Đề bài
Trong tất cả các hình chữ nhật cùng có diện tích \[48 m^2\], hãy xác định hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất.
Video hướng dẫn giải
Phương pháp giải - Xem chi tiết
+] Cho hình chữ nhật có chiều dài là \[x\] và chiều rộng là \[y.\]
+] Chu vi của hình chữ nhật đó là: \[P=2\left[ x+y \right].\]
+] Diện tích của hình chữ nhật đó là: \[S=xy.\]
Lập hàm số \[P[x]\], xét hàm suy ra GTNN.
Lời giải chi tiết
Gọi chiều rộng và chiều dài của hình chữ nhật lần lượt là \[x;\ y\ \left[ m \right],\ \ \left[ x;\ y > 0 \right].\]
Theo đề bài ta có diện tích hình chữ nhật là \[48\ {{m}^{2}}\Rightarrow xy=48\Leftrightarrow y=\dfrac{48}{x}.\]
\[\Rightarrow \] Chu vi hình chữ nhật đó là: \[P=2\left[ x+y \right]=2\left[ x+\dfrac{48}{x} \right].\]
Xét hàm số \[P\left[ x \right]=2\left[ x+\dfrac{48}{x} \right]\] trên \[\left[ 0;+\infty \right]\] ta có:
\[\begin{array}{l}
P'\left[ x \right] = 2\left[ {1 - \dfrac{{48}}{{{x^2}}}} \right]\\= 2\left[ {\dfrac{{{x^2} - 48}}{{{x^2}}}} \right]\\ \Rightarrow P'\left[ x \right] = 0 \Leftrightarrow {x^2} - 48 = 0\\
\Leftrightarrow {x^2} = 48 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 4\sqrt 3 \in \left[ {0; + \infty } \right]\\
x = - 4\sqrt 3\notin \left[ {0; + \infty } \right]
\end{array} \right..
\end{array}\]
Ta có: \[P\left[ 4\sqrt{3} \right]=16\sqrt{3}.\]
Vậy hình chữ nhật có chu vi nhỏ nhất là hình vuông có cạnh \[4\sqrt{3}m.\]