Bài viết này chúng ta cùng ôn lại công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm, từ điểm tới đường thẳng, qua đó vận dụng giải một số bài tập minh họa để các em hiểu rõ cách vận dụng công thức tính này.
I. Công thức tính khoảng cách giữa 2 điểm
– Cho điểm A[xA; yA] và điểm B[xB; yB], khoảng cách giữa hai điểm này là:
II. Công thức tính khoảng cách từ điểm tới đường thẳng
– Cho đường thẳng Δ: Ax + By + C = 0 và điểm M0[x0; y0]. Khi đó khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng Δ là:
– Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng Δ là độ dài của đoạn thẳng M0H [trong đó H là hình chiếu vuông góc của M0 lên Δ].
> Lưu ý: Trong trường hợp đường thẳng Δ chưa viết dưới dạng tổng quát thì đầu tiên ta cần đưa đường thẳng Δ về dạng tổng quát.
III. Tính khoảng cách giữa 2 điểm, từ điểm tới đường thẳng qua bài tập minh họa
* Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A[1;2] và điểm B[-3;4]. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
* Lời giải:
– Độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa 2 điểm A,B ta có:
* Ví dụ 2: Tính khoảng cách từ điểm M[2;-1] đến đường thẳng [Δ]: 3x + 4y + 7 = 0.
* Lời giải:
– Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng [Δ] là:
* Ví dụ 3: Tính khoảng cách từ điểm A[0;1] đến đường thẳng [Δ]: 4x + 3y = 6
* Lời giải:
– Đường thẳng [Δ]: 4x + 3y = 6 ⇔ 4x + 3y – 6 = 0
– Khoảng cách từ điểm A đến [Δ] là:
* Ví dụ 4: Tính khoảng cách từ điểm M[1;1] đến đường thẳng [Δ] có phương trình tham số: x = 3 + 3t và y = 2 + t.
* Lời giải:
– Ta cần đưa phương trình đường thẳng [Δ] về dạng tổng quát.
– Ta có: [Δ] đi qua điểm A[3;2] và có VTCP ⇒ VTPT
⇒ Phương trình [Δ]: 1.[x – 3] – 3[y – 2] = 0 ⇔ x – 3y + 3 = 0
⇒ Khoảng cách từ điểm M[1;1] đến [Δ] là:
* Ví dụ 5: Đường tròn [C] có tâm là gốc tọa độ O[0; 0] và tiếp xúc với đường thẳng [Δ]: 4x – 3y + 25 = 0. Bán kính R của đường tròn [C] bằng:
* Lời giải:
– Do đường thẳng [Δ] tiếp xúc với đường tròn [C] nên khoảng cách từ tâm đường tròn đến đường thẳng [Δ] chính là bán kính R của đường tròn.
* Ví dụ 6: Khoảng cách từ giao điểm của hai đường thẳng [d1]: x – 3y + 4 = 0 và[d2]: 2x + 3y – 1 = 0 đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 bằng:
* Lời giải:
– Trước hết ta cần tìm giao điểm của [d1] và [d2]; từ đó tính khoảng cách từ giao điểm này tới [∆].
– Giả sử giao điểm của [d1] và [d2] là A thì tọa độ của A là nghiệm của hệ phương trình:
x – 3y + 4 = 0 và 2x + 3y – 1 = 0
Giải hệ được x = -1 và y = 1 ⇒ A[-1;1]
– Khoảng cách từ điểm A[-1;1] đến đường thẳng ∆: 3x + y + 16 = 0 là:
* Ví dụ 7: Trong mặt phẳng hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A[1;1]; B[0;3] và C[4;0].
a] Tính chiều dài đường cao AH [H thuộc BC].
b] Tính diện tích tam giác ABC
* Lời giải:
a] Tính chiều dài đường cao AH
– Chiều dài đường cao AH chính là khoảng cách từ A tới đường thẳng BC. Vì vậy ta cần viết phương trình dường thẳng BC từ đó tính khoảng cách từ A tới BC.
– PT đường thẳng BC: Đi qua B[0;3] và có CTCP BC[xC – xB; yC – yB] = [4;-3] nên VTPT là n[3;4].
⇒ PTĐT [BC] là: 3[x – 0] + 4[ y – 3] = 0 ⇔ 3x + 4y – 12 = 0
⇒ chiều cao của tam giác kẻ từ đỉnh A chính là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng BC:
b] Tính diện tích tam giác ABC.
– Ta có: SΔABC = [1/2].AH.BC
– Có độ dài BC là:
– Mà AH = d[A;BC] = 1 [theo câu a]
⇒ SΔABC = [1/2]mobitool.net = [1/2].1.5 = 5/2 =2,5.
Các bài tập toán hình học thường có câu hỏi tính khoảng cách giữa hai điểm. Vậy có công thức nào tính khoảng cách giữa hai điểm một cách nhanh nhất không? Hãy cùng tìm hiểu thông qua bài viết sau đây.
Khoảng cách giữa hai điểm là độ dài đoạn thẳng nối liền hai điểm đó. Như vậy, tính khoảng cách giữa hai điểm chính là đi tìm độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm xác định. Lưu ý rằng, đây chỉ là độ dài đoạn thẳng giữa hai điểm và không phải là độ dài đường thẳng hay độ dài đoạn vuông góc nào khác.
Tính khoảng cách giữa hai điểm trong các bài tập hình học phẳng thông thường
Các bài tập hình học phẳng thông thường sẽ có các câu hỏi như cho điểm A nằm trên đường tròn hoặc hình tam giác, sau đó tìm độ dài đoạn thẳng giữa điểm A này với một điểm có sẵn trước.
Với dạng bài toán này, sẽ không có công thức chung để tìm độ dài đoạn thẳng. Thường bạn sẽ phải áp dụng nhiều kiến thức, lý thuyết hình học khác nhau và tính chất của các hình học, dữ kiện đề bài cho sẵn hoặc dữ kiện tìm được để có thể tìm ra độ dài của đoạn thẳng.
Ví dụ, cho đường thẳng d và một điểm [O] cách d 1cm. Vẽ đường tròn tâm [O] bán kính 3cm. Gọi A và B là các giao điểm của đường thẳng d và đường tròn [O]. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
Giải:
Gọi H là trung điểm AB. OH đi qua trung điểm AB => OH ⊥ AB
Áp dụng định lý Pythago vào tam giác OAH ta có:
OA2 = OH2 + AH2 => AH2 = OA2 – OH2 => AB = 4√2
Tính khoảng cách giữa hai điểm trong các bài toán tọa độ
Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M[a;b] và điểm N[α;β]. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức:
Ví dụ, Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm A[1;2] và điểm B[5;3]. Tính độ dài đoạn thẳng AB. Khi đó, độ dài đoạn thẳng AB là khoảng cách giữa hai điểm A và B.
Cách tính sẽ tương tự với hai điểm trong mặt phẳng Oxyz. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M[a;b;c] và điểm N[α;β;γ]. Khi đó khoảng cách giữa hai điểm M và N được tính theo công thức:
Ví dụ, trong không gian Oxyz, cho điểm A[1;2;3] và điểm B[3;1;2]. Tính khoảng cách 2 điểm A và B. Khi đó, khoảng cách giữa hai điểm A và B là:
Tùy vào dữ kiện đề bài, loại bài tập và các kiến thức hình học, đồ thị khác nhau mà bạn sẽ tìm được tọa độ điểm để có thể tính được độ dài đoạn thẳng nối giữa hai điểm.
Ví dụ, cho đường thẳng ∆ 3x – 4y -19=0 và đường tròn [C] [x-1]2 +[y-1]2=25 biết ∆ cắt [C] tại 2 điểm phân biệt A và B .Tinh độ dài AB.
Giải:
Ta có [C]: [x-1]2 +[y-1]2 =25 => hình tròn có tọa độ tâm O[1;1] và bán kính là 5
=> d[[O],∆]=|3-4-19|/√[9+16] = 20/5 = 4
H là hình chiếu của O lên AB => OH = 4
Áp dụng định lý pitago với tam giác vuông OAH, ta có:
AH=√[OA2 – OH2]=√[25 – 16]=3
H là hình chiếu của tâm O lên AB => H là trung điểm của đoạn AB => AB=6
Xem thêm: Tính năm nhuận như thế nào?
Như vậy, việc tính khoảng cách giữa hai điểm phụ thuộc rất nhiều vào dữ kiện đề bài và vận dụng các kiến thức toán học khác nhau. Vì vậy, để có thể tính toán chuẩn xác khoảng cách giữa hai điểm, bạn cần phải nắm thật chắc các kiến thức cơ bản nhất trong hình học phẳng và hình học tọa độ.