Đề bài
Cho tam giác \[ABC\] vuông tại \[A,\] phân giác \[BD.\] Kẻ \[DE BC [E BC].\] Gọi \[F\] là giao điểm của \[BA\] và \[ED.\] Chứng minh rằng:
a] \[BD\] là đường thẳng trung trực của \[AE;\]
b] \[DF = DC;\]
c] \[AD > DC.\]
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng:
+] Các trường hợp bằng nhau của tam giác
+] Điểm cách đều hai đầu mút của một đoạn thẳng thì nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó
+] Trong tam giác vuông, cạnh huyền có độ dài lớn nhất.
Lời giải chi tiết
a] Xét tam giác vuông \[ABD\] và tam giác vuông \[EBD\] có:
+] \[\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\] [do \[BD\] là phân giác góc \[B\]]
+] \[BD\] cạnh chung
Suy ra \[\Delta ABD = \Delta EBD\left[ {ch - gn} \right]\] nên \[BA = BE;DA = DE\] [các cạnh tương ứng]
Do \[BA = BE\] nên B thuộc đường trung trực của AE.
Do \[DA = DE\] nên D thuộc đường trung trực của AE.
Do đó \[B,D\] cùng thuộc đường trung trực của \[AE\] hay \[BD\] là đường trung trực của \[AE.\]
b] Xét tam giác vuông \[AFD\] và tam giác vuông \[ECD\] có:
+] \[\widehat {ADF} = \widehat {EDC}\] [hai góc đối đỉnh]
+] \[AD = DE\] [theo câu a]
Suy ra \[\Delta AFD = \Delta ECD\left[ {g - c - g} \right]\] nên \[DF = DC\] [hai cạnh tương ứng]
c] Xét tam giác vuông \[ADF\] có \[DF\] là cạnh huyền nên \[DF > AD\]
Mà \[DF = DC\] [theo câu b], suy ra \[DC > AD.\]