Tổng các góc trong 1 hình bình hành bằng bao nhiêu

Dấu hiệu của pa-ral-le-lo-gram-ma

1. Định nghĩa và các tính chất cơ bản của hình bình hành

Hãy bắt đầu với thực tế là chúng ta nhớ định nghĩa của pa-ral-le-lo-gram-ma.

Sự định nghĩa. Hình bình hành- Four-you-rekh-than-nick, someone-ro-go có hai mặt pro-ti-in-on-false của para-ral-lel-ny (xem Hình một).

Cơm. 1. Pa-ral-le-lo-gam

Nhớ lại các thuộc tính mới cơ bản của pa-ral-le-lo-gram-ma:

Để có thể sử dụng tất cả các thuộc tính này, bạn cần chắc chắn rằng fi-gu-ra, oh ai đó -Roy trong câu hỏi, - pa-ral-le-lo-gram. Đối với điều này, cần phải biết các dữ kiện như dấu hiệu của pa-ral-le-lo-gram-ma. Hai trong số chúng đầu tiên mà chúng ta đang xem ngày hôm nay.

2. Dấu hiệu đầu tiên của hình bình hành

Định lý. Dấu hiệu đầu tiên của pa-ral-le-lo-gram-ma. Nếu trong Four-you-rekh-than-ni-ke, hai vế pro-ti-in-false bằng nhau và par-ral-lel-na, thì biệt hiệu bốn-you-rekh-than- này - hình bình hành.

.

Cơm. 2. Dấu hiệu đầu tiên của pa-ral-le-lo-gram-ma

Bằng chứng. We-we-we-dem trong bốn-rekh-than-ni-ke dia-go-nal (xem Hình 2), cô ấy chia nó thành hai hình tam giác-no-ka. Viết ra những gì chúng ta biết về các hình tam giác này:

theo dấu hiệu đầu tiên của đẳng thức của tam giác.

Từ đẳng thức của các tam giác được chỉ ra, theo dấu hiệu của các đường thẳng khi tái-se-che-ni se-ku-schey của chúng. Chúng tôi có rằng:

Trước-cho-nhưng.

3. Dấu hiệu thứ hai của hình bình hành

Định lý. Bầy thứ hai là dấu hiệu của pa-ral-le-lo-gram-ma. Nếu trong Four-you-rekh-than-ni-ke, cứ hai vế pro-ti-in-false bằng nhau, thì nick-ten-you-rekh-than-ni-ke này - hình bình hành.

.

Cơm. 3. Dấu hiệu bầy đàn thứ hai pa-ral-le-lo-gram-ma

Bằng chứng. We-we-we-dem trong bốn bạn-rekh-than-ni-ke dia-go-nal (xem Hình 3), cô ấy chia nó thành hai hình tam giác-no-ka. Chúng tôi viết những gì chúng tôi biết về những hình tam giác này, tiếp tục từ for-mu-li-ditch-ki theo-re-we:

theo dấu hiệu thứ ba về đẳng thức của tam giác.

Từ đẳng thức của các tam giác, ta thấy rằng, theo dấu của par-ral-lel-no-sti của các đường thẳng khi đặt lại chúng se-ku-schey. By-lu-cha-eat:

pa-ral-le-lo-gram theo định nghĩa-de-le-ny. Q.E.D.

Trước-cho-nhưng.

4. Một ví dụ về việc sử dụng đặc điểm đầu tiên của hình bình hành

Ras-hãy xem một ví dụ về ứng dụng của các dấu hiệu của pa-ral-le-lo-gram-ma.

Ví dụ 1. Trong bạn-xa-phế-che-bạn-rex-than-no-ke Tìm: a) các góc của bốn-bạn-rex-than-no-ka; b) giếng trăm ro-ro.

Quyết định. Hình ảnh-ra-mùa đông Hình. 4.

pa-ral-le-lo-gram theo dấu hiệu đầu tiên-ku pa-ral-le-lo-gram-ma.

NHƯNG.

theo tính chất của para-le-lo-gram-ma về các góc pro-ti-in-false, theo tính chất của para-le-lo-gram-ma về tổng các góc, nằm ở một bên.

B.

bởi tính chất bình đẳng của các bên ủng hộ-trên-sai.

lại dấu pa-ral-le-lo-gram-ma

5. Phép lặp: định nghĩa và các tính chất của hình bình hành

Nhắc nhở rằng hình bình hành- đây là biệt danh bốn bạn-rekh-than, một người nào đó có mặt ủng hộ-ti-trong-sai trong một cặp-but-pa-ral-lel-na. Đó là, nếu - pa-ral-le-lo-gram, thì

(Xem Hình 1).

Pa-ral-le-lo-gram có toàn bộ các thuộc tính: góc pro-ti-in-on-false bằng (), pro-ti-in-on-false trăm-ro-chúng ta bằng nhau (

). Ngoài ra, dia-go-on-cung par-ral-le-lo-gram-ma at re-se-che-niya de-lyat-by-lam, tổng các góc, at-le- pa-ral-le-lo-gram-ma, bằng bất kỳ cạnh nào, bằng nhau, v.v.

Nhưng để sử dụng tất cả các thuộc tính này, cần phải là ab-so-lute-but-sure-we rằng chủng tộc ri-va-e-my che-you-rekh-than-nick - pa-ral-le- lo-gam. Đối với điều này, có những dấu hiệu của par-ral-le-lo-gram-ma: đó là những dữ kiện mà từ đó người ta có thể rút ra một kết luận có giá trị, rằng che-you-rekh-than-nick yav-la-et -sya pa-ral-le-lo-gram-mẹ. Trong bài học trước, chúng ta đã xem xét hai dấu hiệu. Giờ này, chúng ta đang xem xét thứ ba.

6. Đặc điểm thứ ba của hình bình hành và cách chứng minh

Nếu trong bốn bạn-rekh-than-ni-ke dia-go-na-li ở điểm re-se-che-niya de-lyat-do-lam, thì bốn-bạn-reh-than-nick này yav-la-et-sya pa-ral-le-lo-gram-mom.

Được cho:

Che-you-reh-than-nick; ; .

Chứng tỏ:

Hình bình hành.

Bằng chứng:

Để chứng minh điều này, cần phải chứng minh para-ral-lel-ness của các vế của pa-ral-le-lo-gam-ma. Và điểm par-ral-lel-ness của các đường thẳng thường lên đến-ka-zy-va-et-sya thông qua sự bằng nhau của các góc nằm trong của chúng đến-chéo tại các đường thẳng này . Theo cách này, na-pra-shi-va-et-sya cách tiếp theo-du-u-sche thành-ka-for-tel-stva của dấu-hiệu thứ ba-của-pa-ral -le-lo-gram- ma: thông qua đẳng thức của tam giác-ni-kov

.

Chúng ta hãy chờ đợi sự bằng nhau của các tam giác này. Thật vậy, từ điều kiện sau:. Ngoài ra, vì các góc là phương thẳng đứng nên chúng bằng nhau. I E:

(dấu hiệu đầu tiên của sự bình đẳnghình tam giác-ni-kov- hai trăm ro-us và góc giữa chúng).

Từ đẳng thức của tam giác: (vì các góc trong của hình thập tự bằng nhau tại các đường thẳng này và se-ku-schey). Ngoài ra, từ đẳng thức của tam giác, nó theo đó. Có nghĩa là chúng ta, giống như, chi-li, rằng trong bốn bạn-rekh-than-ni-ke, hai cạnh bằng nhau và par-ral-lel-na. Theo dấu hiệu đầu tiên, pa-ral-le-lo-gam-ma: - pa-ral-le-lo-gam.

Trước-cho-nhưng.

7. Ví dụ về bài toán về đặc điểm thứ ba của hình bình hành và tổng quát hóa

Ras-hãy xem một ví dụ về ứng dụng của dấu thứ ba của para-ral-le-lo-gram-ma.

ví dụ 1

Được cho:

- hình bình hành; . - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na, - se-re-di-na (xem Hình 2).

Chứng tỏ:- pa-ral-le-lo-gam.

Bằng chứng:

Vì vậy, trong bốn-bạn-rekh-than-no-ke dia-go-na-li ở điểm tái-se-che-niya de-lyat-sya-do-lam. Theo dấu hiệu thứ ba, pa-ral-le-lo-gram-ma, nó theo sau rằng - pa-ral-le-lo-gram.

Trước-cho-nhưng.

Nếu chúng ta phân tích dấu hiệu thứ ba của pa-ral-le-lo-gram-ma, thì chúng ta có thể nhận thấy rằng dấu hiệu này là co-ot-reply- có thuộc tính par-ral-le-lo-gram-ma. Có nghĩa là, thực tế là dia-go-na-cho dù chúng de-lyat-by-lam, is-la-et-sya không chỉ là thuộc tính của pa-ral-le-lo-gram-ma, và của nó từ -li-chi-tel-nym, ha-rak-te-ri-sti-che-sky property, theo some-ro-mu, nó có thể được giải phóng từ vô số che-you-reh-than-no- kov.

NGUỒN

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/priznaki-parallelogramma

http://interneturok.ru/ru/school/geometry/8-klass/chyotyrehugolniki/tretiy-priznak-parallelogramma

http://www.uchportfolio.ru/users_content/675f9820626f5bc0afb47b57890b466e/images/46TThxQ8j4Y.jpg

http://cs10002.vk.me/u31195134/116260458/x_56d40dd3.jpg

http://www.tepka.ru/geometriya/16.1.gif

Cấp trung

1. Hình bình hành

Từ ghép "hình bình hành"? Và đằng sau nó là một con số rất đơn giản.

Đó là, chúng tôi đã lấy hai đường thẳng song song:

Bị cắt ngang bởi hai nữa:

Và bên trong - một hình bình hành!

Các tính chất của hình bình hành là gì?

Tính chất hình bình hành.

Đó là, những gì có thể được sử dụng nếu một hình bình hành được cho trong bài toán?

Câu hỏi này được trả lời bởi định lý sau:

Hãy vẽ mọi thứ một cách chi tiết.

Làm gì điểm đầu tiên của định lý? Và thực tế là nếu bạn CÓ một hình bình hành, thì bằng mọi cách

Đoạn thứ hai có nghĩa là nếu có một hình bình hành, thì một lần nữa, bằng mọi cách:

Và cuối cùng, điểm thứ ba có nghĩa là nếu bạn CÓ một hình bình hành, thì hãy chắc chắn rằng:

Xem những gì nhiều sự lựa chọn? Sử dụng gì trong nhiệm vụ? Cố gắng tập trung vào câu hỏi của nhiệm vụ hoặc chỉ thử mọi thứ lần lượt - một số loại “chìa khóa” sẽ làm được.

Và bây giờ chúng ta hãy tự hỏi mình một câu hỏi khác: làm thế nào để nhận ra một hình bình hành "trong mặt"? Điều gì phải xảy ra với một tứ giác để chúng ta có quyền đặt nó là "tiêu đề" của một hình bình hành?

Câu hỏi này được trả lời bằng một số dấu hiệu của một hình bình hành.

Đặc điểm của hình bình hành.

Chú ý! Bắt đầu.

Hình bình hành.

Chú ý: nếu bạn tìm thấy ít nhất một dấu hiệu trong bài toán của mình, thì bạn có chính xác một hình bình hành và bạn có thể sử dụng tất cả các tính chất của hình bình hành.

2. Hình chữ nhật

Tôi không nghĩ rằng nó sẽ là tin tức cho bạn cả.

Câu hỏi đầu tiên là: một hình chữ nhật có phải là một hình bình hành không?

Tất nhiên là thế rồi! Rốt cuộc, anh ta có - nhớ không, dấu hiệu 3 của chúng ta?

Và từ đây, tất nhiên, nó theo sau đó đối với một hình chữ nhật, giống như bất kỳ hình bình hành nào, và, và các đường chéo được chia đôi cho điểm giao nhau.

Nhưng có một hình chữ nhật và một thuộc tính đặc biệt.

Thuộc tính hình chữ nhật

Tại sao tài sản này lại đặc biệt? Vì không có hình bình hành nào khác có các đường chéo bằng nhau. Hãy hình thành nó rõ ràng hơn.

Chú ý: để trở thành một hình chữ nhật, một tứ giác trước hết phải trở thành một hình bình hành, sau đó trình bày đẳng thức của các đường chéo.

3. Kim cương

Và một lần nữa câu hỏi đặt ra là: hình thoi có phải là hình bình hành hay không?

Với bên phải đầy đủ - một hình bình hành, vì nó có và (hãy nhớ dấu hiệu 2 của chúng tôi).

Và một lần nữa, vì hình thoi là hình bình hành nên nó phải có tất cả các tính chất của hình bình hành. Điều này có nghĩa là một hình thoi có các góc đối diện bằng nhau, các cạnh đối diện song song và các đường chéo được phân giác bởi giao điểm.

Thuộc tính hình thoi

Nhìn vào bức tranh:

Như trong trường hợp của một hình chữ nhật, các tính chất này là khác biệt, nghĩa là, với mỗi tính chất này, chúng ta có thể kết luận rằng chúng ta không chỉ có một hình bình hành mà còn là một hình thoi.

Dấu hiệu của một hình thoi

Và hãy chú ý một lần nữa: không nên chỉ có một tứ giác với các đường chéo vuông góc, mà là một hình bình hành. Bảo đảm:

Không, tất nhiên là không, mặc dù các đường chéo và vuông góc của nó, và đường chéo là tia phân giác của góc u. Nhưng ... các đường chéo không chia đôi, giao điểm ở một nửa, do đó - KHÔNG PHẢI là hình bình hành và do đó KHÔNG PHẢI là hình thoi.

Tức là hình vuông đồng thời là hình chữ nhật và hình thoi. Hãy xem điều gì xuất hiện từ điều này.

Có rõ ràng tại sao không? - hình thoi - tia phân giác của góc A bằng. Vì vậy, nó chia (và cả) thành hai góc cùng.

Vâng, nó khá rõ ràng: các đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau; các đường chéo của hình thoi là vuông góc, và nói chung - các đường chéo của hình bình hành được chia đôi bởi giao điểm.

CẤP ĐỘ TRUNG GIAN

Tính chất của tứ giác. Hình bình hành

Thuộc tính Hình bình hành

Chú ý! Từ " tính chất hình bình hành»Có nghĩa là nếu bạn có một nhiệm vụ có hình bình hành, thì tất cả các cách sau đây đều có thể được sử dụng.

Định lý về các tính chất của hình bình hành.

Trong bất kỳ hình bình hành nào:

Hãy xem tại sao điều này lại đúng, hay nói cách khác CHÚNG TÔI SẼ CUNG CẤPđịnh lý.

Vậy tại sao 1) đúng?

Vì nó là một hình bình hành nên:

• giống như nằm chéo
• như nằm ngang.

Do đó, (trên cơ sở II: và - chung.)

Vâng, một lần, sau đó - đó là nó! - đã chứng minh.

Nhưng nhân tiện! Chúng tôi cũng đã chứng minh 2)!

Tại sao? Nhưng sau tất cả (nhìn vào bức tranh), đó là, cụ thể là, bởi vì.

Chỉ có 3 trái).

Để làm điều này, bạn vẫn phải vẽ một đường chéo thứ hai.

Và bây giờ chúng ta thấy rằng - theo dấu hiệu II (góc và cạnh "giữa" chúng).

Thuộc tính đã được chứng minh! Hãy chuyển sang các dấu hiệu.

Các tính năng của hình bình hành

Nhắc lại rằng dấu hiệu của một hình bình hành trả lời câu hỏi "làm thế nào để tìm ra?" Rằng hình đó là một hình bình hành.

Trong các biểu tượng, nó như thế này:

Tại sao? Sẽ rất tuyệt nếu hiểu tại sao - vậy là đủ. Nhưng hãy nhìn xem:

Chà, chúng tôi đã tìm ra lý do tại sao dấu hiệu 1 là đúng.

Chà, điều đó thậm chí còn dễ dàng hơn! Hãy vẽ lại một đường chéo.

Nghĩa là:

Và cũng dễ dàng. Nhưng… khác!

Có nghĩa, . Ồ! Nhưng cũng có thể - nội bộ một bên tại một bên ly khai!

Do đó, thực tế có nghĩa là.

Và nếu bạn nhìn từ phía khác, thì họ đang ở bên trong một bên là người ly khai! Và do đó.

Hãy xem nó tuyệt vời như thế nào ?!

Và một lần nữa đơn giản là:

Hoàn toàn giống nhau, và.

Chú ý: nếu bạn tìm thấy ít nhất một dấu hiệu của một hình bình hành trong bài toán của bạn, thì bạn có một cách chính xác hình bình hành và bạn có thể sử dụng tất cả mọi người tính chất của hình bình hành.

Để hoàn toàn rõ ràng, hãy xem sơ đồ:

Tính chất của tứ giác. Hình chữ nhật.

Thuộc tính hình chữ nhật:

Điểm 1) khá rõ ràng - sau cùng, dấu 3 () chỉ đơn giản là hoàn thành

Và điểm 2) - rất quan trọng. Vì vậy, hãy chứng minh rằng

Vì vậy, trên hai chân (và - chung).

Vì các tam giác đều bằng nhau nên cạnh huyền của chúng cũng bằng nhau.

Chứng minh rằng!

Và hãy tưởng tượng, bằng nhau của các đường chéo là một tính chất đặc biệt của một hình chữ nhật trong số tất cả các hình bình hành. Đó là, câu sau đây là đúng

Hãy xem tại sao?

Vì vậy, (có nghĩa là các góc của hình bình hành). Nhưng một lần nữa, hãy nhớ rằng - một hình bình hành, và do đó.

Có nghĩa, . Và, tất nhiên, từ đó mỗi người trong số họ Sau khi tất cả, trong số lượng họ nên cung cấp!

Ở đây chúng tôi đã chứng minh rằng nếu hình bình hànhđột nhiên (!) sẽ là các đường chéo bằng nhau, sau đó chính xác là một hình chữ nhật.

Nhưng! Chú ý!Đây là về hình bình hành! Không có một tứ giác có các đường chéo bằng nhau là một hình chữ nhật, và chỉ còn hình bình hành!

Tính chất của tứ giác. Hình thoi

Và một lần nữa câu hỏi đặt ra là: hình thoi có phải là hình bình hành hay không?

Với bên phải đầy đủ - một hình bình hành, vì nó có và (Hãy nhớ dấu hiệu của chúng tôi 2).

Và một lần nữa, vì hình thoi là hình bình hành nên nó phải có tất cả các tính chất của hình bình hành. Điều này có nghĩa là một hình thoi có các góc đối diện bằng nhau, các cạnh đối diện song song và các đường chéo được phân giác bởi giao điểm.

Nhưng cũng có những tính chất đặc biệt. Chúng tôi xây dựng.

Thuộc tính hình thoi

Tại sao? Vì hình thoi là hình bình hành nên các đường chéo của nó được chia đôi.

Tại sao? Vâng, đó là lý do tại sao!

Nói cách khác, các đường chéo và hóa ra là đường phân giác của các góc của hình thoi.

Như trong trường hợp của một hình chữ nhật, các thuộc tính này là đặc biệt, mỗi người trong số họ cũng là một dấu hiệu của một hình thoi.

Dấu hiệu hình thoi.

Tại sao vậy? Và nhìn

Do đó, và cả hai các tam giác này là cân.

Để trở thành một hình thoi, một tứ giác trước tiên phải "trở thành" một hình bình hành, sau đó đã chứng minh đặc điểm 1 hoặc đặc điểm 2.

Tính chất của tứ giác. Vuông

Tức là hình vuông đồng thời là hình chữ nhật và hình thoi. Hãy xem điều gì tạo ra điều này.

Có rõ ràng tại sao không? Hình vuông - hình thoi - tia phân giác của góc bằng. Vì vậy, nó chia (và cả) thành hai góc cùng.

Vâng, nó khá rõ ràng: các đường chéo của hình chữ nhật bằng nhau; các đường chéo của hình thoi là vuông góc, và nói chung - các đường chéo của hình bình hành được chia đôi bởi giao điểm.

Tại sao? Vâng, chỉ cần áp dụng Định lý Pitago cho.

TÓM TẮT VÀ CÔNG THỨC CƠ BẢN

Thuộc tính hình bình hành:

1. Các cạnh đối diện bằng nhau:,.
2. Các góc đối diện là:,.
3. Các góc ở một cạnh cộng lại là:,.
4. Các đường chéo được chia đôi bởi giao điểm:.

Thuộc tính hình chữ nhật:

1. Các đường chéo của một hình chữ nhật là:.
2. Hình chữ nhật là một hình bình hành (tất cả các tính chất của một hình bình hành được thực hiện cho một hình chữ nhật).

Thuộc tính hình thoi:

1. Các đường chéo của hình thoi vuông góc với:.
2. Các đường chéo của hình thoi là đường phân giác của các góc:; ; ; .
3. Hình thoi là hình bình hành (tất cả các tính chất của hình bình hành đều được đáp ứng cho hình thoi).

Thuộc tính hình vuông:

Hình vuông đồng thời là hình thoi và hình chữ nhật, do đó, đối với hình vuông, tất cả các tính chất của hình chữ nhật và hình thoi đều được đáp ứng. Cũng như.

Hình bình hành là một tứ giác có các cạnh đối diện của nó song song, tức là nằm trên các đường thẳng song song

Thuộc tính hình bình hành:

Định lý 22. Các cạnh đối của hình bình hành bằng nhau. Bằng chứng. Vẽ đường chéo AC trong hình bình hành ABCD. Các tam giác ACD và ACB đồng dạng khi có cạnh chung AC và hai cặp góc bằng nhau. kề với nó: ∠ CAB = ∠ ACD, ∠ ASV = ∠ DAC (là góc chéo với đường thẳng song song AD và BC). Do đó, AB = CD và BC = AD là các cạnh tương ứng của các tam giác bằng nhau, v.v. Bằng nhau của các tam giác này cũng ngụ ý bằng nhau về các góc tương ứng của các tam giác:

Định lý 23. Các góc đối của hình bình hành là: ∠ A = ∠ C và ∠ B = ∠ D.

Sự bằng nhau của cặp thứ nhất đến từ sự bằng nhau của các tam giác ABD và CBD, và cặp thứ hai - ABC và ACD.

Định lý 24. Các góc lân cận của một hình bình hành, tức là các góc tiếp giáp với một mặt cộng lại lên đến 180 độ.

Điều này là như vậy bởi vì chúng là các góc một phía bên trong.

Định lý 25. Các đường chéo của một hình bình hành phân giác nhau tại giao điểm của chúng.

Bằng chứng. Xét các tam giác BOC và AOD. Theo tính chất đầu tiên, AD = BC ∠ ОАD = ∠ OSV và ∠ ОDA = ∠ ОВС nằm trên các đường thẳng song song AD và BC. Do đó, các tam giác BOC và AOD có cạnh và góc kề bằng nhau. Do đó, BO = OD và AO = OC, là các cạnh tương ứng của các tam giác bằng nhau, v.v.