Hàm một một là gì

Không gian tên

Tác vụ trang

Template:Chú thích trong bài Trong toán học, ánh xạ là khái quát của khái niệm hàm số. hàm số lại xuất phát từ khái niệm tương quan giữa các đại lượng vật lý. Chẳng hạn trong một chuyển động đều, độ dài quãng đường đi được bằng tích của tốc độ với thời gian. Nếu tốc độ là 5cm/s thì quãng đường đi được trong t giây là s = 5t.

Về ý nghĩa, ánh xạ biểu diễn một tương quan [quan hệ] giữa các phần tử của hai tập hợp X và Y thoả mãn điều kiện: mỗi phần tử x của tập X đều có một và chỉ một phần tử y \in Y tương ứng với nó. Quan hệ thoả mãn tính chất này cũng được gọi là quan hệ hàm, vì thế khái niệm ánh xạ và hàm là tương đương nhau. Khái niệm hàm nói trên là khái niệm hàm đơn trị, nó cho phép với mỗi x chỉ có một y duy nhất tương ứng với x. Tuy nhiên trong lý thuyết hàm, đặc biệt là lý thuyết xác suất, hàm còn có thể bao hàm các hàm đa trị, trong đó một giá trị x có thể tương ứng với một số giá trị của y.

Bài này chỉ viết về các ánh xạ [hàm] đơn trị.

Các thuật ngữ

Trong các sách giáo khoa toán ở trung học cơ sở và trung học phổ thông thường định nghĩa:

Một định nghĩa khác, dùng trong lý thuyết tập hợp, sau khi định nghĩa khái niệm quan hệ, người ta định nghĩa:

Vài tính chất cơ bản

• Ảnh của một tập hợp rỗng là một tập hợp rỗng

• Ảnh của tập hợp con là tập hợp con của ảnh

• Ảnh của phần giao nằm trong giao của phần ảnh

• Ảnh của phần hợp là hợp của các phần ảnh

Toàn ánh, đơn ánh và song ánh

phải

• Toàn ánh là ánh xạ từ X vào Y trong đó ảnh của X là toàn bộ tập hợp Y. Khi đó người ta cũng gọi f là ánh xạ từ X lên Y

• Đơn ánh là ánh xạ khi các phần tử khác nhau của X cho các ảnh khác nhau trong Y.Đơn ánh còn được gọi là ánh xạ 1-1 vì tính chất này.

• Song ánh là ánh xạ vừa là đơn ánh, vừa là toàn ánh. Song ánh vừa là ánh xạ 1-1 và vừa là ánh xạ "onto" [từ X lên Y].

Một số ánh xạ đặc biệt

• Ánh xạ không đổi [ánh xạ hằng]: là ánh xạ từ X vào Y sao cho mọi phần tử x \in X đều cho ảnh tại một phần tử duy nhất y_0 \in Y.
• Ánh xạ đồng nhất: là ánh xạ từ X vào chính X sao cho với mọi phần tử x trong X, ta có f[x]=x.
• Ánh xạ nhúng: là ánh xạ f từ tập con X \subset Y vào Y cho f[x]= x với mọi x \in X. Khi đó ta ký hiệu f: X \hookrightarrow Y. Một quan niệm khác về ánh xạ nhúng là: nếu f: X \to Y là đơn ánh, khi xem f chỉ là ánh xạ từ X vào tập con f[X] \subset Y, f sẽ là song ánh. Lúc đó ta có tương ứng 1-1 giữa X với f[X] nên có thể thay thế các phần tử của tập con f[X] \subset Y bằng các phần tử của tập X. Việc này được gọi là nhúng X vào Y bằng đơn ánh f.123

Ánh xạ tích và ánh xạ ngược

• Ánh xạ tích

• Một số tính chất của ánh xạ tích

• Ánh xạ ngược [Inverse map]

Các khái niệm ánh xạ khác [dịch từ tiếng Anh]

• Ánh xạ xạ ảnh
• Canonical map Ánh xạ chính tắc
• Classifying map Ánh xạ phân loại
• Conformal map Ánh xạ bảo giác: ánh xạ bảo toàn độ lớn của các góc, nghĩa là góc giữa các tiếp tuyến với hai đường cong bất kì [tại giao điểm của chúng] bằng góc giữa các tiếp tuyến với các ảnh của hai đường đó [tại giao điểm tương ứng]
• Constant map Ánh xạ không đổi
• Contiguous map Ánh xạ tiếp lên
• Continuous map Ánh xạ liên tục:
  • Ánh xạ f từ x0 \in X lên Y sao cho với mỗi lân cận W của f[x0] đều tồn tại lân cận V của x0 trong X [V \subset X] sao cho f[V] \subset W được gọi là ánh xạ liên tục tại x0 lên Y
  • Ánh xạ Y = f[X] được gọi là ánh xạ liên tục từ X vào Y nếu nó liên tục với mọi x \in X
• Ánh xạ đồng phôi: f:XY là ánh xạ song ánh, liên tục và ánh xạ ngược f^{-1} cũng liên tục. Khi đó X và Y được gọi là hai không gian, hai tập hợp đồng phôi hay tương đương tô pô
• Contour map Phương ánh các đường nằm ngang
• Contraction mapping ánh xạ co là ánh xạ của không gian mêtric vào chính nó, sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì bị giảm đi qua ánh xạ đó. Người ta chứng minh rằng, nếu không gian mêtric là đủ thì mỗi ánh xạ co bao giờ cũng có một và chỉ một điểm bất động x, tức là F[x] = x Template:Chính
• Equivariant map Ánh xạ đẳng biến
• Evaluation map Ánh xạ định giá
• Excission map Ánh xạ cắt
• Fibre map Ánh xạ phân thớ, ánh xạ các không gian phân thớ
• Identification map Ánh xạ đồng nhất hoá
• Inclusion map Ánh xạ nhúng chìm
• Interior map Ánh xạ trong
• Involutory map Ánh xạ đối hợp
• Light map Ánh xạ chuẩn gián đoạn [khắp nơi có các điểm gián đoạn]
• Lowering map Ánh xạ hạ thấp
• Regular map Ánh xạ chính quy
• Simplicial map Ánh xạ đơn hình
• Tensor map Ánh xạ tenxơ
• Affine mapping Ánh xạ afin
• Analytic mapping Ánh xạ giải tích
• Bicontinuous mapping Ánh xạ song liên tục
• Chain mapping Ánh xạ chuỗi, ánh xạ dây chuyền
• Closed mapping Ánh xạ đóng: f:XY được gọi là ánh xạ đóng nếu với mọi tập A đóng \in X đều có f[A] là tập đóng trong Y
• Open mapping Ánh xạ mở: f:XY được gọi là ánh xạ mở nếu với mọi tập A mở \in X đều có f[A] là tập mở trong Y
• Diferentiable mapping Ánh xạ khả vi
• Epimorphic mapping Ánh xạ toàn hình
• Homomorphous mapping Ánh xạ đồng cấu
• Homotopic mapping Ánh xạ dây chuyền đồng luân
• Isometric mapping Ánh xạ đẳng cực
• Isotonic mapping Ánh xạ bảo toàn thứ tự
• Linear mapping Ánh xạ tuyến tính
• Meromorphic mapping Ánh xạ phân hình
• Monomorphic mapping Ánh xạ đơn cấu
• Monotone mapping Ánh xạ đơn điệu
• Non-alternating mapping Ánh xạ không thay phiên
• Norm-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chuẩn
• One-to-one mapping Ánh xạ một-một, hai chiều, [song ánh]
• Perturbation mapping Ánh xạ lệch
• Preclosed mapping Ánh xạ tiền đóng
• Pseudoconformal mapping Ánh xạ giả bảo giác
• Quasi-conformal mapping Ánh xạ tựa bảo giác
• Quasi-open mapping Ánh xạ tựa mở
• Rational mapping Ánh xạ hữu tỷ
• Sense-preserving mapping Ánh xạ bảo toàn chiều
• Slit mapping Ánh xạ lên miền có lát cắt trong
• Starlike mapping Ánh xạ hình sao
• Symplectic mapping Ánh xạ đối ngẫu ximplectic
• Topological mapping Ánh xạ tô pô
• Univalent mapping Ánh xạ đơn diệp

Xem thêm

• Tập hợp
• Lý thuyết tập hợp
• Nhóm [đại số]
• Hàm số
• Ánh xạ xạ ảnh
• Tô pô

Liên kết

Template:Toán học

Tham khảo

Thể loại:Hàm số và ánh xạ