Mời các em xem lại công thức nghiệm của phương trình bậc hai:
Các em nhớ nhấn SUBCRIBE [ĐĂNG KÍ] trong youtube để nhận thông báo khi có video bài học mới nhé!
Cho phương trình \[ax^2+bx+c=0\] với \[a\ne0.\]
Hệ thức Vi-ét:
Nếu phương trình có hai nghiệm \[x_1, x_2\] thì \[\begin{cases}S=x_1+x_2=-\dfrac{b}{a} \\ P=x_1.x_2=\dfrac{c}{a}\end{cases}\]
[ta có thể dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để chứng minh hệ thức này]
Điều kiện để có nghiệm dương, âm, trái dấu
- Phương trình có hai nghiệm phân biệt trái dấu: \[x_1x_20\end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases}1-8[m-1]>0 \\ 1>0 \\ 2[m-1]>0\end{cases}\]
\[\Leftrightarrow \begin{cases}m1\end{cases} \Leftrightarrow 10\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+3]^{2} – [4m-1]\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2[m+3]>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} [m+1]^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\]
Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2
Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \[x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\] [1]
Cách giải:
Đặt \[x^{2} = y \geq 0\]. Điều kiện để phương trình [2] có nghiệm là phương trình \[y^{2} + my + 2m – 4 = 0\] [3] có ít nhất một nghiệm không âm.
Ta có: \[\Delta = m^{2} – 4[2m-4] = [m-4]^{2} \geq 0\] với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \[x_{1}, x_{2}\] thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m
Điều kiện để phương trình [1] có hai nghiệm đều âm là:
\[\left\{\begin{matrix} P>0\\ S0\\ -m2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\]
Vậy điều kiện để phương trình [3] có ít nhất một nghiệm không âm là \[m\leq 2\]
\[\Rightarrow\] phương trình [2] có nghiệm khi \[m\leq 2\]
Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài
Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên
\[\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\]
Cách giải:
Từ phương trình thứ nhất ta có \[y = \frac{m+1-mx}{2}\]
Thay vào phương trình thứ hai ta được: \[2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\]
\[\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\]
\[x[m^{2} – 4] = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x[m-2][m+2] = [m – 2][m – 1]\]
Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm
Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm
Nếu \[\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\] thì \[x = \frac{m-1}{m+2}\] thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Thay trở lại phương trình \[y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\]
\[\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\]
Ta cần tìm \[m\in \mathbb{Z}\] sao cho \[x,y\in \mathbb{Z}\]
Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \[\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]
Các giá trị này thỏa mãn \[\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\]
Vậy \[m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\]
Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!
Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:
[Nguồn: www.youtube.com]Xem thêm:
Please follow and like us:
Video liên quan