Bài viết này sẽ chia sẻ với các em một số cách tìm giá trị lớn nhất [GTLN, Max] và giá trị nhỏ nhất [GTNN, Min] của biểu thức [biểu thức đại số chứa dấu căn, chứa dấu giá trị tuyệt đối,...] qua một số bài tập minh họa cụ thể.
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại số:
* Phương pháp: [đối với biểu thức 1 biến số]
- Muốn tìm giá trị lớn nhất hay giá trị nhỏ nhất của một biểu thức ta có thể biến đổi biểu thức thành dạng: A2[x] + const ;[A biểu thức theo x, const = hằng số].
* Ví dụ 1: Cho biểu thức: A = x2 + 2x - 3. Tìm GTNN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A =x2+ 2x - 3 =x2+ 2x + 1 - 1 - 3 = [x + 1]2 - 4
- Vì [x +1]2 0 [x +1]2- 4 -4
A - 4 dấu bằng xảy ra, tức A = - 4 x + 1 = 0 x = -1
- Kết luận: Amin = -4 khi và chỉ khix = -1.
* Ví dụ 2:Cho biểu thức: A = -x2+ 6x - 5. Tìm GTLN của A.
° Lời giải:
- Ta có: A = -x2 + 6x - 5 = -x2 + 6x - 9 + 9 - 5 = -[x - 3]2 + 4 = 4 - [x - 3]2
- Vì [x - 3]2 0 -[x - 3]2 0 4 -[x - 3]2 4
A 4 dấu bằng xảy ra, tức A = 4 x - 3 = 0 x = 3
- Kết luận: Amax= 4 khi và chỉ khix = 3.
* Ví dụ 3:Cho biểu thức:
- Tìm x để Amax; tính Amax =?
° Lời giải:
- Để A đạt gía trị lớn nhất thì biểu thức [x2 + 2x + 5] đạt giá trị nhỏ nhất.
- Ta có:x2+ 2x + 5 = x2 + 2x + 1 + 4 = [x + 1]2 + 4
- Vì[x + 1]2 0 nên [x + 1]2+ 4 4
dấu "=" xảy rakhi và chỉ khi x + 1 = 0 x = -1
Vậy
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu căn:
* Phương pháp:[đối với biểu thức 1 biến số]
- Cũng tương tự như cách tìm ở phương pháp trên, vận dụng tính chất của biểu thức không âm như:
- Dấu "=" xảy ra khi A = 0.
* Ví dụ 1: TìmGTNN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta thấy:
Vì [x - 1]2 0 2[x - 1]2 0 2[x - 1]2 + 3 3
nên
* Ví dụ 2:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
Vì[x - 1]2 0 -3[x - 1]2 0 -3[x - 1]2+ 5 5
nên
* Ví dụ 3:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có:
* Ví dụ 4:TìmGTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Điều kiện: x0
- Để A đạt giá trị lớn nhất thì
- Ta có:
Lại có:
Dấu"=" xảy ra khi
- Kết luận: GTLN của A = 4/7 khi x = 1/4.
°Cách tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối:
* Phương pháp:[đối với biểu thức 1 biến số]
- Bài toán này cũng chủ yếu dựa vào tính không âm của trị tuyệt đối.
* Ví dụ 1: Tìm GTLN của biểu thức:
° Lời giải:
- Ta có: |2x - 2| 0-|2x - 2| 0 5-|2x - 2| 5
Dấu "=" xảy ra khi |2x - 2| = 0 2x - 2 = 0 x = 1
Vậy Amax= 5 x = 1
* Ví dụ 2:Tìm GTNN của biểu thức: A = |9 - x| - 3
° Lời giải:
- Ta có:|9 - x| 0 |9 - x| 0 |9 - x| - 3 -3
Dấu "=" xảy ra khi |9 - x| = 0 9 - x = 0 x = 9
Vậy Amin= -3 x = 9
Như vậy, các bài toán trên dựa trên các biến đổi về dạng tổng hoặc hiệu của biểu thức không âm [bình phương, trị tuyệt đối,...] và hằng số để tìm ra lời giải. Thực tế, còn nhiều bài toán phải sử dụng bất đẳng thức Cauchy [Cosi] cho hai số a, b không âm:
* Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a,b>0 nên
- Áp dụng bất đẳng thức Cauchy [còn gọi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình cộng và trung bình nhân AM-GM [Arithmetic Means - Geometric Means]].
Dấu "=" xảy ra khi
- Kết luận: Giá trị nhỏ nhất của M = 2 a = b.
* Ví dụ 2:Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
° Lời giải:
- Vì a > 1 nên a - 1 > 0 ta có:
Dấu "=" xảy ra khi
Đối chiếu điều kiện a > 1 nên chỉ nhận a = 2; loại a = 0.
- Kết luận: GTNN của M = 3 a = 2.