Hệ phương trình có nghiệm khi nào

Phương trình có nghiệm là gì? Điều kiện để phương trình có nghiệm như nào? Lý thuyết và cách giải các dạng bài tập về phương trình có nghiệm? Trong bài viết sau, hãy cùng DINHNGHIA.VN tìm hiểu về chủ đề phương trình có nghiệm là gì cũng như điều kiện giúp phương trình có nghiệm nhé!

Phương trình có nghiệm là gì?

Định nghĩa phương trình có nghiệm

• Trong toán học, phương trình là một mệnh đề chứa biến có dạng:

\(f(x_{1}, x_{2},…) = g(x_{1}, x_{2},…)\)     (1)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = f(x_{1}, x_{2},…) – g(x_{1}, x_{2},…)\)     (2)

\(h(x_{1}, x_{2},…) = 0\)     (3)

\(ax^{2} + bx + c = 0\)     (4)

Trong đó \(x_{1}, x_{2}\),… được gọi là các biến số của phương trình và mỗi bên của phương trình thì được gọi là một vế của phương trình. Chẳng hạn phương trình (1) có \(f(x_1,x_2,…)\) là vế trái, \(g(x_1,x_2,…)\) là vế phải.

Ở (4) ta có trong phương trình này a,b,c là các hệ số và x,y là các biến.

• Nghiệm của phương trình là bộ \(x_{1}, x_{2},…\) tương ứng sao cho khi ta thay vào phương trình thì ta có đó là một mệnh đề đúng hoặc đơn giản là làm cho chúng bằng nhau.

Công thức tổng quát

• Phương trình \(f(x) = 0\) có a đươcj gọi là nghiêm của phương trình khi và chỉ khi \(\left\{\begin{matrix} x = a\\ f(a) = 0 \end{matrix}\right.\), điều này định nghĩa tương tự với các phương trình khác như \(f(x,y,z,..) = 0, a\in S \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x = a\\ y = b\\ z = c\\ f(a,b,c) = 0 \end{matrix}\right.\)
• Giải phương trình là tìm tập nghiệm của phương trình đó. Với tập nghiệm của phương trình là tất cả các nghiệm của phương trình. Kí hiệu: \(S = \left \{ x,y,z,…\left. \right \}\right.\)

Điều kiện để phương trình có nghiệm

Điều kiện để phương trình bậc 2 có nghiệm

• Theo hệ thức Vi-ét nếu phương trình bậc 2 \(ax^{2} + bx + c = 0 (a\neq 0)\) có nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thì \(S = x_{1} + x_{2} = \frac{-b}{a}; P=x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}\)

Do đó điều kiện để một phương trình bậc 2:

• Có 2 nghiệm dương là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S> 0\)
• Có 2 nghiệm âm là: \(\Delta \geq 0; P> 0; S< 0\)
• Có 2 nghiệm trái dấu là: \(\Delta \geq 0; P< 0\)

Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm

• Cho hệ phương trình: \(\left\{\begin{matrix} ax + by = c (d) (a^{2} + b^{2} \neq 0)\\ a’x + b’y = c’ (d’) (a’^{2} + b'{2} \neq 0) \end{matrix}\right.\)
• Hệ phương trình có một nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) cắt (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’} (a’,b’\neq 0)\)
• Hệ phương trình có vô số nghiệm \(\Leftrightarrow\) (d) trùng (d’) \(\Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’} (a’,b’, c’\neq 0)\)
• Hệ phương trình vô nghiệm \(\Leftrightarrow (d)\parallel (d’) \Leftrightarrow \frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’} (a’,b’,c’ \neq 0)\)

Điều kiện để phương trình lượng giác có nghiệm

• Phương trình \(\sin x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Khi đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\sin \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\cos x = m\)
• Phương trình có nghiệm nếu \(\left | m \right |\leq -1\). Khi đó ta chọn một góc \(\alpha\) sao cho \(\cos \alpha = m\) thì nghiệm của phương trình là \(\left\{\begin{matrix} x = \alpha + k2\pi \\ x = – \alpha + k2\pi \end{matrix}\right.\)
• Phương trình \(\tan x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\tan x = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.
• Phương trình \(\csc x = m\)
• Chọn góc \(\alpha\) sao cho \(\csc \alpha = m\). Khi đó phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Các dạng toán điều kiện phương trình có nghiệm

Dạng 1: Tìm điều kiện để cho phương trình có nghiệm

Ví dụ 1: Cho phương trình \(x^{2} – 2(m+3)x + 4m-1 =0\) (1). Tìm giá trị của m để phương trình có hai nghiệm dương

Cách giải:

Phương trình (2) có hai nghiệm dương

\(\left\{\begin{matrix} \Delta \geq 0\\ P>0\\ S>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+3)^{2} – (4m-1)\geq 0\\ 4m-1>0\\ 2(m+3)>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (m+1)^{2} + 9 > 0 \forall m\\ m>\frac{1}{4}\\ m>-3 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>\frac{1}{4}\)

Dạng 2: Điều kiện về nghiệm của phương trình quy về phương trình bậc 2

Ví dụ 2: Tìm giá trị của m để phương trình sau có nghiệm \(x^{4} + mx^{2} + 2m – 4 = 0\) (1)

Cách giải:

Đặt \(x^{2} = y \geq 0\). Điều kiện để phương trình (2) có nghiệm là phương trình \(y^{2} + my + 2m – 4 = 0\) (3) có ít nhất một nghiệm không âm.

Ta có: \(\Delta = m^{2} – 4(2m-4) = (m-4)^{2} \geq 0\) với mọi m. Khi đó phương trình có 2 nghiệm \(x_{1}, x_{2}\) thỏa mãn P = 2m – 4; S = -m

Điều kiện để phương trình (1) có hai nghiệm đều âm là:

\(\left\{\begin{matrix} P>0\\ S<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2m-4>0\\ -m<0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m>2\\ m>0 \end{matrix}\right. \Leftrightarrow m>2\)

Vậy điều kiện để phương trình (3) có ít nhất một nghiệm không âm là \(m\leq 2\)

\(\Rightarrow\) phương trình (2) có nghiệm khi \(m\leq 2\)

Dạng 3: Tìm điều kiện để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài

Ví dụ 3: Tìm m nguyên để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên

\(\left\{\begin{matrix} mx + 2y = m + 1\\ 2x + my = 2m – 1 \end{matrix}\right.\)

Cách giải:

Từ phương trình thứ nhất ta có \(y = \frac{m+1-mx}{2}\)

Thay vào phương trình thứ hai ta được: \(2x + m\frac{m+1-mx}{2} = 2m-1\)

\(\Leftrightarrow 4x + m^{2} -m^{2} x= 4m – 2\)

\(x(m^{2} – 4) = m^{2} – 3m -2 \Leftrightarrow x(m-2)(m+2) = (m – 2)(m – 1)\)

Nếu m = 2 thì x = 0, phương trình có vô số nghiệm

Nếu m = -2 thì x = 12, phương trình vô nghiệm

Nếu \(\left\{\begin{matrix} m\neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\) thì \(x = \frac{m-1}{m+2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.

Thay trở lại phương trình \(y = \frac{m+1-mx}{2} = \frac{2m+1}{m+2}\)

\(\left\{\begin{matrix} x = \frac{m-1}{m+2} = 1- \frac{3}{m+2}\\ y = \frac{2m+1}{m+2} = 2-\frac{3}{m+2} \end{matrix}\right.\)

Ta cần tìm \(m\in \mathbb{Z}\) sao cho \(x,y\in \mathbb{Z}\)

Nhìn vào công thức nghiệm ta có: \(\frac{3}{m + 2}\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow m + 2\in \left \{ -1,1,3,-3\right \} \Leftrightarrow m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Các giá trị này thỏa mãn \(\left\{\begin{matrix} m \neq 2\\ m\neq -2 \end{matrix}\right.\)

Vậy \(m\in \left \{ -3,-1,1,5 \right \}\)

Trên đây là bài viết tổng hợp kiến thức về phương trình có nghiệm và điều kiện để phương trình có nghiệm. Hy vọng sẽ cung cấp cho bạn những kiến thức hữu ích phục vụ quá trình học tập. Chúc bạn luôn học tốt!

Xem chi tiết qua bài giảng dưới đây:

(Nguồn: www.youtube.com)

Xem thêm:

Please follow and like us: