Cách tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song cực hay
Cho hai mặt phẳng [P] và [Q] song song với nhau. Để tính khoảng cách giữa [P] và [Q] ta thực hiện các bước:
+ Bước 1: Chọn một điểm A trên [P] sao cho khoảng cách từ A đến [Q] có thể được xác định dễ nhất.
+ Bước 2: Kết luận: d[[P]; [Q]] = d[A; [Q]].
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.ABCD có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC, AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng[MNP] và [ACC].
Hướng dẫn giải
Chọn D
Ta có: M và N lần lượt là trung điểm của AD và CD nên MN là đường trung bình của tam giác ADC.
MN // AC[1]
+ Do M; P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP // AA // DD'
Lại có: CC // AA nên MP // CC[2]
Từ [1] và [2] suy ra: [ MNP] // [ACC]
+ Gọi O là giao điểm của AC và BD. Do ABCD.ABCD là hình lăng trụ tứ giác đều nên D'O [AA'C'C] và d[D; [ACC]] = DO.
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có các cạnh bên hợp với đáy những góc bằng 60°, đáy ABC là tam giác đều và A cách đều A, B; C. Tính khoảng cách giữa hai đáy của hình lăng trụ.
Hướng dẫn giải
Chọn A
+ Vì tam giác ABC đều và AA = BA = CA [giả thiết] nên A.ABC là hình chóp đều.
Gọi AH là chiều cao của lăng trụ, suy ra H là trọng tâm tam giác ABC
Lăng trụ ABC.ABC có các cạnh bên hợp với đáy góc 60° nên A'AH = 60°.
+ Xét tam giác AHA có: A'H = AH.tan60° = [[a3]/3].3 = a
+ lại có; [ABC] // [ABC] [ định nghĩa hình lăng trụ] nên d[[ABC], [ABC]] = d[ A, [ABC]] = AH = a
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.ABC có cạnh bên bằng a. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy góc 60°. Hình chiếu vuông góc của Alên mặt phẳng [ABC] là trung điểm của BC. Khoảng cách giữa hai mặt đáy của lăng trụ bằng bao nhiêu?
Hướng dẫn giải
Gọi H là trung điểm của BC AH [ABC]. Các cạnh bên của lăng trụ tạo với mặt đáy là 60° nên A'AH = 60°
+ Xét tam giác AHA vuông tại H ta có: AH = AA.sin60° = [a3]/2.
+ Do [ABC] // [ ABC] [định nghĩa hình lăng trụ] nên d[[ABC]; [ABC]] = d[A; [ABC]] = AH = [a3]/2
Chọn đáp án A
Ví dụ 4: Cho hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a. Góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30°. Hình chiếu H của A trên mặt phẳng [ABC] thuộc đường thẳng BC. Khoảng cách giữa hai mặt phẳng đáy là:
Hướng dẫn giải
+ Do hình lăng trụ ABC.ABC có tất cả các cạnh đều bằng a nên AB = AC.
tam giác ABC là tam giác cân có AH là đường cao nên đồng thời là đường trung tuyến [do AH [A'B'C']
HB = HC và AH = AC.sin60° = [a3]/2
+ Do góc tạo bởi cạnh bên và mặt phẳng đáy bằng 30° và có AH [ABC] nên AA'H = 30°
Xét tam giác AAH vuông tại H có:
AH = AH.tan[AA'H] = [a3]/2.tan30° = a/2
Chọn đáp án C
Ví dụ 5: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D; cạnh a. Khoảng cách giữa [ABC] và [ADC] bằng :
Hướng dẫn giải
+ Xét hai mp[ABC] và [ADC] có:
+ Gọi O là tâm của hình vuông ABCD. Gọi I là hình chiếu của D trên OD suy ra I là hình chiếu của D trên [ADC]
ta có: BD = a2 và OD = [1/2]B'D' = [a2]/2
+ xét tam giác ODD vuông tại D có:
Vậy d[[ABC] ; [ADC]] = [a3]/3
Chọn đáp án D
Câu 1: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy bằng a. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, DC và AD. Tính khoảng cách giữa hai mặt phẳng [MNP] và [ACC]
Nhận xét [ACC'] [ACC'A']
Gọi O = AC BD, I = MN BD
+ Ta có M và N lần lượt là trung điểm của AD và DC nên MN là đường trung bình của tam giác ADC và MN // AC [1]
+ Tương tự: M, P lần lượt là trung điểm của AD và AD nên MP là đường trung bình của hình thang ADDA
MP // AA // PP[2] .
Từ [1] và [2] suy ra: [MNP] // [ACC]
Mà O thuộc mp[ ACC] nên d[[MNP]; [ACC] ] = d[O; [ACC]]
+ Ta có: OI AC và OI AA [vì AA [ABCD] và OI [ABCD]]
OI [ACCA] nên d[O; [ACC]] = OI
Suy ra
Chọn đáp án B
Câu 2: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a. Khi đó, khoảng cách giữa hai mặt phẳng [CBD] và [BDA] bằng
+ Ta có: BD // BD và AD // BC
[A'BD] // [B'CD'] nên ta có:
d[[ABD]; [CBD]] = d[B; [ABD]] = d[A; [ABD]]
+ Vì AB = AD = AA = a và A'B = A'D = BD = a2
Hình chóp A.ABD là hình chóp tam giác đều.
+ Gọi I là trung điểm AB và G là trọng tâm tam giác ABD.
AG [ABD]
Khi đó ta có: d[A ; [ABD]] = AG
+ Vì tam giác ABD đều cạnh a2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông AGD có:
Chọn B
Câu 3: Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh a. Khoảng cách giữa [ACB] và [DAC] bằng
+ Ta có : AC // AC và BC // AD
=> [ACB'] // [DA'C']
Lại có: D mp[DA'C'] nên d[[ACB'], [DA'C']] = d[D, [ACB']] = d[B, [ACB']]
+ Vì BA = BB = BC = a và nên hình chóp B.ACB là hình chóp tam giác đều
+ Gọi I là trung điểm AC và G là trọng tâm tam giác ACB.
BG [ACB]
Khi đó ta có: d[B, [ACB']] = BG
+ Vì tam giác ACB đều cạnh a2 nên
Theo tính chất trọng tâm ta có:
Trong tam giác vuông BGB có:
Chọn C
Câu 4: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AB = 4; AD = 3. Mặt phẳng [ACD] tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính khoảng cách giữa hai mặt đáy của hình hộp.
+ Gọi O là hình chiếu của D lên AC.
+ Khoảng cách giữa hai mặt đáy là:
Chọn đáp án B
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. Gọi M, N và P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AD và DC. Gọi J là trung điểm SA và H là giao điểm của CN và DM, biết SH vuông góc [ABCD], SH = a3. Khoảng cách từ [MDJ] đến mặt phẳng [SBP] tính theo a bằng
+ Ta có: MJ // SB [vì MJ là đường trung bình của tam giác SAB]. Và MD // BP
[DMJ] //[ SBP]
d[[DMJ]; [SBP]] = d[H, [SBP]].
+ Ta chứng minh: NC MD
Chọn C
Giới thiệu kênh Youtube Tôi