Công thức tính khoảng cách Euclid

Trong toán học, Khoảng cách Euclide giữa hai điểm trong không gian Euclide là độ dài của đoạn thẳng giữa hai điểm. Nó có thể được tính toán từ tọa độ Descartes của các điểm bằng cách sử dụng định lý Pitago, do đó đôi khi được gọi là Khoảng cách Pitago. Những cái tên này xuất phát từ các nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid và Pythagoras, mặc dù Euclid không biểu thị khoảng cách dưới dạng số, và mối liên hệ từ định lý Pythagore với phép tính khoảng cách đã không được thực hiện cho đến thế kỷ 18.

Khoảng cách giữa hai đối tượng không phải là điểm thường được xác định là khoảng cách nhỏ nhất giữa các cặp điểm từ hai đối tượng. Công thức được biết đến để tính toán khoảng cách giữa các loại đối tượng khác nhau, chẳng hạn như khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng. Trong toán học cao cấp, khái niệm khoảng cách đã được khái quát hóa thành các không gian mêtric trừu tượng, và các khoảng cách khác ngoài Euclide đã được nghiên cứu. Trong một số ứng dụng trong thống kê và tối ưu hóa, bình phương của khoảng cách Euclide được sử dụng thay cho chính khoảng cách.

Công thức khoảng cách

Một chiều

Khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ trên đường thực là giá trị tuyệt đối của hiệu số tọa độ của chúng. Do đó nếu P{ displaystyle p}

và NS{ displaystyle q}

là hai điểm trên đường thẳng thực thì khoảng cách giữa chúng là:Một công thức phức tạp hơn, cho cùng một giá trị, nhưng tổng quát hóa dễ dàng hơn cho các thứ nguyên cao hơn, là:Trong công thức này, bình phương và sau đó lấy căn bậc hai để lại bất kỳ số dương nào không thay đổi, nhưng thay thế bất kỳ số âm nào bằng giá trị tuyệt đối của nó.

Hai kích thước

Trong mặt phẳng Euclide, hãy điểm P{ displaystyle p}

có tọa độ Descartes (P1,P2){ displaystyle (p_ {1}, p_ {2})}

và để ý NS{ displaystyle q}

có tọa độ (NS1,NS2){ displaystyle (q_ {1}, q_ {2})}

. Sau đó, khoảng cách giữa P{ displaystyle p}

và NS{ displaystyle q}

được đưa ra bởi:Có thể thấy điều này bằng cách áp dụng định lý Pitago cho một tam giác vuông có các cạnh ngang và dọc, có đoạn thẳng từ P{ displaystyle p}

đến NS{ displaystyle q}

như cạnh huyền của nó. Hai công thức bình phương bên trong căn bậc hai cho diện tích hình vuông ở các cạnh ngang và dọc, và căn bậc hai bên ngoài chuyển đổi diện tích hình vuông trên cạnh huyền thành độ dài cạnh huyền.

Nó cũng có thể tính toán khoảng cách cho các điểm được cung cấp bởi các tọa độ cực. Nếu tọa độ cực của P{ displaystyle p}

là (NS,θ){ displaystyle (r, theta)}

và tọa độ cực của NS{ displaystyle q}

là (NS,ψ){ displaystyle (s, psi)}

, thì khoảng cách của chúng được cho bởi định luật cosin:

Khi nào P{ displaystyle p}

và NS{ displaystyle q}

được biểu diễn dưới dạng số phức trong mặt phẳng phức, có thể sử dụng công thức tương tự cho các điểm một chiều được biểu thị dưới dạng số thực:

Kích thước cao hơn

Trong không gian ba chiều, đối với các điểm được cho bởi tọa độ Descartes của chúng, khoảng cách là

Nói chung, đối với các điểm được cho bởi tọa độ Descartes trong n{ displaystyle n}

-không gian Euclid chiều, khoảng cách là

Các đối tượng khác ngoài điểm

Đối với các cặp đối tượng không phải là cả hai điểm, khoảng cách có thể được định nghĩa đơn giản nhất là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai điểm bất kỳ từ hai đối tượng, mặc dù các phép tổng quát phức tạp hơn từ điểm thành tập hợp như khoảng cách Hausdorff cũng thường được sử dụng. Các công thức tính toán khoảng cách giữa các loại đối tượng bao gồm:

• Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, trong mặt phẳng Euclide
• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian Euclide ba chiều
• Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian Euclide ba chiều

Tính chất

Khoảng cách Euclide là ví dụ điển hình về khoảng cách trong không gian metric và tuân theo tất cả các thuộc tính xác định của không gian metric:

• Nó là đối xứng, nghĩa là cho tất cả các điểm P{ displaystyle p}
  và NS{ displaystyle q}
  , NS(P,NS)=NS(NS,P){ displaystyle d (p, q) = d (q, p)}
  . Đó là (không giống như khoảng cách đường bộ với đường một chiều) khoảng cách giữa hai điểm không phụ thuộc vào điểm nào là điểm xuất phát và điểm nào là điểm đến.
• Nó là khả quan, có nghĩa là khoảng cách giữa hai điểm phân biệt là một số dương, trong khi khoảng cách từ bất kỳ điểm nào đến chính nó bằng không.
• Nó tuân theo bất đẳng thức tam giác: cứ ba điểm P{ displaystyle p}
  , NS{ displaystyle q}
  , và NS{ displaystyle r}
  , NS(P,NS)+NS(NS,NS)NS(P,NS){ displaystyle d (p, q) + d (q, r) geq d (p, r)}
  . Trực quan, đi từ P{ displaystyle p}
  đến NS{ displaystyle r}
  qua NS{ displaystyle q}
  không thể ngắn hơn bất kỳ chuyến đi trực tiếp từ P{ displaystyle p}
  đến NS{ displaystyle r}
  .

Một tính chất khác, sự bất bình đẳng của Ptolemy, liên quan đến khoảng cách Euclid giữa bốn điểm P{ displaystyle p}

, NS{ displaystyle q}

, NS{ displaystyle r}

, và NS{ displaystyle s}

. Nó nói rằngĐối với các điểm trong mặt phẳng, điều này có thể được diễn đạt lại bằng cách nói rằng với mọi tứ giác, tích các cạnh đối diện của tứ giác có tổng ít nhất là một số lớn bằng tích các đường chéo của nó. Tuy nhiên, bất đẳng thức Ptolemy áp dụng tổng quát hơn cho các điểm trong không gian Euclide có chiều bất kỳ, bất kể chúng được sắp xếp như thế nào. Hình học khoảng cách Euclid nghiên cứu các tính chất của khoảng cách Euclid như bất đẳng thức Ptolemy và ứng dụng của chúng trong việc kiểm tra xem các tập hợp khoảng cách đã cho có đến từ các điểm trong không gian Euclid hay không.

Khoảng cách Euclid bình phương

Trong nhiều ứng dụng, và đặc biệt khi so sánh khoảng cách, có thể thuận tiện hơn nếu bỏ qua căn bậc hai cuối cùng trong tính toán khoảng cách Euclide. Giá trị do bỏ sót này là bình phương của khoảng cách Euclide, và được gọi là khoảng cách Euclide bình phương. Dưới dạng một phương trình, nó có thể được biểu thị dưới dạng tổng các bình phương:

Ngoài ứng dụng của nó để so sánh khoảng cách, khoảng cách Euclid bình phương có tầm quan trọng trung tâm trong thống kê, nơi nó được sử dụng trong phương pháp bình phương nhỏ nhất, một phương pháp tiêu chuẩn để phù hợp các ước tính thống kê với dữ liệu bằng cách giảm thiểu trung bình của khoảng cách bình phương giữa các giá trị quan sát và ước tính . Việc cộng các khoảng cách bình phương với nhau, như được thực hiện trong phép ghép hình vuông nhỏ nhất, tương ứng với một phép toán trên các khoảng cách (không được kiểm tra) được gọi là phép cộng Pythagore. Trong phân tích cụm, khoảng cách bình phương có thể được sử dụng để tăng cường ảnh hưởng của khoảng cách xa hơn.

Khoảng cách Euclide bình phương không tạo thành không gian metric, vì nó không thỏa mãn bất đẳng thức tam giác. Tuy nhiên, nó là một hàm lồi hoàn toàn nhẵn của hai điểm, không giống như khoảng cách, là hàm không nhẵn (các cặp điểm gần bằng nhau) và lồi nhưng không lồi hoàn toàn. Do đó, khoảng cách bình phương được ưu tiên trong lý thuyết tối ưu hóa, vì nó cho phép sử dụng phân tích lồi. Vì bình phương là một hàm đơn điệu của các giá trị không âm, việc giảm thiểu khoảng cách bình phương tương đương với việc giảm thiểu khoảng cách Euclide, do đó bài toán tối ưu hóa tương đương về một trong hai, nhưng dễ giải hơn bằng cách sử dụng khoảng cách bình phương.

Tập hợp tất cả các khoảng cách bình phương giữa các cặp điểm từ một tập hợp hữu hạn có thể được lưu trữ trong ma trận khoảng cách Euclide, và được sử dụng ở dạng này trong hình học khoảng cách.

Khái quát hóa

Trong các lĩnh vực toán học cao cấp hơn, khi xem không gian Euclide như một không gian vectơ, khoảng cách của nó được liên kết với một chuẩn gọi là chuẩn Euclid, được định nghĩa là khoảng cách của mỗi vectơ từ gốc tọa độ. Một trong những tính chất quan trọng của định mức này, so với các định mức khác, là nó không thay đổi trong các phép quay tùy ý của không gian xung quanh điểm gốc. Theo định lý Dvoretzky, mọi không gian vectơ quy chuẩn hữu hạn chiều đều có một không gian con chiều cao mà trên đó chuẩn là xấp xỉ Euclide; chuẩn mực Euclide là chuẩn mực duy nhất có thuộc tính này. Nó có thể được mở rộng thành không gian vectơ vô hạn chiều như L2 định mức hoặc L2 khoảng cách.

Các khoảng cách phổ biến khác trên không gian Euclide và không gian vectơ chiều thấp bao gồm:

• Khoảng cách Chebyshev, đo khoảng cách giả sử chỉ có thứ nguyên quan trọng nhất có liên quan.
• Khoảng cách Manhattan, đo khoảng cách chỉ theo các hướng được căn chỉnh theo trục.
• Khoảng cách Minkowski, một tổng quát thống nhất khoảng cách Euclidean, khoảng cách Manhattan và khoảng cách Chebyshev.

Đối với các điểm trên bề mặt theo ba chiều, khoảng cách Euclid cần được phân biệt với khoảng cách trắc địa, độ dài của một đường cong ngắn nhất thuộc về bề mặt. Đặc biệt, để đo khoảng cách vòng tròn lớn trên trái đất hoặc các bề mặt hình cầu hoặc gần hình cầu khác, các khoảng cách đã được sử dụng bao gồm khoảng cách hasrsine cho khoảng cách vòng tròn lớn giữa hai điểm trên một hình cầu từ các kinh độ và vĩ độ của chúng, và các công thức của Vincenty còn được gọi là "khoảng cách Vincent" cho khoảng cách trên một hình cầu.

Môn lịch sử

Khoảng cách Euclide là khoảng cách trong không gian Euclid; cả hai khái niệm đều được đặt tên theo nhà toán học Hy Lạp cổ đại Euclid, người có Các yếu tố trở thành sách giáo khoa tiêu chuẩn về hình học trong nhiều thế kỷ. Các khái niệm về độ dài và khoảng cách phổ biến rộng rãi trong các nền văn hóa, có thể được xác định từ các tài liệu quan liêu "bảo vệ" sớm nhất còn sót lại từ Sumer vào thiên niên kỷ thứ tư trước Công nguyên (trước Euclid), và đã được giả thuyết là phát triển ở trẻ em sớm hơn các khái niệm liên quan về tốc độ và thời gian. Nhưng khái niệm về khoảng cách, như một con số được xác định từ hai điểm, không thực sự xuất hiện trong Các yếu tố. Thay vào đó, Euclid tiếp cận khái niệm này một cách ngầm hiểu, thông qua sự đồng dư của các đoạn thẳng, thông qua việc so sánh độ dài của các đoạn thẳng và thông qua khái niệm tỷ lệ.

Định lý Pitago cũng cổ xưa, nhưng nó chỉ có thể đóng vai trò trung tâm trong việc đo khoảng cách sau khi René Descartes phát minh ra hệ tọa độ Descartes vào năm 1637. Bản thân công thức khoảng cách được Alexis Clairaut công bố lần đầu tiên vào năm 1731. Do công thức này, khoảng cách Euclide đôi khi còn được gọi là khoảng cách Pitago. Mặc dù các phép đo chính xác về khoảng cách dài trên bề mặt trái đất, không phải là Euclid, đã được nghiên cứu lại trong nhiều nền văn hóa từ thời cổ đại (xem lịch sử trắc địa), ý tưởng cho rằng khoảng cách Euclid có thể không phải là cách duy nhất để đo khoảng cách giữa các điểm trong không gian toán học thậm chí còn xuất hiện muộn hơn, với công thức hình học phi Euclid từ thế kỷ 19. Định nghĩa về chuẩn Euclid và khoảng cách Euclid cho các hình học có nhiều hơn ba chiều cũng lần đầu tiên xuất hiện vào thế kỷ 19, trong công trình của Augustin-Louis Cauchy.

Xem thêm

• Tôpô Euclide - Tôpô tự nhiên do hệ mét Euclide gây ra

Người giới thiệu