Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Các dạng tứ giác lồi hay gặp và cách tính chu vi, diện tích tứ giác

Lý thuyết về hình tứ giác và công thức tính diện tích tứ giác là một trong các kiến thức cơ bản nhất mà chúng ta thường hay sử dụng trong các bài tập tính toán hình học, tuy nhiên có một số người không nhớ được công thức và chưa biết cách giải nhanh các bài tập dạng này. Nhằm giúp các bạn hiểu rõ hơn về phần kiến thức này, chúng tôi đã tổng hợp các công thức tính diện tích các hình tứ giác, mời bạn cùng đón đọc.

I. Định nghĩa

Hình tứ giác là một đa giác hình gồm 4 cạnh và 4 đỉnh, trong đó không có bất kì 2 đoạn thẳng nào cùng nằm trên một đường thẳng. Tứ giác đơn có thể lồi hay lõm.

Tính chất: Tổng các góc trong của tứ giác đơn ABCD bằng 360 độ, tức là: \(\widehat{ A}+\widehat{ B}+\widehat{ C}+\widehat{ D}=360^{\circ }\)

II. Phân loại tứ giác

1. Tứ giác lồi

Tứ giác lồi là gì? Là tứ giác trong đó tất cả các góc trong đều nhỏ hơn 180° và hai đường chéo đều nằm trong tứ giác.

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Một số loại hình tứ giác lồi đặc biệt như: hình thang, hình thang cân, hình bình hành, hình thoi, hình vuông, hình chữ nhật.

Xem ngay tại đây: Cách nhận biết tứ giác lồi

2. Tứ giác lõm

Trong một tứ giác lõm (tứ giác không lồi), một góc trong có số đo lớn hơn 180° và một trong hai đường chéo nằm bên ngoài tứ giác.

3. Tứ giác nội tiếp đường tròn

Trong Hình học phẳng, một tứ giác nội tiếp là một tứ giác mà cả bốn đỉnh đều nằm trên một đường tròn. Đường tròn này được gọi là đường tròn ngoại tiếp, và các đỉnh của tứ giác được gọi là đồng viên. Tâm và bán kính đường tròn lần lượt được gọi là tâm đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn ngoại tiếp. Thông thường tứ giác nội tiếp là tứ giác lồi, nhưng cũng tồn tại các tứ giác nội tiếp lõm. Các công thức trong bài viết sẽ chỉ áp dụng cho tứ giác lồi.

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Công thức tính diện tích tứ giác nội tiếp:

  • \({\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,}\), trong đó p là nửa chu vi tứ giác hay \(p = \dfrac{1}{2}(a + b + c + d)\).

  • \({\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}\), với B là góc tạo bởi hai đường chéo của tứ giác.

  • \({\displaystyle \displaystyle S=2R^{2}\sin {A}\sin {B}\sin {\theta }}\), trong đó R là bán kính đường tròn nội tiếp.

4. Tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Trong hình học phẳng, tứ giác ngoại tiếp là tứ giác có các cạnh tiếp xúc với một đường tròn. Đường tròn đó gọi làđường tròn nội tiếp của tứ giác này.

III. Công thức tính chu vi diện tích tứ giác

1. Công thức tính chu vi tứ giác

Cho hình tứ giác ABCD có 4 cạnh lần lượt là AB, Bc, CD, AD. Khi đó, chu vi hình tứ giác ABCD bằng tổng của 4 cạnh.

\(C_{ABCD}=AB+BC+CD+AD\)

2. Công thức tính diện tích tứ giác

  • Tính diện tích hình bình hành: \(S = a \times h\), với: a là cạnh đáy và h là chiều cao.
  • Tính diện tích hình vuông: \(S = a\times a\) hoặc \(S = a^2\), với: a là cạnh hình vuông.
  • Tính diện tích hình chữ nhật: \(S = a\times b,\) với: a là chiều dài và b là chiều rộng.
  • Tính diện tích hình thoi: \(S = \dfrac{1}{2} \times d_1 \times d_2\), với: d1, d2 lần lượt là hai đường chéo của hình thoi.
  • Tính diện tích hình thang: \(S = \dfrac{1}{2} \times h \times (a + b)\), với: a, b lần lượt là cạnh đáy của hình thang và h là đường cao nối từ đỉnh tới đáy của hình thang.

Xem ngay: Công thức tính diện tích tứ giác lồi

Các dạng bài tập về diện tích tứ giác

Dạng 1: Tính diện tích của hình tứ giác thuộc một trong các loại tứ giác đặc biệt kể trên (hình bình hành, hình thang, hình thoi,...)

Ta áp dụng các công thức nêu trên để tính.

Dạng 2: Tính diện tích tứ giác thường. Giả sử đề bài cho biết độ dài bốn cạnh của tứ giác lần lượt là a, b, c, d trong đó cạnh a đối diện với cạnh c, cạnh b đối diện với cạnh d.

Áp dụng công thức sau: \({\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}\,}\), trong đó p là nửa chu vi tứ giác hay \(p = \dfrac{1}{2}(a + b + c + d)\).

Dạng 3: Tính diện tích tứ giác không đặc biệt biết độ dài 4 cạnh và 2 đường chép m, n.

Ta áp dụng công thức sau: \({\displaystyle S={\dfrac {1}{2}}(ab+cd)\sin {B}}\), với B là góc tạo bởi hai đường chéo của tứ giác.

Luyện thêm bài tập tại: Bài tập về tứ giác

Mới nhất:

  • Hình thang
  • Hình bình hành
  • Hình chữ nhật

Bài viết này sẽ giúp các em học sinh ghi nhớ, khắc sâu kiến thức một cách dễ dàng, áp dụng nhanh chóng để tìm ra phương hướng chứng minh giải quyết các dạng bài tập liên quan đến các loại hình tứ giác. Chúc các em học tốt ^^!

Như các bạn đã biết, tứ giác là một đa giác gồm bốn cạnh và 4 đỉnh. Trong đó, hai đoạn thẳng bất kỳ không được cùng nằm trên một đường thẳng.

Tứ giác có thể là tứ giác đơn (không có cặp cạnh đối nào cắt nhau), hoặc tứ giác kép (có hai cặp cạnh đối cắt nhau). Tứ giác đơn có thể lồi hoặc lõm. Và tổng các góc của một tứ giác luôn là 360 độ.

  • Tứ giác lồi là tứ giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa bất kỳ cạnh nào của tứ giác. Đặc điểm của tứ giác lồi là tất cả các góc trong nó đều nhỏ hơn 180° và hai đường chéo đều nằm bên trong tứ giác
  • Còn tứ giác lõm luôn tồn tại ít nhất một cạnh mà đường thẳng chứa cạnh đó chia cắt tứ giác thành hai phần.

Hôm nay chúng ta sẽ cùng nhau tìm hiểu về cách tính chu vi của tứ giác, cũng như cách tính diện tích của một tứ giác bất kỳ, các tứ giác đặc biệt, tứ giác ngoại tiếp đường tròn và tứ giác nội tiếp đường tròn..

I. Công thức tính chu vi và diện tích tứ giác bất kỳ

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của một tứ giác bất kỳ bằng tổng độ dài bốn cạnh.

Công thức: $C_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$

Diện tích của một tứ giác bất kỳ bằng ½ tích của độ dài đường chéo thứ nhất, độ dài đường chéo thứ 2 và sin của góc tạo bởi hai đường chéo đó.

Công thức: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD.\sin\alpha$ với $\alpha$ là góc tạo bởi hai đường chéo.

II. Công thức tính chu vi và diện tích của tứ giác đặc biệt

Trong phạm vi của bài viết này mình sẽ trình bày với các bạn công thức tính chu vi và diện tích của năm tứ giác đặc biệt thường gặp, đó là: hình thang, hình bình hành, hình chữ nhật, hình thoi và hình vuông.

Các trường hợp còn lại bạn nếu có nhu cầu bạn có thể tự nghiên cứu thêm trên Internet và SGK nhé.

#1. Công thức tính diện tích tứ giác 

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Diện tích của hình thang bằng ½ tích của tổng hai cạnh đáy và chiều cao

Công thức: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.(AD+BC).AH$

#2. Công thức tính chu vi tứ giác

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của hình thang bằng tổng độ dài của bốn cạnh

Công thức: $C_{ABCD}=AB+BC+CD+DA$

#3. Công thức tính diện tích hình bình hành

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Diện tích của hình bình hành sẽ bằng tích của độ dài một cạnh và độ dài chiều cao tương ứng.

Công thức: $S_{ABCD}=BC.AH$

#4. Công thức tính chu vi hình bình hành

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của hình bình hành bằng hai lần tổng độ dài hai cạnh liên tiếp.

Công thức: $C_{ABCD}=2.(AB+AD)$

#5. Công thức tính diện tích hình chữ nhật

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Diện tích của hình chữ nhật sẽ bằng tích của độ dài hai cạnh liên tiếp.

Công thức: $S_{ABCD}=AB.AD$

#6. Công thức tính chu vi hình chữ nhật

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của hình chữ nhật bằng hai lần tổng độ dài hai cạnh liên tiếp.

Công thức: $C_{ABCD}=2.(AB+AD)$

#7. Công thức tính diện tích hình thoi

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Diện tích của hình thoi bằng ½ tích của độ dài đường chéo thứ nhất với độ dài đường chéo thứ 2.

Công thức: $S_{ABCD}=\frac{1}{2}.AC.BD$

#7. Công thức tính chu vi hình thoi

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của hình thoi bằng bốn lần độ dài của một cạnh.

Công thức: $C_{ABCD}=4.AB$

#8. Công thức tính diện tích hình vuông

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Diện tích của hình vuông sẽ bằng bình phương độ dài một cạnh.

Công thức: $S_{ABCD}=AB^2$

#9. Công thức tính chu vi hình vuông

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của hình vuông bằng bốn lần độ dài của một cạnh.

Công thức: $C_{ABCD}=4.AB$

III.  Công thức tính Chu vi và Diện tích tứ giác nội tiếp đường tròn

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bằng tổng độ dài bốn cạnh.

Diện tích của tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O bằng

$\sqrt{(p-AB)(p-BC)(p-CA)(p-DA)}$ với p là nửa chu vi của tứ giác ABCD và p được tính theo công thức $\frac{AB+BC+CD+DA}{2}$

Chú ý: Tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác nếu có trong nhiều trường hợp không phải là giao điểm của hai đường chéo.

IV. Công thức tính Chu vi và Diện tích tứ giác ngoại tiếp đường tròn

Tính diện tích tứ giác ABCD theo R

Chu vi của tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bằng tổng độ dài bốn cạnh

Diện tích của tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn tâm O bằng $p.r$ với p là nửa chu vi của tứ giác ABCD, r là độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

Chú ý: Tâm đường tròn nội tiếp tứ giác nếu có sẽ trùng với giao điểm của bốn đường phân giác trong

V. Lời kết

Như vậy là mình đã trình bày với các bạn đầy đủ về tất cả các công thức tính chu vi tứ giáccông thức diện tích của tứ giác rồi nhé.

Từ tứ giác thông thường đến tứ giác rất đặc biệt, từ tứ giác nội tiếp đến tứ giác ngoại tiếp.

Nói chung là dựa vào những công thức trong bài viết này thì bạn có thể tính được chu vi và diện tích của một tứ giác bất kỳ.

Công thức đầu tiên trong bài viết cũng là công thức chung có thể áp dụng cho mọi tứ giác, các công thức tiếp theo đều được biến đổi dựa theo các yếu tố đặc biệt về cạnh, về góc của tứ giác sao cho dễ áp dụng nhất.

Hi vọng bài viết này sẽ hữu ích với bạn. Xin chào tạm biệt và hẹn gặp lại các bạn trong những bài viết tiếp theo !

Đọc thêm:

CTV: Nhựt Nguyễn – Blogchiasekienthuc.com

Note: Bài viết này hữu ích với bạn chứ? Đừng quên đánh giá bài viết, like và chia sẻ cho bạn bè và người thân của bạn nhé !