Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em 6 cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, đây là dạng toán thường có mặt trong bài hình học thi vào lớp 10.
Dưới đây là tóm tắt của 6 cách đó:
Tóm tắt
- 1 1] Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
- 2 2] Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°
- 3 3] Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
- 4 4] Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn
- 5 5] Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn
- 6 6] Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
1] Chứng minh cho bốn đỉnh của tứ giác cách đều một điểm nào đó
Cho tứ giác ABCD và điểm I
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn tâm I ⇔ IA=IB=IC=ID
2] Chứng minh tứ giác có tổng 2 góc đối bằng 180°
Cho tứ giác ABCD
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc A + góc C = 180° hoặc góc B + góc D = 180°
3] Chứng minh từ hai đỉnh cùng kề một cạnh cùng nhìn một cạnh dưới hai góc bằng nhau
Cho tứ giác ABCD
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc DAC = góc DBC cùng chắn cung DC
4] Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối bằng thì tứ giác đó nội tiếp được trong một đường tròn
Cho tứ giác ABCD
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp ⇔ góc A + góc C = góc B + góc D. Đây là trường hợp đặc biệt của cách thứ 2.
5] Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong tại đỉnh đối của đỉnh đó thì nội tiếp được trong một đường tròn
Cho tứ giác ABCD
Tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp nếu góc ngoài đỉnh A bằng góc C, hoặc góc ngoài đỉnh B bằng góc D.
6] Chứng minh bằng phương pháp phản chứng
Với cách này, các em chứng minh tứ giác là các hình đặc biệt như hình vuông, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành.
Sau khi đã học xong các cách chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn, các em đọc tiếp bài viết dưới đây:
>>Bài tập chứng minh tứ giác nội tiếp đường tròn có lời giải.
Bồi dưỡng Toán 9, Hình học 9 - Tags: đường tròn, nội tiếp, tứ giác, tứ giác nội tiếpChuyên đề: Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối – Toán lớp 9
Một số bài tập điển hình ôn thi học kì Toán 9 có đáp án
24 bài tập về phép biến đổi đồng nhất
Ôn tập và bồi dưỡng Toán lớp 9 với 10 chuyên đề
Bài tập nâng cao chương 2 – Hình học 9: Đường tròn
Bài tập nâng cao chương 1 – Hình học 9
Dấu hiệu nhận biết tứ giác nội tiếp trong đường tròn [Hình ảnh]
- Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!
Cách chứng minh tứ giác nội tiếp cực hay, chi tiết
Tải xuống
A. Phương pháp giải
Đối với chứng minh tứ giác nội tiếp, ta sử dụng các dấu hiệu nhận biết sau:
+ Tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o.
+ Tứ giác có góc ngoài tại một đỉnh bằng góc trong của đỉnh đối diện.
+ Tứ giác có bốn đỉnh cách đều một điểm [mà ta có thể xác định được]. Điểm đó là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác đó.
+ Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn một cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc α.
+ Chú ý: Để chứng minh một tứ giác là tứ giác nội tiếp ta có thể chứng minh tứ giác đó là một trong các hình sau: Hình chữ nhật, hình vuông, hình thang cân.
Đối với bài toán tính góc, ta sử dụng các tính chất của tứ giác nội tiếp để tính toán.
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Tính số đo các góc của tứ giác ABCD
Hướng dẫn giải
Do ABCD là tứ giác nội tiếp nên
Vì nên
Ta có:
⇒
Vậy .
Ví dụ 2 : Cho đường tròn tâm O. Từ điểm A ở bên ngoài đường tròn [O] vẽ hai tiếp tuyến AB và AC với đường tròn [B, C là hai tiếp điểm]. Trên BC lấy điểm M, vẽ đường thẳng vuông góc với OM tại M, cắt AB và AC lần lượt tại E và D. Chứng minh các tứ giác EBOM và DCMO nội tiếp được trong đường tròn. Xác định tâm các đường tròn đó.
Hướng dẫn giải
– Chứng minh tứ giác EBOM nội tiếp
Có OM ⊥ ME [gt] nên góc
OB ⊥ BE [BE là tiếp tuyến của [O]] nên góc
⇒
Tứ giác EBOM nội tiếp trong đường tròn đường kính OE.
– Chứng minh tứ giác DCMO nội tiếp
Có OM ⊥ DM [gt] nên góc
CD ⊥ OC [CĐ là tiếp tuyến của [O]] nên góc
Nên M, C là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn OD dưới một góc 90o
⇒ Tứ giác DCMO nội tiếp trong đường tròn đường kính OD.
Ví dụ 3 : Qua điểm B nằm ở bên ngoài đường tròn [O], vẽ hai tiếp tuyến BC và BD với đường tròn [O], [C, D là các tiếp điểm]. Từ B vẽ cát tuyến BMN [M nằm giữa B và N, tia BN nằm giữa hai tia BC và BO], gọi H là giao điểm của BO và CD.
a. Chứng minh BM.BN = BH.BO.
b. Chứng minh tứ giác OHMN nội tiếp.
Hướng dẫn giải
a. Ta có: BC = BD [tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau]
OC = OD [bán kính đường tròn [O]]
BO là đường trung trực của CD ⇒ BO ⊥ CD [1]
Xét ΔBMC và ΔBCN có:
: chung
[cùng chắn cung ]
⇒ ΔBMC ∼ ΔBCN [g – g]
⇒ ⇒ BM.BN = BC2 [2]
Do [1] ta có △BCO vuông tại C, đường cao CH:
⇒ BC2 = BH.BO [hệ thức lượng trong tam giác vuông] [3]
Từ [2] và [3] ⇒ BM.BN = BH.BO.
b. Ta có: BM.BN = BH.BO [chứng minh trên]
⇒
ΔBMO và ΔBHN có:
: chung
⇒ ΔBMO ∼ ΔBHN [c – g – c]
⇒ [hai góc tương ứng]
⇒ Tứ giác OHMN nội tiếp [hai góc bằng nhau cùng nhìn một cạnh].
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1 : Cho hình vẽ sau, biết . Đáp án nào sau đây SAI
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có: [hai góc kề bù]
Ta lại có : [ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn]
Lại có là góc ngoài của ΔECB
[ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn]
Vậy
Câu 2 : Phát biểu nào sau đây sai ?
A. Tứ giác nội tiếp có 4 đỉnh cùng nằm trên cùng một đường tròn
B. Nếu một tứ giác có tổng hai góc đối bằng 180o thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.
C. Trong một tứ giác nội tiếp tổng hai góc bất kì bằng 180o
D. Hinh chữ nhật luôn nội tiếp đường tròn.
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Trong tứ giác nội tiếp, tổng hai góc đối mới bằng 180o .
Câu 3 : Số đo góc A trong hình vẽ
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O]
Mà
Câu 4 : Các hình nào sau đây nội tiếp đường tròn?
A. Hình thang, hình chữ nhật
B. Hình thang cân, hình bình hành
C. Hình thoi, hình vuông
D. Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Hình thang cân, hình chữ nhật, hình vuông là các hình nội tiếp đường tròn.
Câu 5 : Cho tam giác nhọn ABC. Đường tròn đường kính BC cắt AB và AC theo thứ tự tại D và E. Gọi H là giao điểm của BE và CD. Tia AH cắt BC tại F. Số tứ giác nội tiếp có trong hình vẽ là:
A. 4
B. 6
C. 7
D. 8
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Các tứ giác nội tiếp ADHE, BDHF, FHEC, BDEC, AEFB, ADFC.
Vậy có 6 tứ giác nội tiếp.
Câu 6 : Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH nội tiếp đường tròn [O;R] gọi I và K theo thứ tự là điểm đối xứng của H qua hai cạnh AB và AC. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Tứ giác AHBI nội tiếp đường tròn đường kính AB
B. Tứ giác AHCK nội tiếp đường tròn đường kính AC
C. Ba điểm I, A, K thẳng hàng
D. A, B, C đều đúng.
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Ta có AH ⊥ BC
[ I đối xứng với H qua AB]
Và [ K đối xứng với H qua AC]
Xét tứ giác AIBH, có:
⇒ Tứ giác AIBH nội tiếp đường tròn đường kính AB
Xét tứ giác AKCH, có:
⇒ Tứ giác AKCH nội tiếp đường tròn đường kính AC
Ta lại có: [do tính chất đối xứng]
Mà
Suy ra ba điểm I, A, K thẳng hàng.
Do đó, cả A, B, C đều đúng.
Câu 7 : Cho hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn [O;R]. Độ dài cạnh hình vuông bằng:
Hướng dẫn giải
Đáp án A
Đặt cạnh góc vuông là x
Ta có hình vuông ABCD nội tiếp [O; R]
Nên O là giao điểm của hai đường chéo, và OA = OB = OC = OD = R.
Kẻ OH vuông góc với BC.
Tam giác OBC vuông cân tại O, có OH ⊥ BC
⇒ H là trung điểm của BC
Xét tam giác OHB vuông tại H, có :
OB2 = OH2 + BH2
Vậy cạnh hình vuông có độ dài là .
Câu 8 : Hình nào sau đây không nội tiếp đường tròn?
A. Hình vuông
B. Hình chữ nhật
C. Hình thoi
D. Hình thang cân
Hướng dẫn giải
Đáp án C
Hình vuông, hình chữ nhật và hình thang cân là các hình nội tiếp đường tròn.
Hình thoi là hình không nội tiếp đường tròn.
Câu 9 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn [O] đường kính BD. Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại E. Biết rằng AB = BC = 7,5cm và . Tính độ dài đường kính BD.
A. 11cm
B. 12cm
C. 14cm
D. 15cm
Hướng dẫn giải
Đáp án D
Do tứ giác ABCD nội tiếp [O] nên:
Mà
Ta có là góc nội tiếp chắn
là góc nội tiếp chắn
Mà
[hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau]
Ta có : [ góc nội tiếp chắn nửa đường tròn]
⇒ tam giác ABD vuông tại A
Câu 10 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp trong đường tròn. Kéo dài AB về phía B một đoạn BE. Biết . Số đo góc EBC là:
A.66
B.92
C.70
D.88
Hướng dẫn giải
Đáp án B
Vì tứ giác ABCD nội tiếp nên:
Mà: [hai góc kề bù]
.
Tải xuống
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
- Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy
- Cách xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn
- Cách tính độ dài đường tròn, cung tròn cực hay, chi tiết
- Tính số đo cung do nhiều cung tạo thành và so sánh độ dài hai cung
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
-
Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án
CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID
Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!
Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k7: fb.com/groups/hoctap2k7/
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp
Các loạt bài lớp 9 khác
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 [bản ngắn nhất]
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 [có đáp án]
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 [có đáp án]
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 [ngắn nhất]
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 [ngắn nhất]
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 [ngắn nhất]
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9