1. Phương trình tham số của đường cong:
Cho hai hàm số:
Khi t thay đổi, điểm vẽ nên đường cong [C] trong mặt phẳng tọa độ [Oxy].
Nếu từ [1] ta giải được t theo x [ t = t[x]] rồi thế vào [2] thì ta sẽ có phương trình của đường cong [C] : y = f[x].
Các hàm số {[1], [2]} được gọi là phương trình tham số của đường cong [C].
Ví dụ 1: Xét hyperbol [H]:
Vì hiệu bình phương của , bằng 1, nên có thể coi chúng là cht và sht:
, ,
Vậy ta có phương trình tham số của Hyperbol là:
Ví dụ 2: Xicloit là quỹ đạo của một điểm M nằm trên một đường tròn bán kính a khi vòng tròn đó lăn không trượt trên một đường thẳng.
Giả sử vòng tròn lăn về phía hướng dương của trục Ox [và lăn trên trục hoành] , vị trí ban đầu của M trùng với gốc tọa độ O.
Khi đó, ta dễ dàng xác định được phương trình tham số của quỹ đạo điểm M là:
2. Khảo sát đường cong cho bằng tham số:
Việc khảo sát và vẽ đồ thị của đường cong tham số tiến hành tương tự như đã làm đối với đường cong có phương trình . Gồm các bước sau đây:
- Tìm miền xác định, tính chẵn lẻ, tuần hoàn.
- Khảo sát và lập bảng biến thiên:
Tính đạo hàm
Tìm các giá trị của tham số t sao cho tại đó ít nhất một trong các đạo hàm hay triệt tiêu. [nếu tồn tại sao cho , thì điểm là điểm kỳ dị, với ].
Mỗi khoảng tương ứng với khoảng sẽ xác định dấu của y'[x].
- Tính đạo hàm cấp 2:
- Từ [4] ta tìm các giá trị để đạo hàm cấp 2 triệt tiêu, từ đó xác định khoảng lồi, lõm của đường cong.
- Tìm tiệm cận của đường cong:
Nếu , thì x = a là tiệm cận đứng.
Nếu , thì y = b là tiệm cận ngang.
Nếu khi , , và:
,
thì y = ax + b là tiệm cận xiên.
3. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Khảo sát và vẽ đường cong cho bởi phương trình:
Các hàm số x[t], y[t] xác định với mọi t.
Nhưng vì các hàm số là các hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 nên ta chỉ cần khảo sát với t nằm trong đoạn [0;2].
Do đó, khoảng biến thiên của x là đoạn [-a; a] và khoảng biến thiên của y là đoạn [-a; a].
Vậy đường cong được khảo sát không có tiệm cận.
Xét khoảng biến thiên. Ta có:
khi
khi
khi t = 0, tại
Ta có bảng biến thiên sau:
Tính đạo hàm cấp hai ta có:
Do đó:
Nhận thấy:
Khi : thì đường cong lõm
Khi : thì đường cong lồi
Lại có:
Khi : thì nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ nhất
Khi : thì nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ hai.
Khi : thì nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ ba.
Khi : thì nên đường cong nằm trong góc phần tư thứ tư.
Từ những dữ liệu trên ta sẽ có đường cong [C] trong mặt phằng là đường màu đỏ trong hình sau:
Phương trình đường cong [C] có được bằng cách lăn đường tròn nhỏ, bán kính a/4 bên tròn đường tròn lớn, bán kính a theo hướng ngược chiều kim đồng hồ, bắt đầu từ điểm [1;0]