Đề bài
Giải các phương trình sau:
a] \[{x^2} + x - 2 = 0\]
b] \[{x^4} + 3{x^2} - 4 = 0\]
c] \[2{x^2} - 3x + 1 = 0\]
d] \[ - 2{x^2} + 8 = 0\]
e] \[{x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\]
f] \[2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0\]
h] \[\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\]
i] \[\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Phương trình bậc hai \[a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left[ {a \ne 0} \right]\]có \[\Delta = {b^2} - 4ac\]hoặc \[\Delta ' = b{'^2} - ac\,\,\left[ {b = 2b'} \right]\]
+] Nếu \[\Delta > 0\,\,\left[ {\Delta ' > 0} \right]\] thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}}\]\[\left[ {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b' \pm \sqrt {\Delta '} }}{a}} \right]\]
+] Nếu \[\Delta = 0\,\,\left[ {\Delta ' = 0} \right]\] thì phương trình có nghiệm kép \[{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b}}{{2a}}\]\[\left[ {{x_{1,2}} = \dfrac{{ - b'}}{a}} \right]\].
+] Nếu \[\Delta < 0\,\,\left[ {\Delta ' < 0} \right]\] thì phương trình vô nghiệm.
Lời giải chi tiết
a] \[{x^2} + x - 2 = 0\]
Ta có: \[\Delta = {1^2} - 4.1.\left[ { - 2} \right] = 9 > 0 \Rightarrow \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt \[{x_1} = \dfrac{{ - 1 + 3}}{2} = 1;\,\,x = \dfrac{{ - 1 - 3}}{2} = - 2\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1; - 2} \right\}\].
b] \[{x^4} + 3{x^2} - 4 = 0\]
Đặt \[{x^2} = t\,\,\left[ {t \ge 0} \right]\], khi đó phương trình ban đầu trở thành \[{t^2} + 3t - 4 = 0\] [*] ta có:
\[\Delta = {3^2} - 4.1.\left[ { - 4} \right] = 25 > 0 \Rightarrow \] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt
\[{t_1} = \dfrac{{ - 3 + 5}}{2} = 1\,\,\left[ {tm} \right];\]\[\,\,{t_2} = \dfrac{{ - 3 - 5}}{2} = - 4\,\,\left[ {ktm} \right]\]
Với \[t = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { \pm 1} \right\}\].
c] \[2{x^2} - 3x + 1 = 0\]
Ta có: \[\Delta = {\left[ { - 3} \right]^2} - 4.2.1 = 1 > 0 \Rightarrow \] Phương trình có 2 nghiệm phân biệt\[{x_1} = \dfrac{{3 + 1}}{{2.2}} = 1;\,\,{x_2} = \dfrac{{3 - 1}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {1;\dfrac{1}{2}} \right\}\].
d] \[ - 2{x^2} + 8 = 0 \Leftrightarrow 2{x^2} = 8 \]
\[\Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = \pm 2\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { \pm 2} \right\}\].
e] \[{x^4} - 4{x^2} - 5 = 0\]
Đặt \[{x^2} = t\,\,\left[ {t \ge 0} \right]\], khi đó phương trình ban đầu trở thành \[{t^2} - 4t - 5 = 0\] [*] ta có:
\[\Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.\left[ { - 5} \right] = 9 > 0 \Rightarrow \] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt \[\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{2 + 3}}{1} = 5\,\,\left[ {tm} \right]\\{t_2} = \dfrac{{2 - 3}}{1} = - 1\,\,\left[ {ktm} \right]\end{array} \right.\]
Với \[t = 5 \Rightarrow {x^2} = 5 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 5 \].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { \pm \sqrt 5 } \right\}\].
f] \[2{x^4} - 5{x^2} + 2 = 0\]
Đặt \[{x^2} = t\,\,\left[ {t \ge 0} \right]\], khi đó phương trình ban đầu trở thành \[2{t^2} - 5t + 2 = 0\] [*] ta có:
\[\Delta = {\left[ { - 5} \right]^2} - 4.2.2 = 9 > 0 \Rightarrow \] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt \[\left\{ \begin{array}{l}{t_1} = \dfrac{{5 + 3}}{{2.2}} = 2\,\,\left[ {tm} \right]\\{t_2} = \dfrac{{5 - 3}}{{2.2}} = \dfrac{1}{2}\,\,\left[ {tm} \right]\end{array} \right.\]
Với \[t = 2 \Rightarrow {x^2} = 2 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 \].
Với \[t = \dfrac{1}{2} \Rightarrow {x^2} = \dfrac{1}{2} \Leftrightarrow x = \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\]
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ { \pm \sqrt 2 ; \pm \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right\}\].
h] \[\dfrac{{12}}{{x - 1}} - \dfrac{8}{{x + 1}} = 1\]
ĐK: \[x \ne \pm 1\].
\[\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{12\left[ {x + 1} \right] - 8\left[ {x - 1} \right]}}{{\left[ {x - 1} \right]\left[ {x + 1} \right]}} = 1\\ \Leftrightarrow 12\left[ {x + 1} \right] - 8\left[ {x - 1} \right] = \left[ {x + 1} \right]\left[ {x - 1} \right]\\ \Leftrightarrow 12x + 12 - 8x + 8 = {x^2} - 1\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 21 = 0\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Ta có \[\Delta ' = {\left[ { - 2} \right]^2} - 1.\left[ { - 21} \right] = 25 > 0 \Rightarrow \] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{2 + 5}}{1} = 7\\{x_2} = \dfrac{{2 - 5}}{1} = - 3\end{array} \right.\,\,\left[ {tm} \right]\].
Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {7; - 3} \right\}\].
i] \[\dfrac{1}{{x - 2}} + \dfrac{3}{{6 - x}} = 2\]
ĐK: \[x \ne 2;\,\,x \ne 6\]
\[\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{{6 - x + 3\left[ {x - 2} \right]}}{{\left[ {x - 2} \right]\left[ {6 - x} \right]}} = 2\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3\left[ {x - 2} \right] = 2\left[ {x - 2} \right]\left[ {6 - x} \right]\\ \Leftrightarrow 6 - x + 3x - 6 = - 2{x^2} + 16x - 24\\ \Leftrightarrow 2{x^2} - 14x + 24 = 0\\ \Leftrightarrow {x^2} - 7x + 12 = 0\,\,\left[ * \right]\end{array}\]
Ta có: \[\Delta = {\left[ { - 7} \right]^2} - 4.1.12 = 1 > 0 \Rightarrow \] Phương trình [*] có 2 nghiệm phân biệt \[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = \dfrac{{7 + 1}}{2} = 4\\{x_2} = \dfrac{{7 - 1}}{2} = 3\end{array} \right.\,\,\left[ {tm} \right]\]
Vậy nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {3;4} \right\}\].