Khoảng cách giữa hai đường thẳng d và d

Câu hỏi: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Trả lời:

* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

Ký hiệu:

* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Được minh họa bằng hình vẽ như sau:

Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].

Khoảng cách giữa 2 đường thẳng là một trong những mảng kiến thức quan trọng mà các bạn cần đặc biệt chú ý. Nhất là những thí sinh đang ôn luyện, chuẩn bị cho kỳ thi THPT Quốc gia sắp tới.

Và để giúp các bạn có thêm tài liệu học tập, ôn luyện. Dưới đâyTop lời giải sẽ chia sẻ với các bạn những kiến thức cơ bản cần thiết nhất về chủ đề này. Khoảng cách giữa hai đường thẳng là gì? Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng như thế nào? Hãy cùng theo dõi nhé!

1. Khoảng cách giữa hai đường thẳng trong không gian

Trong không gian hai đường thẳng có 4 vị trí tương đối là: Trùng nhau; Cắt nhau; Song song; Chéo nhau.

Trường hợp hai đường thẳng trùng nhau hay cắt nhau thì ta có thể coi khoảng cách giữa chúng bằng 0.

Nếu hai đường thẳng song song thì khoảng cách giữa chúng là khoảng cách từ điểm bất kỳ trên đường thẳng này đến đường thẳng kia.

Còn trong trường hợp hai đường thẳng chéo nhau thì khoảng cách giữa chúng là độ dài đoạn vuông góc chung. Trong đó đoạn vuông góc chung là đoạn thẳng nối hai điểm trên hai đường thẳng chéo nhau đồng thời vuông góc với cả hai đường thẳng đó. Đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau là tồn tại và duy nhất.

2. Cách tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau

* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của 2 đường thẳng đó.

Ký hiệu:

* Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa một trong hai đường thẳng đó và mặt phẳng song song với nó mà chứa đường thẳng còn lại.

*Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa 2 mặt phẳng song song lần lượt chứa hai đường thẳng đó.

Được minh họa bằng hình vẽ như sau:

Ký hiệu:d [a,b] = d [a,[Q]] = d [b,[P]] = d [[P],[Q]]. Trong đó, [P] và [Q] là hai mặt phẳng lần lượt chứa các đường thẳng a, b và [P] // [Q].

Phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng

Để có thể tính được khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau thì chúng ta có thể sử dụng một trong các cách dưới đây:

Phương pháp 1: Dựng đoạn vuông góc chung MN của a và b, khi đó d [a,b] = MN.

Tuy nhiên, khi dựng đoạn vuông góc chung MN, chúng ta có thể sẽ gặp phải các trường hợp sau:

- Trường hợp 1: ∆ và ∆’ vừa chéo vừa vuông góc với nhau

Khi gặp trường hợp này, chúng ta sẽ làm như sau:

• Bước 1: Chọn mặt phẳng [α] chứa ∆’ và vuông góc với ∆ tại I
• Bước 2: Trong mặt phẳng [α] kẻ đường thẳng IJ vuông góc với ∆’

Khi đó IJ chính là đoạn vuông góc chung và d [∆, ∆’] = IJ.

- Trường hợp 2: ∆ và ∆’ chéo nhau mà không vuông góc với nhau

• Bước 1: Bạn chọn một mặt phẳng[α]chứa ∆’ và song song với ∆
• Bước 2: Bạn dựngdlà hình chiếu vuông góc của ∆ xuống[α]bằng cách lấy điểm M thuộc ∆ dựng đoạn MN vuông góc với[α]. Khi đó,dsẽ là đường thẳng đi qua N và song song với ∆
• Bước 3: Bạn gọi H là giao điểm của đường thẳngdvới ∆’, dựng HK // MN

Khi đó, HK chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HK = MN.

Hoặc bạn làm như sau:

• Bước 1: Chọn mặt phẳng[α]vuông góc với ∆ tại I
• Bước 2: Bạn tìm hình chiếudcủa ∆’ xuống mặt phẳng[α]
• Bước 3: Trong mặt phẳng[α], dựng IJ vuông góc vớid, từ J bạn dựng đường thẳng song song với ∆ và cắt ∆’ tại H, từ H dựng HM // IJ

Khi đó, HM chính là đoạn vuông góc chung vàd[∆, ∆’] = HM = IJ.

Phương pháp 2: Chọn mặt phẳng[α]chứa đường thẳng ∆ và song song với ∆’. Khi đó,d[∆, ∆’] = d [∆’,[α]].

Phương pháp 3: Dựng 2 mặt phẳng song song và lần lượt chứa 2 đường thẳng. Khoảng cách giữa 2 mặt phẳng đó chính là khoảng cách giữa 2 đường thẳng cần tìm.

Phương pháp 4: Sử dụng phương pháp vec tơ

* MN là đoạn vuông góc chung của AB và CD khi và chỉ khi:

* Nếu trong mặt phẳng[α]có hai véc tơ không cùng phương thì:

Như vậy, trên đây là tổng hợp những kiến thức về khoảng cách giữa 2 đường thẳng. Cũng như phương pháp tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chi tiết nhất. Hy vọng rằng sau khi đọc xong bài viết này, bạn có thể hiểu rõ hơn cũng như làm tốt các dạng bài tập liên quan đến mảng kiến thức này nhé. Cảm ơn các bạn đã quan tâm theo dõi! Chúc các bạn học tập thật tốt!

VnHocTap.com giới thiệu đến các em học sinh lớp 12 bài viết Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài tập áp dụng, nhằm giúp các em học tốt chương trình Toán 12.

Nội dung bài viết Công thức tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau và bài tập áp dụng: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau. Phương pháp. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng chéo nhau: Có vectơ chỉ phương u và đi qua M. Khi đó khoảng cách giữa d1 và d2 được tính bởi công thức. Ví dụ: Trong không gian Oxyz, tính khoảng cách giữa hai đường thẳng. Đường thẳng d đi qua điểm M[1; 2; 0] và có một vectơ chỉ phương u. Đường thẳng d2 đi qua điểm N[1; 1; 2] và có một vectơ chỉ phương.

Bài tập 1. Cho phương trình mặt phẳng [Pxyz], đường thẳng d và điểm A[0; 2; 1]. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A nằm trong [P] sao cho khoảng cách d và d1 đạt giá trị lớn nhất. Gọi d1 là đường thẳng đi qua A và song song với d2. Trên đường thẳng d1 lấy điểm B[1; 0; 0]. Gọi [Q] là mặt phẳng chứa d và d1. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi trong đó H là hình chiếu của B lên d1. Vậy phương trình của đường thẳng d là. Lưu ý: Vì đường thẳng d đi qua A nên ta có thể loại đáp án bằng cách thay tọa độ điểm A vào các đáp án trong bài.

• Tải app VietJack. Xem lời giải nhanh hơn!

Quảng cáo

Cho hai đường thẳng [d] và [d’] song song với nhau. Khoảng cách hai đường thẳng này bằng khoảng cách từ một điểm bất kì của đường thẳng này đến đường thẳng kia.

d[ d; d’] = d[ A; d’] trong đó A là một điểm thuộc đường thẳng d.

⇒ Để tính khoảng cách hai đường thẳng song song ta cần:

+ Đưa phương trình hai đường thẳng về dạng tổng quát.

+ Lấy một điểm A bất kì thuộc đường thẳng d.

+ Tính khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d’ .

+ Kết luận: d[ d; d’] = d[ A; d’] .

Ví dụ 1: Khoảng cách giữa hai đường thẳng ∆: 6x - 8y - 101 = 0 và d: 3x - 4y = 0 là:

A. 10, 1    B. 1,01    C. 12    D. √101 .

Hướng dẫn giải

+ Ta có:

⇒ Hai đường thẳng đã cho song song với nhau: d // ∆.

+ Lấy điểm O[ 0;0] thuộc đường thẳng d.

+ Do hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau nên

d[∆; d] = d [ O; ∆] =

= 10,1

Chọn A.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng d: 7x + y - 3 = 0 và ∆: .

A.    B. 15    C. 9    D.

Lời giải

+ Ta đưa đường thẳng ∆ về dạng tổng quát:

∆:

⇒ Phương trình ∆: 7[ x + 2] + 1[ y - 2] = 0 hay 7x + y + 12 = 0

Ta có: nên d // ∆

⇒ d[d;Δ] = d[A;d] =

Chọn A.

Ví dụ 3. Tập hợp các điểm cách đường thẳng ∆: 3x - 4y + 2 = 0 một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng có phương trình nào sau đây?

A. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.    B. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y + 12 = 0.

C. 3x - 4y - 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.    D. 3x - 4y + 8 = 0 hoặc 3x - 4y - 12 = 0.

Lời giải

Gọi điểm M [x ; y] là điểm cách đường thẳng ∆ một khoảng bằng 2. Suy ra :

d[M[x; y]; Δ] = 2 ⇔ = 2

|3x - 4y + 2| = 10 ⇒

Vậy tập hợp các điểm cách ∆ một khoảng bằng 2 là hai đường thẳng :

3x - 4y + 12 = 0 và 3x - 4y - 8 = 0

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: 5x + 3y - 3 = 0 và d2: 5x + 3y + 7 = 0 song song nhau. Đường thẳng d vừa song song và cách đều với d1; d2 là:

A. 5x + 3y - 2 = 0    B. 5x + 3y + 4 = 0    C. 5x + 3y + 2 = 0    D. 5x + 3y - 4 = 0

Lời giải

Lấy điểm M [ x; y] thuộc đường thẳng d. Suy ra:

d[M[x; y]; d1]=d[M[x; y]; d2] ⇔

⇔

Đường thẳng d: 5x + 3y + 2 song song với hai đường thẳng d1 và d2.

Vậy đường thẳng d thỏa mãn là: 5x + 3y + 2 = 0

Chọn C.

Quảng cáo

Ví dụ 5: Cho đường thẳng d: và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách hai đường thẳng này.

A. 1    B. 0.    C. 2    D. 3

Lời giải

+ Đường thẳng d:

⇒ Phương trình d: 3[x - 2] – 2[y + 1] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 3[x - 0] – 2[y + 4] = 0 hay 3x - 2y - 8 = 0

⇒ hai đường thẳng này trùng nhau nên khoảng cách hai đường thẳng này là 0.

Chọn B.

Ví dụ 6: Cho hai đường thẳng d: x + y - 2 = 0 và đường thẳng ∆: . Viết phương trình đường thẳng d’// d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √2.

A. x + y - 1 = 0    B. x + y + 1= 0    C. x + y - 3 = 0    D. Cả B và C đúng.

Lời giải

+ Do đường thẳng d’// d nên đường thẳng d có dạng [d’] : x + y + c = 0[ c ≠ -2]

+ Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình ∆: 1[x + 2] + 1[y - 3] = 0 hay x + y - 1 = 0.

+ Lấy điểm M [ 1; 0] thuộc ∆.

Để khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ bằng 2 khi và chỉ khi:

d[ d’; ∆] = d[ M; d’] = 2

⇔ = √2 ⇔ |1 + c| = 2

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : x + y + 1 = 0 và x + y - 3 = 0

Chọn D.

Ví dụ 7: Cho tam giác ABC có B[ 1; -2] và C[ 0; 1]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: 3x+ y= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Lời giải

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 3[x - 1] + 1[y + 2] = 0 hay 3x + y - 1 = 0 .

+ ta có; BC = = √10

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm O[0; 0] thuộc d.

⇒ d[d; BC] = d[O;BC] = = [ 2]

Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] = .

+ Diện tích tam giác ABC là S = d[ A,BC].BC = . .√10 = 0, 5

Chọn C.

Câu 1: Cho hai đường thẳng d: x + y - 4 = 0 và đường thẳng ∆: . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng này?

A. 1    B. 2    C. √2    D. Đáp án khác

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

+Đường thẳng ∆:

⇒ Phương trình đường thẳng ∆: 1[ x - 1] + 1[ y - 1] = 0 hay x + y - 2 = 0.

+ Ta có: nên hai đường thẳng d//∆.

+ Lấy điểm A[ 1; 1] thuộc ∆. Do d // ∆ nên :

d[d; ∆] = d[A; d] = = √2

Câu 2: Cho đường thẳng d: x - 2y + 2 = 0 . Phương trình các đường thẳng song song với d và cách d một đoạn bằng √5 là

A. x - 2y - 3 = 0; x - 2y + 7 = 0    B. x - 2y + 3 = 0 và x - 2y + 7 = 0

C. x - 2y - 3 = 0; x - 2y - 7 = 0    D. x - 2y + 3 = 0; x - 2y - 7 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Gọi ∆ là đường thẳng song song với d: x - 2y + 2 = 0

⇒ Đường thẳng ∆ có dạng: x - 2y + c = 0 [ c ≠ 2 ] .

+ Lấy một điểm A[ -2 ; 0] thuộc d.

⇒ d[ d ; ∆] = d[ A ; ∆] = √5

⇔ = √5 ⇔ |c - 2| = 5 nên

+ Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là x - 2y + 7 = 0 hoặc x - 2y - 3 = 0.

Câu 3: Cho đường thẳng d: 3x + 4y + 1 = 0. Có 2 đường thẳng d1 và d2 cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 7 = 0; 3x - 4y + 3 = 0.    B. 3x - 4y + 7 = 0; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y + 4 = 0; 3x + 4y + 3 = 0.    D. 3x + 4y - 4 = 0; 3x + 4y + 6 = 0 .

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Do đường thẳng song song với d nên ∆ có dạng là : ∆ : 3x + 4y + c = 0 [ c ≠ 1] .

Lấy điểm M[-3 ; 2] thuộc d

Do d[d ; ∆] = d[ M ; ∆] =1 ⇔ = 1

⇔ |c - 1| = 5 ⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x + 4y + 6 = 0 hoặc 3x + 4y - 4 = 0

Câu 4: Khoảng cách giữa 2 đường thẳng [a]: 7x + y - 3 = 0 và [b]: 7x + y + 12 = 0 là

A.    B. 9.    C.    D. 15.

Hiển thị lời giải

Đáp án: C

Trả lời:

Ta có : nên a // b

Lây điểm M [0 ; 3] thuộc[ a] .

Do a // b nên d[M ; b] = d[ a ; b] =

Câu 5: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 2 = 0. Có đường thẳng a và b cùng song song với d và cách d một khoảng bằng 1. Hai đường thẳng đó có phương trình là:

A. 3x + 4y - 1 = 0 ; 3x + 4y + 5 = 0    B. 3x - 4y + 7 = 0 ; 3x - 4y - 3 = 0

C. 3x + 4y - 3 = 0 ; 3x + 4y + 7 = 0    D. 3x - 4y + 6 = 0; 3x - 4y - 4 = 0

Hiển thị lời giải

Đáp án: B

Trả lời:

Giả sử đường thẳng ∆ song song với d : 3x - 4y + 2 = 0

Khi đó ; ∆ có phương trình là ∆ : 3x - 4y + C = 0.

Lấy điểm M[ -2 ; -1] thuộc d.

Do d[d; ∆] = 1 ⇔

= 1 ⇔ |C - 2| = 5 ⇔

Do đó hai đường thẳng thỏa mãn là : 3x - 4y + 7 = 0 và 3x - 4y - 3 = 0.

Câu 6: Cho đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 và đường thẳng ∆: 4x - 6y + 20 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ // d sao cho khoảng cách hai đường thẳng d’ và ∆ là √13

A. 2x - 3y + 23 = 0    B. 2x - 3y - 3 = 0.

C. 2x - 3y – 8 = 0 và 2x - 3y = 0    D. Cả A và B đúng

Hiển thị lời giải

Đáp án: D

Trả lời:

+ Ta có đường thẳng d’// d nên đường thẳng d’ có dạng : 2x - 3y + c = 0 [ c ≠ 6]

+ Xét vị trí của hai đường thẳng d và ∆:

⇒ Hai đường thẳng d và ∆ song song với nhau .

Mà d // d’ nên d’ // ∆.

+ Lấy điểm A[ -5; 0] thuộc ∆.

+ Do d’ // ∆ nên d[ d’; ∆] = d[ A; d’] = √13

⇔ = √13 ⇔

⇔

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là 2x - 3y + 23 = 0 và 2x - 3y - 3 = 0.

Câu 7: Cho tam giác ABC có B[ - 2; 1] và C[ 2; 0]. Điểm A thuộc đường thẳng
d: x+ 4y- 10= 0 .Tính diện tích tam giác ABC.

A. 1    B. 3    C. 0,5    D. 2

Hiển thị lời giải

Đáp án: A

Trả lời:

+ Phương trình đường thẳng BC:

⇒ Phương trình BC: 1[ x + 2] + 4[ y - 1] = 0 hay x + 4y - 2 = 0 .

+ ta có; BC = = √17

+ Xét vị trí tương đối giữa đường thẳng d và BC:

Ta có: ⇒ d // BC.

Mà điểm A thuộc d nên d[ A; BC] = d[ d; BC] . [1]

+ Ta tính khoảng cách hai đường thẳng d và BC.

Lấy điểm H[ 10; 0] thuộc d.

⇒ d[d; BC] = d[H;BC] = = [ 2]

Từ [ 1] và [ 2] suy ra d[ A; BC] =

+ Diện tích tam giác ABC là S = d[ A,BC].BC = . .√17= 1

Chuyên đề Toán 10: đầy đủ lý thuyết và các dạng bài tập có đáp án khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

• Hỏi bài tập trên ứng dụng, thầy cô VietJack trả lời miễn phí!

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

phuong-phap-toa-do-trong-mat-phang.jsp