MẶT TRỤ HÌNH TRỤ KHỐI TRỤ
1. Mặt trụ
Mặt trụ là hình tròn xoay sinh bởi đường thẳng l khi xoay quanh đường thẳng Δsong song và cách Δmột khoảng R. Δđược gọi là trục, R gọi là bán kính, l gọi là đường sinh
Định nghĩa khác, mặt trụ là tập hợp tất cả những điểm cách đường thẳng Δcố định một khoảng R không đổi.
2. Hình trụ
Hình trụ là hình giới bạn bởi mặt trụ và hai đường tròn bằng nhau, là giao tuyến của mặt trụ và 2 mặt phẳng vuông góc với trục.
Hình trụ là hình tròn xoay khi sinh bởi bốn cạnh của hình một hình chữ nhật khi quay xung quanh một đường trung bình của hình chữ nhậtđó.
Diện tích xung quanh của hình trụ:
Sxq = 2π.R.l
Diện tích toàn phần hình trụ:
Stp = 2π.R.l+2π.R2
3. Khối trụ
Khối trụ là hình trụ cùng với phần bên trong của hình trụ đó.
Thể tích khối trụ tròn xoay có bán kính R và đường cao h là: V = πR2.h.
Bài tập áp dụng
Bài tập thiết diện hình trụ tròn
Bài 1: Hãy tìm hình tạo bởi giao của một mặt phẳng [P] song song với trục của hình trụ. Từ đó, xác định vị trí của mặt phẳng [P] để thiết diện của nó có diện tích lớn.
Bài 2. Cho đường tròn [O;R] nằm trong mặt phẳng [P]. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên [P] luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Bài 3: Cho hai điểm A, B cố định, AB = a. Tìm tập hợp những điểm M trong không gian sao cho diện tích tam giác MAB bằng S không đổi.
Bài 4: Cho mặt phẳng α, một điểm A nằm trên α, một điểm B nằm ngoài α sao cho hình chiếu vuông góc H của B trên α không trùng với A. Một điểm M chạy trong α sao cho luôn luôn có ABM = BMH. Tìm tập hợp điểm M.
Bài 5. Cho hình trụ có bán kinh R và chiều cao cũng bằng R. Một hình vuông ABCD có hai cạnh AB và CD lần lượt là dây cung của hai đường tròn đáy, các cạnh AD và BC không phải là đường sinh của hình tròn. Tính cạnh của hình vuông đó.
III. BÀI TẬP TƯƠNG TỰ
Bài 1: Cho đường tròn [O; R] nằm trong mặt phẳng [P]. Tìm tập hợp các điểm M trong không gian sao cho hình chiếu của chúng trên [P] luôn nằm trên đường tròn đã cho.
Bài 2: Cho điểm A cố định và nằm ngoài đường thẳng d cố định. Một đường thẳng a thay đổi nhưng luôn vuông góc với d và cắt d. Tìm tập hợp các điểm M là hình chiếu A lên a.
Bài 3: Trên hai đáy của hình trụ có đường cao gấp đôi bán kính đáy, ta lấy hai bán kính chéo nhau, đôngt hời tạo với nhau một góc là 300 . Biết rằng đoạn thẳng nối hai đầu mút của hai bán kính không đi qua tâm đường tròn có độ dài là a. Tính tan của góc hợp trục và đoạn thẳng qua 2 mút đó.
Bài 4. Cho hình trụ có bán kính R và đường RÖ2. Gọi AB và CD là hai đường kính thay đổi của hai đường tròn đáy mà AB vuông góc với CD.
a. Chứng minh rằng ABCD là tứ diện đều.
b. Chứng minh rằng các đường thẳng AC, AD, BC, BD luôn tiếp xúc với một mặt trụ cố định.
Bài 1:Một hình trụ có bán kính đáy R và thiết diện qua trục là một hình vuông.
a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b. Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 2: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.A1B1C1 có cạnh đáy bằng a và đường cao bằng h.Tính diện tích xung quanh của hình trụ nội tiếp trong lăng trụ.
Bài 3: Hình hộp ABCD.ABCD có đáy là hình vuông. Đường chéo bằng d và tạo với mặt bên của hình hộp góc 30.Tính diện tích xung quanh của hình trụ ngoại tiếp hình hộp.
Bài 4: Một mặt phẳng α tạo với mặt đáy của một hình trụ góc 60 độ, α cắt 2 đáy tại hai dây cung AB = CD.Hình chiếu của C và D trên đáy hình trụ là C, D và ABCD tạo thành một hình vuông có cạnh bằng a. Tính thể tích của hình trụ.
Bài 5: Cho hình lập phương có cạnh bằng 2cm. Người ta khoét rỗng khối lập phương bằng một khối trụ nội tiếp khối lập phương. Nếu đem sơn phần khoét rỗng [khối trụ] và hình lập phương thì diện tích phủ sơn là bao nhiêu?
Bài 6: Cho lăng trụ tam giác đều ABC.ABC có tất cả các cạnh bằng nhau, trung tuyến của hai đáy có độ dài m. Tính thể tích khối tròn xoay nội tiếp lăng trụ.
III. BÀI TẬP TỰ GIẢI
Bài 1: Tính thể tích hình nón trong các trường hợp sau:
a. Đường sinh là l và góc hợp bởi đường sinh và đáy là α.
b. Bán kính đáy là R, góc giữa đường sinh và trục của hình nón là β.
c. Thiết diện qua trục là một tam giác vuông cân có diện tích là S.
Bài 2: Cho một hình trụ có hai đáy là hai đường tròn tâm O và O, bán kinh R, chiều cao hình trụ là RÖ2. Trên hai đường tròn O và O có hai điểm di động A, B sao cho [OA,OB] = α không đổi.
a. Tính diện tích xung quanh và diện tích toàn phần của hình trụ.
b. Tính thể tích của khối trụ tương ứng.
Bài 3: Một hình trụ nội tiếp hình nón, có diện tích toàn phần bằng S, có thiết diện qua trục là hình vuông.Hình nón ngoại tiếp hình trụ nói trên có diện tích xung quanh là bao nhiêu, nếu góc giữa đường sinh và trục hình nón bằng 450 ?
Bài 4: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S[O; R]. Hình trụ nào có diện tích xung quanh S lớn nhất.
Bài 5. Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S[O; R]. Hình trụ nào có thể tích lớn nhất.
Bài 6. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi O là tâm của tam giác BCD, dựng mp[P] vuông góc với AO tại một điểm I thuộc đoạn AO, [P] cắt AB, AC, AD lần lượt tại M, N và P. Cho một hình trụ có một đáy là hình tròn [I] nội tiếp tam giác MNP và đáy kia nằm trên [BCD]. Xác định vị trí I trên AO để khối trụ có thể tích lớn nhất.