Trên tập hợp các số phức xét phương trình z^2-2mz+2m^2-2m=0

Phương trình bậc hai có nghiệm phức \({z_1}\) thì cũng nhận nghiệm phức \({z_2} = \overline {{z_1}} \).

Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phức.

Câu hỏi:
Trên tập hợp các số phức, xét phương trình \({z^2} + 2\left( {m – 1} \right)z + {m^2} = 0\) (\(m\) là tham số thực). Có bao nhiêu giá trị \(m\)dương để phương trình đó có nghiệm \({z_0}\) thỏa mãn \(\left| {{z_0}} \right| = 4?\)

A. \(1\).

B. \(2\).

C. \(3\).

D. \(4\).

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Ta có: \(\Delta ‘ = {\left( {m – 1} \right)^2} – {m^2} = – 2m + 1\).

TH1: Nếu \(\Delta ‘ \ge 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 \ge 0\)\( \Leftrightarrow m \le \frac{1}{2}\) thì phương trình có hai nghiệm thực:

Từ giả thiết: \(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{z_0} = 4\\{z_0} = – 4\end{array} \right.\)

*Với \({z_0} = 4\)thay vào phương trình ta có: \({4^2} + 2\left( {m – 1} \right).4 + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} + 8m + 8 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4 + 2\sqrt 2 \\m = – 4 – 2\sqrt 2 \end{array} \right.\).

*Với \({z_0} = – 4\)thay vào phương trình ta có: \({\left( { – 4} \right)^2} + 2\left( {m – 1} \right).\left( { – 4} \right) + {m^2} = 0 \Leftrightarrow {m^2} – 8m + 24 = 0\)

TH2: Nếu \(\Delta ‘ < 0\)\( \Leftrightarrow – 2m + 1 < 0\)\( \Leftrightarrow m > \frac{1}{2}\) thì phương trình đã cho có 2 nghiệm phức:

\({z_0} = – \left( {m – 1} \right) + \sqrt {\left| { – 2m + 1} \right|} .i\)\( = – m + 1 + i.\sqrt {2m – 1} \)

Và \({z_0} = – m + 1 – i.\sqrt {2m – 1} \)

\(\left| {{z_0}} \right| = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { – m + 1} \right)}^2} + 2m – 1} = 4\)\( \Leftrightarrow {m^2} – 2m + 1 + 2m – 1 = 16\)\( \Leftrightarrow {m^2} = 16 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = – 4\\m = 4\end{array} \right.\)

Chọn \(m = 4\).

=======

Câu hỏi:
Trong tập số phức, xét phương trình \({z^2} – 2\left( {m – 1} \right)z + 2m – 2 = 0 \) ( \(m \) là tham số thực). Gọi \(S \) là tập hợp các giá trị nguyên của \(m \) để phương trình có hai nghiệm phân biệt \({z_1} \), \({z_2} \) thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \). Tổng các phần tử của tập \(S \) là

A. 3.

B. 1.

C. 6.

D. 2.

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Xét phương trình \({z^2} – 2\left( {m – 1} \right)z + 2m – 2 = 0 \), ta có:

\(\Delta ‘ = {\left[ { – \left( {m – 1} \right)} \right]^2} – 1.\left( {2m – 2} \right) = {m^2} – 4m + 3 \).

TH1: \(\Delta ‘ > 0 \) \( \Leftrightarrow {m^2} – 4m + 3 > 0 \) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{m > 3}\\{m < 1}\end{array}} \right. \).

Phương trình đã cho có hai nghiệm thực phân biệt \({z_1} \), \({z_2} \).

Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{z_1} + {z_2} = 2\left( {m – 1} \right)}\\{{z_1}{z_2} = 2m – 2}\end{array}} \right. \).

Theo đề bài ta có: \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \Leftrightarrow {z_1} = – {z_2} \)

\( \Leftrightarrow {z_1} + {z_2} = 0 \)

\( \Rightarrow 2\left( {m – 1} \right) = 0 \)

\( \Leftrightarrow m = 1 \).

TH2: \(\Delta ‘ < 0 \) \( \Leftrightarrow 1 < m < 3 \)

Phương trình luôn có hai nghiệm phức \({z_1} \), \({z_2} \) luôn thỏa mãn \(\left| {{z_1}} \right| = \left| {{z_2}} \right| \).

Do đó \(S = \left\{ 2 \right\} \).

Vậy tổng các phần tử của tập \(S \) là 1.

=======

• lý thuyết
• trắc nghiệm
• hỏi đáp
• bài tập sgk

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z2 - 2mz + 8m -12 = 0 (m là tham số thực). Có bai nhiều giá trị nguyên của m để phương trình đó có hai nghiệm phân biệt z1, z2 thỏa mản |z1| = |z2|?

A. 5                 B. 6             C. 3                 D. 4

Mình cần một câu trả lời cực kì chi tiết ạ, mình cảm ơn trước

Các câu hỏi tương tự

Trên tập hợp các số phức, xét phương trình z^2 - 2(m+1)z + m^2=0(m là số thực). Có bao nhiêu giá trị của m để phương trình đó có nghiệm Zo thỏa mãn |Zo|=7 A. 1 B. 4 C. 3 D. 2