Cập nhật lúc: 10:18 29-07-2015 Mục tin: LỚP 12
>> Luyện thi TN THPT & ĐH năm 2022 trên trang trực tuyến Tuyensinh247.com. Học mọi lúc, mọi nơi với Thầy Cô giáo giỏi, đầy đủ các khoá: Nền tảng lớp 12; Luyện thi chuyên sâu; Luyện đề đủ dạng; Tổng ôn chọn lọc.
Khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng trong tọa độ Oxyz
Tóm tắt lý thuyết. Công thức tính khoảng cách từ 1 điểm đến mặt phẳng trong hình Oxyz. Phương pháp kiểm tra 2 điểm nằm về 1 phía hoặc 2 phía so với 1 mặt phẳng. Câu hỏi trắc nghiệm có hướng dẫn giải chi tiết.
Cho M[x0;y0;z0] và mp[P]: Ax + By + Cz + D = 0
Khoảng cách từ M đến mặt phẳng [P] là độ dài đoạn HM và được tính bằng công thức
Cách kiểm tra 2 điểm phân biệt nằm về 1 phía hoặc 2 phía so với mặt phẳng
Nếu P[A].P[B] < 0 : A, B nằm về hai phía so với mặt phẳng [P]
Nếu P[A].P[B] >0 : A, B nằm về một phía so với mặt phẳng [P]
1. Định nghĩa
- Khoảng cách từ điểm \[M\] đến mặt phẳng \[\left[ P \right]\] là khoảng cách giữa hai điểm \[M\] và \[H\], trong đó \[H\] là hình chiếu của điểm \[M\] trên mặt phẳng \[\left[ P \right]\].
Kí hiệu: \[d\left[ {M,\left[ P \right]} \right] = MH\].
2. Tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
Phương pháp:
Để tính được khoảng từ điểm $M$đến mặt phẳng $\left[ \alpha \right]$ thì điều quan trọng nhất là ta phải xác định được hình chiếu của điểm $M$ trên $\left[ \alpha \right]$.
TH1:
- Dựng \[AK \bot \Delta \Rightarrow \Delta \bot \left[ {SAK} \right] \Rightarrow \left[ \alpha \right] \bot \left[ {SAK} \right]\] và \[\left[ \alpha \right] \cap \left[ {SAK} \right] = SK\].
- Dựng \[AH \bot SK \Rightarrow AH \bot \left[ \alpha \right] \Rightarrow d\left[ {A,\left[ \alpha \right]} \right] = AH\]
TH2:
- Tìm điểm \[H \in \left[ \alpha \right]\] sao cho \[AH//\left[ \alpha \right] \Rightarrow d\left[ {A,\left[ \alpha \right]} \right] = d\left[ {H,\left[ \alpha \right]} \right]\]
TH3:
- Tìm điểm \[H\] sao cho \[AH \cap \left[ \alpha \right] = I\]
- Khi đó: \[\dfrac{{d\left[ {A,\left[ \alpha \right]} \right]}}{{d\left[ {H,\left[ \alpha \right]} \right]}} = \dfrac{{IA}}{{IH}} \Rightarrow {\rm{ }}d\left[ {A,\left[ \alpha \right]} \right] = \dfrac{{IA}}{{IH}}.d\left[ {H,\left[ \alpha \right]} \right]{\rm{ }}\]
Một kết quả có nhiều ứng dụng để tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng đối với tứ diện vuông [tương tư như hệ thức lượng trong tam giác vuông] là:
Cách tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng trong không gian
Chia sẻ cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình học không gian trong hệ tọa độ Oxyz, kiến thức Toán 11.
Phương pháp tính khoảng cách từ: Điểm ${M_0}\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]$ tới mặt phẳng $[\alpha ]:ax + by + cz + d = 0.$
Công thức: $d\left[ {{M_0};[\alpha ]} \right] = \frac{{\left| {a{x_0} + b{y_0} + c{z_0} + d} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}.$
Hệ quả:
* ${M_0} \in [\alpha ]$ $ \Leftrightarrow d\left[ {{M_0};[\alpha ]} \right] = 0.$
* $ d\left[ {{{M}_{0}};[\alpha ]} \right]$ với $\left\{\begin{array}{l}M_{0} H \perp[\alpha] \\ H \in[\alpha]\end{array}\right.$
* Với mọi $M \in [\alpha ]:$ $d\left[ {{M_0};[\alpha ]} \right] \le {M_0}M.$
Bài tập tính khoảng cách từ một điểm đến mặt phẳng
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A[1;2;3]$ đến mặt phẳng $[Oxy].$
A. $d=1.$
B. $d=2.$
C. $d=3.$
D. $d = \sqrt 5 .$
Lời giải:
Mặt phẳng $[Oxy]$ có phương trình: $z = 0.$
$ \Rightarrow d[A;[Oxy]] = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 }} = 3.$
Chọn đáp án C.
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $A’$ là điểm đối xứng của điểm $A[1;2;3]$ qua mặt phẳng $[Oxy].$ Tính độ dài đoạn thẳng $AA’.$
A. $4.$
B. $2.$
C. $3.$
D. $6.$
Lời giải:
Mặt phẳng $[Oxy]$ có phương trình: $z = 0$ $ \Rightarrow d[A;[Oxy]] = \frac{{|3|}}{{\sqrt 1 }} = 3.$
Suy ra: $AA’ = 2d[A;[Oxy]] = 6.$
Chọn đáp án D.
Kết quả lưu ý: Với $\left[ {{x_0};{y_0};{z_0}} \right]$ ta có:
$d[M;[Oxy]] = \left| {{z_0}} \right|.$
$d[M;[Oyz]] = \left| {{x_0}} \right|.$
$d[M;[Oxz]] = \left| {{y_0}} \right|.$
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A[1;2;-3]$ trên mặt phẳng $[Oxy].$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$
A. $S = \frac{{\sqrt {13} }}{2}.$
B. $S = \sqrt {10} .$
C. $S = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$
D. $S = \frac{{5\sqrt {15} }}{2}.$
Lời giải:
Ta có: $OA = \sqrt {14} $, $AH = d[A;[Oxy]] = 3.$
Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = \sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = \sqrt 5 .$
Vậy $S = \frac{1}{2}AH.OH = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$
Chọn đáp án C.
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A[1;2;-3]$ trên mặt phẳng $[Oxz].$ Tính diện tích $S$ tam giác $OHA.$
A. $S = \frac{{\sqrt {13} }}{2}.$
B. $S = \sqrt {10} .$
C. $S = \frac{{3\sqrt 5 }}{2}.$
D. $S = \frac{{5\sqrt {15} }}{2}.$
Lời giải:
Ta có: $OA = \sqrt {14} $, $AH = d[A;[Oyz]] = 2.$
Tam giác $OHA$ vuông tại $H$ suy ra: $OH = \sqrt {O{A^2} – A{H^2}} = \sqrt {10} .$
Vậy $S = \frac{1}{2}AH.OH = \sqrt {10} .$
Chọn đáp án B.
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính khoảng cách $d$ từ $A[1;3;-2]$ đến mặt phẳng $[P]:x + 2y – 2z + 1 = 0.$
A. $d=4.$
B. $d=2.$
C. $d=3.$
D. $d = \sqrt 5 .$
Lời giải:
Ta có: $d[A;[P]] = \frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 4.$
Chọn đáp án A.
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, tính bán kính $R$ của mặt cầu tâm $A[1;3;2]$ và tiếp xúc với mặt phẳng $[P]:x + 2y + 2z + 1 = 0.$
A. $d=4.$
B. $d=2.$
C. $d=3.$
D. $d = \sqrt 5 .$
Lời giải:
Do mặt cầu tâm $A$ tiếp xúc với mặt phẳng $[P]:$
$ \Leftrightarrow R = d[A;[P]]$ $ = \frac{{|1 + 6 + 4 + 1|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{[ – 2]}^2}} }} = 4.$
Chọn đáp án A.
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $A[1;1;-2]$ và mặt phẳng $[P]:2x+2y+z+1=0.$ Gọi $M$ là điểm bất kì thuộc $[P]$, tính độ dài nhỏ nhất của đoạn thẳng $AM.$
A. $2.$
B. $1.$
C. $\sqrt 2 .$
D. $\sqrt 3 .$
Lời giải:
Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $A$ trên $[P].$
Ta có: $AM \ge AH$ $ \Rightarrow A{M_{\min }} = AH = d[A;[P]] = 1.$
Chọn đáp án B.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho điểm $K[1;1;0]$ và mặt phẳng $[\alpha ]:x + y + z – 1 = 0.$ Gọi $[C]$ là đường tròn giao tuyến của mặt cầu tâm $K$, bán kính $R=2$ với mặt phẳng $[\alpha ]$, tính diện tích $S$ của $[C].$
A. $S = \frac{{22\pi }}{3}.$
B. $S = \frac{{44\pi }}{3}.$
C. $S = \frac{{\sqrt {33} \pi }}{3}.$
D. $S = \frac{{11\pi }}{3}.$
Lời giải:
Ta có: $d[K;[\alpha ]] = \frac{{\sqrt 3 }}{3}.$ Gọi $r$ là bán kính đường tròn $[C]$, ta có: $r = \sqrt {{R^2} – {{[d[K;[\alpha ]]]}^2}} = \frac{{\sqrt {33} }}{3}.$
Vậy $S = \pi {r^2} = \frac{{11\pi }}{3}.$
Chọn đáp án D.
Tin tức - Tags: công thức, hình học không gian, khoảng cách, mặt phẳngCác bước khảo sát và vẽ đồ thị hàm số
Chứng minh các BĐT về tổng, tích của dãy số bằng phương pháp làm trội, làm giảm, phương pháp quy nạp
Ví dụ tính tích phân hàm số lượng giác có lời giải
Cách tính Tích phân hàm số hữu tỷ
Hà Nội quyết định bỏ môn thi thứ 4 tuyển sinh lớp 10 năm học 2020 – 2021
60 từ vựng tiếng Anh lớp 3 có phiên âm đầy đủ
Những câu thơ về cha mẹ hay và ý nghĩa