Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 12 > Chủ đề 2. HÀM SỐ MŨ - LOGARIT > Bài 4: Phương trình và bất phương trình Logarit >
1. Bất phương trình mũ cơ bản
\[a^x> b\] [hoặc \[{a^x} < b;\;{a^x} \le b;\;{\kern 1pt} {a^x} \ge b]\], trong đó \[a,b\] là hai số đã cho, \[a> 0, a\ne 1.\]
Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:
- Nếu \[b > 0\] và \[a > 1\] thì
\[\begin{array}{l}{a^x} > b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} > {\log _a}b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b
\end{array}\]
- Nếu \[b>0\] và \[0 < a b \Leftrightarrow {\log _a}{a^x} < {\log _a}b \Leftrightarrow x < {\log _a}b;\\{a^x} \ge b \Leftrightarrow x \le {\log _a}b\\{a^x} < b \Leftrightarrow x > {\log _a}b;\\{a^x} \le b \Leftrightarrow x \ge {\log _a}b
\end{array}\]
- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} > b,\;\;{a^x} \ge b\] đều đúng với mọi \[x\] [tập nghiện là \[\mathbb R]\]
- Nếu \[b ≤ 0\] thì các bất phương trình \[{a^x} < b,\;\;{a^x} \le b\] đều vô nghiệm
2. Bất phương trình lôgarit cơ bản dạng \[{\log _a}x > b\] [hoặc \[{\log _a}x < b;\;{\log _a}x \ge b;\;{\log _a}x \le b\]]
trong đó \[a,b\] là hai số đã cho,\[ a>0, a \ne 1\]
Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.
- Nếu \[a > 1\] thì
\[\log_{a}x > b ⇔ a^{\log_{a}x} > a^b⇔ x > a^b;\]
\[\log_{a}x ≥ b ⇔ x ≥ a^b\]
\[\log_{a}x b ⇔ a^{\log_{a}x} < a^b ⇔ 0 < x < a^b;\]
\[\log_{a}x ≥ b ⇔ 0 < x ≤ a^b\]
\[\log_{a}x < b ⇔ x > a^b\]
\[ \log_{a}x ≤ b ⇔ x ≥ a^b\]
3. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp \[b =a^α\] [ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và \[b =\log_{a}α\] [ trường hợp bất phương trình lôgarit cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:
Nếu \[a > 1\] thì \[{a^x} > {a^\alpha} \Leftrightarrow x > \alpha;\]
Nếu \[0 < a < 1\] thì \[{\log _a}x > {\log _a}\alpha \Leftrightarrow 0 < x < \alpha ;...\]
Loigiaihay.com
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Bài giảng: Cách giải bất phương trình logarit - Cô Nguyễn Phương Anh [Giáo viên VietJack]
Quảng cáo
| logaf[x] ≤ logag[x] | |
| 0 < a < 1 | logaf[x] ≤ logag[x] ⇔ f[x] ≥ g[x] > 0 |
| a > 1 | logaf[x] ≤ logag[x] ⇔ 0 < f[x] ≤ g[x] |
| logaf[x] ≥ logag[x] | |
| 0 < a < 1 | logaf[x] ≥ logag[x] ⇔ 0 < f[x] ≤ g[x] |
| a > 1 | logaf[x] ≥ logag[x] ⇔ f[x] ≥ g[x] > 0 |
Bài 1: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Bất phương trình tương đương
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là [2;+∞].
Quảng cáo
Bài 2: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Bài 3: Giải bất phương trình sau
Hướng dẫn:
Bài 1: Giải bất phương trình log2[x2-x-2] ≥ log0,5[x-1]+1
Bài 2: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình log2[logx] ≥ loglog2x
Quảng cáo
Bài 3: Tìm nghiệm nguyên nhỏ nhất của bất phương trình
Bài 4: Giải bất phương trình
Điều kiện: x > 0.
Bài 5: Giải bất phương trình log[x+1]+logx > log20
Điều kiện: x > 0.
Ta có: log[x+1]+logx > log20 ⇔ log[[x+1]x] > log20 ⇔ x2+x > 20 ⇔ x2+x-20 > 0
⇔ x < -5 ∨ x > 4.
Giao với điều kiện ta được: x > 4.
Bài 6: Giải bất phương trình log2[x+1]-2log2[5-x] < 1-log2[x-2]
Điều kiện: 2< x < 5.
Ta có:
log2[x+1]-2log2[5-x] < 1-log2[x-2] ⇔ log2[x+1]+log2[x-2] < log22+log2[5-x]2
⇔ log2[[x+1][x-2]] < log2[2[5-x]2 ] ⇔ [x+1][x-2] < 2[5-x]2 ⇔ x2-19x+52 > 0
Bài 7: Giải bất phương trình
Điều kiện: x > 1.
Ta có:
Giao với điều kiện ta được: 1< x ≤ 2.
Bài 8: Giải bất phương trình
Điều kiện: x > 0.
Kết hợp điều kiện ta được 0< x ≤ 25.
Bài 9: Giải bất phương trình
Điều kiện: x > 2.
⇔ log2[x+1]+log2[x-2] ≤ log24
⇔ log2[[x+1][x-2]] ≤ log24 ⇔ [x+1][x-2] ≤ 4 ⇔ x2-x-6 ≤ ⇔ -2 ≤ x ≤ 3.
Giao với điều kiện ta được 2< x ≤ 3.
Bài 10: Giải bất phương trình
Bài 11: Giải bất phương trình
Điều kiện: x > 3.
Ta có:
Giao với điều kiện ta được: 3< x < 4.
Bài 12: Tìm giá trị của tham số m để bất phương trình log2[3x2-2mx-m2-2m+4] > 1+log2[x2+2] nghiệm đúng với mọi x∈R.
Ta có:
log2[3x2-2mx-m2-2m+4] > 1+log2[x2+2] ⇔ log2[3x2-2mx-m2-2m+4] > log2[2x2+4]
Yêu cầu bài toán
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
bat-phuong-trinh-logarit.jsp