Nhiều quan sát mẫu [màu đen] được hiển thị từ phân phối xác suất chung. Mật độ cận biên cũng được hiển thị
Cho hai biến ngẫu nhiên được xác định trên cùng một không gian xác suất, phân phối xác suất chung là phân phối xác suất tương ứng trên tất cả các cặp đầu ra có thể. Phân phối chung cũng có thể được xem xét cho bất kỳ số lượng biến ngẫu nhiên nhất định nào. Phân phối chung mã hóa các phân phối cận biên, i. e. phân phối của từng biến ngẫu nhiên riêng lẻ. Nó cũng mã hóa các phân phối xác suất có điều kiện, giải quyết cách các đầu ra của một biến ngẫu nhiên được phân phối khi cung cấp thông tin về các đầu ra của [các] biến ngẫu nhiên khác
Trong thiết lập toán học chính thức của lý thuyết đo lường, phân phối chung được đưa ra bởi thước đo đẩy về phía trước, bằng bản đồ thu được bằng cách ghép các biến ngẫu nhiên đã cho với nhau, của thước đo xác suất của không gian mẫu
Trong trường hợp các biến ngẫu nhiên có giá trị thực, phân phối chung, như một phân phối đa biến cụ thể, có thể được biểu thị bằng hàm phân phối tích lũy nhiều biến hoặc bằng hàm mật độ xác suất nhiều biến cùng với hàm khối lượng xác suất nhiều biến. Trong trường hợp đặc biệt của các biến ngẫu nhiên liên tục, chỉ cần xét các hàm mật độ xác suất và trong trường hợp các biến ngẫu nhiên rời rạc, chỉ cần xét các hàm khối lượng xác suất là đủ
Các ví dụ[sửa]
Vẽ từ một cái bình[sửa]
Giả sử mỗi trong số hai chiếc bình chứa số quả bóng màu đỏ gấp đôi số quả bóng màu xanh và không có quả bóng nào khác, đồng thời giả sử một quả bóng được chọn ngẫu nhiên từ mỗi chiếc bình, với hai lần rút thăm độc lập với nhau. Đặt A{\displaystyle A} và B{\displaystyle B} là các biến ngẫu nhiên rời rạc liên quan đến kết quả bốc thăm từ chiếc bình thứ nhất và chiếc bình thứ hai . Xác suất lấy được bi đỏ từ một trong hai lọ là 2/3, xác suất lấy được bi xanh là 1/3. Phân phối xác suất chung được trình bày trong bảng sau.
A=ĐỏA=XanhP[B]B=Đỏ[2/3][2/3]=4/9[1/3][2/3]=2/94/9+2/9=2/3B=Mỗi ô trong số bốn ô bên trong hiển thị xác suất của một tổ hợp kết quả cụ thể từ hai lần rút thăm; . Trong bất kỳ một ô nào, xác suất xảy ra một kết hợp cụ thể là [vì các lần rút thăm là độc lập] tích của xác suất của kết quả được chỉ định cho A và xác suất của kết quả được chỉ định cho B. Các xác suất trong bốn ô này có tổng bằng 1, vì nó luôn đúng với các phân phối xác suất
Hơn nữa, hàng cuối cùng và cột cuối cùng đưa ra phân bố xác suất cận biên cho A và phân bố xác suất cận biên cho B tương ứng. Ví dụ: đối với A, ô đầu tiên trong số các ô này cho tổng các xác suất để A có màu đỏ, bất kể khả năng nào đối với B ở cột phía trên ô xảy ra, như 2/3. Do đó, phân phối xác suất cận biên cho A{\displaystyle A} cho xác suất của A{\displaystyle A} vô điều kiện trên B{\displaystyle B}, in a margin of the table.
Tung đồng xu[sửa]
Hãy xem xét việc tung hai đồng xu công bằng; . Mỗi lần tung đồng xu là một phép thử Bernoulli và có phân phối Bernoulli. Nếu một đồng xu hiển thị "mặt ngửa" thì biến ngẫu nhiên được liên kết sẽ nhận giá trị 1 và nó sẽ nhận giá trị 0 nếu không. Xác suất của mỗi kết quả này là 1/2, vì vậy các hàm mật độ cận biên [không điều kiện] là and B{\displaystyle B} be discrete random variables associated with the outcomes of the first and second coin flips respectively. Each coin flip is a Bernoulli trial and has a Bernoulli distribution. If a coin displays "heads" then the associated random variable takes the value 1, and it takes the value 0 otherwise. The probability of each of these outcomes is 1/2, so the marginal [unconditional] density functions are
Hàm khối lượng xác suất chung của A{\displaystyle A} và B{\displaystyle B} xác định xác suất cho . Tất cả các kết quả có thể xảy ra là
[A=0,B=0],[A=0,B=1],[A=1,B=0],[A=1,B=1]. {\displaystyle [A=0,B=0],[A=0,B=1],[A=1,B=0],[A=1,B=1]. }Vì mỗi kết quả đều có khả năng như nhau nên hàm khối lượng xác suất kết hợp trở thành
P[A,B]=1/4choA,B∈{0,1}. {\displaystyle P[A,B]=1/4\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}. }Vì các lần tung đồng xu là độc lập nên hàm khối lượng xác suất chung là tích của các biên.
P[A,B]=P[A]P[B]choA,B∈{0,1}. {\displaystyle P[A,B]=P[A]P[B]\quad {\text{for}}\quad A,B\in \{0,1\}. }Tung xúc xắc[sửa]
Hãy xem xét việc tung một con xúc xắc công bằng và đặt A=1{\displaystyle A=1} nếu số đó là số chẵn [i. e. 2, 4 hoặc 6] và A=0{\displaystyle A=0} ngược lại. Hơn nữa, đặt B=1{\displaystyle B=1} nếu số đó là số nguyên tố [i. e. 2, 3 hoặc 5] và B=0{\displaystyle B=0} ngược lại.
Sau đó, phân phối chung của A{\displaystyle A} và B{\displaystyle B}, được biểu thị dưới dạng hàm khối lượng xác suất,
P[A=0,B=0]=P{1}=16,P[A=1,B=0]=P{4,6}=26,{\displaystyle \mathrm {P . {\displaystyle \mathrm {P} [A=0,B=1]=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},\quad \quad \mathrm {P} [A= . }P[A=0,B=1]=P{3,5}=26,P[A=1,B=1]=P{2}=16.{\displaystyle \mathrm {P} [A=0,B=1]=P\{3,5\}={\frac {2}{6}},\quad \quad \mathrm {P} [A=1,B=1]=P\{2\}={\frac {1}{6}}.}Những xác suất này nhất thiết phải có tổng bằng 1, vì xác suất của một sự kết hợp nào đó giữa A{\displaystyle A} và B{\displaystyle B} occurring is 1.
Phân phối xác suất cận biên[sửa | sửa mã nguồn]
Nếu có nhiều hơn một biến ngẫu nhiên được xác định trong một thí nghiệm ngẫu nhiên, điều quan trọng là phải phân biệt giữa phân bố xác suất chung của X và Y và phân phối xác suất của từng biến riêng lẻ. Phân phối xác suất riêng của một biến ngẫu nhiên được gọi là phân phối xác suất biên của nó. Nói chung, phân phối xác suất cận biên của X có thể được xác định từ phân phối xác suất chung của X và các biến ngẫu nhiên khác
Nếu hàm mật độ xác suất chung của biến ngẫu nhiên X và Y là fX,Y[x,y]{\displaystyle f_{X,Y}[x,y]} .
fX[x]=∫fX,Y[x,y]dy{\displaystyle f_{X}[x]=\int f_{X,Y}[x,y]\;dy}