left\{ {1;3;5} \right\};\,\,\left\{ {2;3;4} \right\};\,\,\left\{ {3;4;5} \right\}\].
\[ \Rightarrow \] có \[4.3! = 24\] cách chọn \[a,\,\,b,\,\,c\].
\[ \Rightarrow \] Có 24 số thỏa mãn.
TH2: \[d = 5\], số cần tìm có dạng \[\overline {abc5} \] \[ \Rightarrow a + b + c + 5\,\, \vdots \,\,3\] \[ \Rightarrow a + b + c\] chia 3 dư 1.
Các bộ ba chữ số chia 3 dư 1 là \[\left\{ {0;1;3} \right\};\,\,\left\{ {1;2;4} \right\};\,\,\left\{ {0;3;4} \right\}\].
Bài 8.11 trang 71 Toán lớp 10 Tập 2: Có bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau?
Lời giải:
Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: abcd¯ và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.
Để abcd¯ chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.
+ Trường hợp 1: d = 0.
Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có A82=56 cách chọn.
Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.
+ Trường hợp 2: d = 5.
Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có A82=56 cách chọn.
Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.
Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.
Với giải Bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Tập 2 Kết nối tri thức chi tiết trong Bài 24: Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập Toán 10. Mời các bạn đón xem:
Giải bài tập Toán 10 Bài 8.11 trang 71 SGK Toán 10 Tập 2
Gọi số có 4 chữ số cần tìm có dạng: \[\overline {abcd} \] và a, b, c, d ∈ A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}, a ≠ 0, a ≠ b ≠ c ≠ d.
Để \[\overline {abcd} \] chia hết cho 5 thì d phải thuộc tập hợp {0; 5}, do đó có 2 cách chọn d.
+ Trường hợp 1: d = 0.
Chọn a ∈ A \ {0}, a có 9 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {0; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \[A_8^2 = 56\]cách chọn.
Do đó có: 9 . 56 = 504 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 0.
+ Trường hợp 2: d = 5.
Chọn a ∈ A \ {0; 5}, a có 8 cách chọn.
Chọn 2 số b, c ∈ A \ {5; a} và sắp thứ tự chúng, nên có \[A_8^2 = 56\]cách chọn.
Do đó có: 8 . 56 = 448 số tự nhiên có 4 chữ số khác nhau có chữ số tận cùng là 5.
Vì hai trường hợp là rời nhau, vậy theo quy tắc cộng có 504 + 448 = 952 số tự nhiên chia hết cho 5 mà mỗi số có bốn chữ số khác nhau.
Đặt m=a1a2...a8¯ai∈A,ai≠aj,∀i,j=1,8¯
Do ai∈A, các ai≠aj,∀i,j=1,8¯ nên:
∑i=18ai=1+2+3+4+5+6+7+8=36
Do đó m⋮9 mà m⋮11 gt⇒m⋮9999
Đặt p=a1a2a3a4¯;q=a5a6a7a8¯ ta có:
m=p.104+q=9999.p+p+q⋮9999
⇒p+q⋮9999
Do 0 < p, q < 9999
⇒ 0 < p + q < 2.9999
Mà [p + q]⋮9999 ⇒ p + q = 9999
⇒a1+a5=9a2+a6=9a3+a7=9a4+a8=9
Có 4 cặp có tổng bằng 9 là [1; 8]; [2; 7]; [3; 6]; [4; 5]
Suy ra có:
+] 8 cách chọn a1, ứng với mỗi cách chọn a1 có 1 cách chọn a5.
+] 6 cách chọn a2≠a1;≠a5 ứng với mỗi cách chọn a2 có 1 cách chọn a6.
+] 4 cách chọn a3≠a1;a2;a5;a6 ứng với mỗi cách chọn a3 có 1 cách chọn a7
+] 2 cách chọn a4≠a1;a2;a3;a5;a6;a7 ứng với mỗi cách chọn a4 có 1 cách chọn a8.
Áp dụng quy tắc nhân, có tất cả 8.6.4.2 = 384 số thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Đáp án cần chọn là: A
Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 , lập được bao nhiêu số tự nhiên
a] Có 4 chữ số đôi một khác nhau?
b] Có 3 chữ số đôi một khác nhau và chia hết cho 9?
c] Là số chẵn và có 5 chữ số đôi một khác nhau?
d] Có 9 chữ số sao cho chữ số 1 có mặt 3 lần, các chữ số khác có mặt đúng một lần?
Xem chi tiếtCâu hỏi: Từ các chữ số $0,1,2,3,4,5$ hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm $5$ chữ số khác nhau, sao cho mỗi số tự nhiên đó chia hết cho $3$ ?
A. $216$.
B. $96$.
C. $625$.
D. $120$.
Lời giải
Gọi số cần tìm có dạng $\overline{abcde}$.
Theo đề bài $\overline{abcde}\vdots 3$.
Một số tự nhiên $\overline{abcde}$ có $5$ chữ số chia hết cho $3$ khi tổng các chữ số của nó chia hết cho $3$.
Nhận thấy một số tự nhiên thoả yêu cầu bài toán sẽ không đồng thời có mặt các chữ số $0$ và $3$. Do đó ta chia làm 2 trường hợp:
Trường hợp 1: $\overline{abcde}$ không có chữ số $0$.
Khi đó 5 chữ số còn lại có tổng của chúng chia hết cho $3$, nên số số tự nhiên thoả mãn là $5!$ số.
Trường hợp 2: $\overline{abcde}$ không có chữ số $3$.
Chọn chữ số $a$ có $4$ cách.
Chọn $\overline{bcde}$ có $4!$ cách.
Suy ra trường hợp này ta có $4.4!$ số.
Vậy theo quy tắc cộng ta có tất cả $5!+4.4!=216$ số.
Đáp án A.