MODULE 4. CÁC HỆ ĐẾM DÙNG TRONG TIN HỌC 4.1. Hệ đếm Để có cơ sở hình dung quá trình xử lí thông tin xảy ra bên trong MTĐT như thế nào, chúng ta cần có một số kiến thức về hệ đếm nhị phân. Hệ đếm được hiểu như tập các kí hiệu và quy tắc sử dụng tập kí hiệu đó để biểu diễn và xác định giá trị các số. Xét ví dụ về hệ đếm La mã Hệ đếm La mã sử dụng các kí hiệu I, V, X, L, C, D, M. Mỗi kí hiệu của hệ đếm La mã biểu thị một giá trị : I = 1 ; V = 5 ; X = 10 L = 50 ;C = 100 ; D = 500 ; M = 1000 Dưới đây là một số quy tắc tính giá trị được dùng trong hệ đếm La mã: Nếu các kí hiệu được xếp từ trái qua phải theo chiều giảm giá trị thì giá trị của biểu diễn số tính bằng tổng giá trị các kí hiệu. Ví dụ MLVI cho giá trị là 1000+50+5+1 = 1056. Nếu trong biểu diễn số tính từ trái qua phải có một cặp hai kí hiệu mà kí hiệu đứng trước có giá trị nhỏ hơn thi giá trị của cặp đó tĩnh bằng hiệu hai giá trị. Không chập nhận các bộ có nhiều hơn hai kí hiệu liên tiếp xếp theo chiều tăng của giá trị. Ví dụ CIX thể hiện số 109. Biểu diễn IXC không hợp lệ vì nó sẽ gây nhập nhằng không đơn nghĩa với quy tắc tính giá trị. Như vậy, mỗi kí hiệu đại diện cho một giá trị duy nhất và không phụ thuộc vào vị trí của nó xuất hiện ở đâu trong biểu diễn. Hệ đếm loại này gọi là hệ đếm không theo vị trí. Chúng ta thường sử dụng hệ đếm thập phân. Hệ thập phân dùng là mười ký hiệu là các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Trong hệ đếm này giá trị của mỗi chữ số phụ thuộc vào vị trí của nó trong biểu diễn. Ví dụ, trong số 545, chữ số 5 ở hàng đơn vị chỉ 5 đơn vị trong khi đí chữ số 5 ở hàng trăm chỉ 500 đơn vị. Hệ đếm mà giá trị của các kí hiệu trong biểu diễn số phụ thuộc vào vị trí được gọi là hệ đếm theo vị trí. Số lượng các chữ số được sử dụng [10 chữ số] gọi là cơ số của hệ đếm. Quy tắc tính giá trị là mỗi đơn vị ở một hàng bất kỳ có giá trị bằng 10 đơn vị của hàng kế cận bên phải. Do đó, giá trị của một biểu diễn có thể viết dưới dạng một đa thức của cơ số. Ví dụ. 536,4 = 5.10 2 + 3.10 1 + 6.10 0 + 4.10 -1 Hệ đếm thập phân chỉ là một trường hợp riêng khi chọn cơ số là 10. Thực ra, bất kì một số tự nhiên b nào lớn hơn 1 đều có thể chọn làm cơ số cho hệ đếm. Các kí hiệu được dùng cho hệ đếm đó sẽ là ký hiệu đại diện cho các giá trị: 0, 1..., b-1. Nếu một số N trong hệ đếm cơ số b nếu có biễu diễn là : N = dnd n-1 d n-2... d 1 d 0, d -1 d -2... d -m thì giá trị của N được tính theo công thức : N = dn bn + dn-1 bn-1 +...+ d0 b0 + d-1 b-1 +... + d-m b-m Ở đây các di thỏa mãn điều kiện 0 ≤ di < b còn n là số lượng các chữ số bên trái, và m là số lượng các chữ số bên phải dấu phân chia phần nguyên và phần lẻ của số N. Có thể chứng minh được rằng với mỗi số tự nhiên N có và có duy nhất một cách biểu diễn N dưới dạng đa thức theo luỹ thừa của b. Ví dụ số 17 trong hệ đếm cơ số 3 có biểu diễn là 122 vì 17 = 1.32 + 2.31+ 2.30 Trong tin học người ta thường dùng một số hệ đếm sau đây: Hệ đếm nhị phân là hệ đếm cơ số 2 với hai chữ số là 0 và chữ số 1 Hệ đếm cơ số mười sáu còn gọi là hệ Hexa. Hệ Hexa sử dụng các kí hiệu : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D,E, F. Trong các trường hợp cần thiết, để phân biệt số được biểu diễn ở hệ đếm nào người ta viết cơ số làm chỉ số cho số đó. Ví dụ. 1012, 516. Sau đây là 16 số nguyên đầu tiên ở các hệ đếm 10, 2 và 16 Bảng 4.1. Biểu diễn của các số từ 0 tới 15 trong các hệ nhị phân và 16 Thập phân Nhị phân Hệ16 Thập phân Nhị phân Hệ16 0 0 0 8 1000 8 1 1 1 9 1001 9 2 10 2 10 1010 A 3 11 3 11 1011 B 4 100 4 12 1100 C 5 101 5 13 1101 D 6 110 6 14 1110 E 7 111 7 15 1111 F 4.2. Tìm biểu diễn số 4.2.1. Biến đổi số ở hệ đếm bất kỳ sang hệ đếm thập phân Cho số N trong hệ đếm cơ số b : N = [d n d n-1 d n-2... d 1 d 0, d -1 d -2... d -m]b Trước hết xét trường hợp N là nguyên. Để tìm biểu diễn của số nguyên N trong hệ đếm thập phân, ta tiến hành các bước sau: - Viết N dưới dạng đa thức của cơ số b : N = dn bn + dn-1 bn-1 + dn-2 bn-2 +...+ d0 rồi tính giá trị của đa thức này. Để giảm số lượng phép tính khi tính giá trị của đa thức tốt hơn hết là tính theo sơ đồ Horner N = d0 + b[d1 + b[d2 + b[d3 +...bdn ]]]...] Trong trường hợp số có phần lẻ thì sơ đồ Horner mất hiệu lực, ta phải đổi phần lẻ riêng rồi cộng lại. Ví dụ 1110,1012 = ?10. Thực hiện theo sơ đồ trên, ta có: 11102 = 0 + 2[1+2[1+2.1]]] = 14 Còn phần lẻ 0,101 2 = 1.2-1 + 1.2-3 = 0.5 + 0.125 = 0.635 Vậy 1110,1012 = 14.62510 Một ví dụ khác. D3F,4 16 = ?10. Cũng thực hiện như trên, ta có: D3F 16 = F + 16[3 + 16.D] = 15 + 16[3 + 16.13] = 3391 Còn phần lẻ 0,4 chính là 4.16-1 = 3328 + 48 + 15 + 0,25 = 3391,25 Vậy, D3F,416 = 3391,2510 4.2.2. Biến đổi số ở hệ đếm thập phân sang hệ đếm có cơ số bất kì Trước hết ta tách phần nguyên và phần lẻ rồi tiến hành biến đổi chúng riêng biệt. Sau đó chúng ta sẽ ghép lại để có kết quả cần tìm. Biến đổi số nguyên Cho N là số tự nhiên. Ta viết N duới dạng da thức: N = dn bn + dn-1 bn-1 +...+ d0 Nhận xét rằng, 0≤ d0 < b. Do vậy, khi chia N cho b thì phần dư của phép chia đó là d0 còn thương số N1 sẽ là: N1 = dn bn-1 + dn-1 bn-2 +...+ d1 [2]. Tương tự, d1 chính là phần dư của phép chia N1 cho b. Gọi N2 là thương của phép chia ấy. Quá trình chia như vậy được thực hiện liên tiếp và ta sẽ lần lượt nhận đựơc giá trị các di. Quá trình sẽ dừng lại khi nhận được thương số bằng 0. Để có biểu diễn cần tìm, các phần dư thu được cần sắp xếp theo thứ tự ngược lại. Ví dụ. 52 10 = ? 2 = ? 16. Sơ đồ chia liên tiếp dưới đây minh hoạ quá trình thực hiện theo thuật toán nói trên. Bảng 4.2. Đổi phần nguyên một số hệ 10 sang hệ 2 và sang hệ 16 Như vậy 52 10 = 110100 2= 34 16 Biến đổi phần lẻ Kí hiệu N’ là phần lẻ [phần sau dấu phẩy thập phân] của số N. Giả sử N’ được biểu diễn dưới dạng đa thức của cơ số b như sau: N’ = d-1 b -1 + d-2 b-2 +... d-m b-m [1'] Nhân hai vế của [1'] với b, ta thu được: N1’ = d-1 + d-2 b-1 +... d-m b-[m -1] Ta nhận thấy, d-1 chính là phần nguyên của kết quả phép nhân. Còn phần lẻ của kết quả là: N'2 = d-2 b-1 +... d-m b-[m -1] [2'] Lặp lại phép nhân như trên đối với [2'], ta thu được d-2 là phần nguyên. Thực hiện liên tiếp phép nhân theo cách trên, cuối cùng thu được dãy d-1 d-2 d-3...d-m: trong đó 0 ≤d-1 < b. Đó chính là giá trị của các chữ số trong biểu diễn cần tìm. Ví dụ. 0,67875 10 = ?2 Quá trình thực hiện được thể hiện như bảng dưới đây [nhân đôi cột bên phải để đẩy phần nguyên về cột số 1: Bảng 4.3. Đổi một số lẻ sang hệ đếm cơ số 2 Phần nguyên Phần lẻ 67875 x 2 =1 2575 x 2 =0 515 x 2 =1 03 52 2 0 26 2 0 13 2 1 6 2 0 3 2 1 1 2 1 0 52 16 4 3 16 3 0 x 2 =0 06 x 2 =0 12 x 2 =0 24 x 2 =0 48 x 2 =0 96 x 2 =1 92 ............... Vậy 0,67875 10 = 0,101000001... 2 Ví dụ. 0,843510 = ?16 Các bước tìm kết quả được thể hiện ở bảng dưới đây: Bảng 4.4. Đổi một số lẻ sang hệ đếm cơ số 16 Phần nguyên Phần lẻ 8435 x 16=13 496 x 16=7 936 x 16=14 976 x 16=15 616 .......... Lưu ý rằng trong hệ đếm cơ số 16 thì 13 thể hiện bằng chữ số D, 14 bằng E và 15 bằng F. Vậy 0,843510 = 0.D7EF16 Quá trình trên trong một số trường hợp có thể kéo dài vô hạn. Tùy yêu cầu về độ chính xác cần thiết mà quyết định cần dừng ở bước nào. Như vậy kết quả của việc đổi một số có một số hữu hạn chữ số lẻ trong hệ đếm cơ số này có thể cho ra một số có vô hạn [tuần hoàn] chữ số lẻ trong hệ đếm cơ số khác. 4.2.3. Biến đổi số biểu diễn trong các hệ đếm đặc biệt Về nguyên tắc có thể đổi bất cứ một biểu diễn số trong hệ đếm cơ số b1 bất kỳ sang một biểu diễn số trong một hệ đếm cơ số b2 bất kỳ khác. Điều rắc rối là ở chỗ ta phải nhớ được bảng nhân và bảng chia trong số học của các số biểu diễn trong cơ số b1 hoặc b2. Nếu không biết được bảng nhân và chia thì có thể ta phải đổi hai lần thông qua một hệ đếm trung gian mà ta đã biết bảng nhân và chia như hệ thập phân chẳng hạn. Khi đó để đổi một số x trong một hệ đếm cơ số b1 sang hệ đếm của cơ số b2 ta có thể đổi x
1. Khái niệm về thông tin và dữ liệu:
a . Thông tin:
- Những hiểu biết có được về một thực thể nào đó được gọi là thông tin về thực thể đó.
- VD: Bình cao 1.5m, nặng 50kg, học giỏi, chăm ngoan, cần cù, ...
b. Dữ liệu:
- Là những thông tin đã được đưa vào máy tính.
2. Đơn vị đo lượng thông tin:
- Bit là đơn vị nhỏ nhất để đo lượng thông tin, sử dụng hai ký hiệu là 0 và 1 để biểu diễn thông tin trong máy tính.
- Các đơn vị khác để đo thông tin:
1 Byte [1B] = 8 Bit
1 KB [Kilôbyte] = 1024B
1 MB [Mêgabyte] = 1024KB
1 GB [Gigabyte] = 1024MB
1 TB [Têgabyte] = 1024GB
1 PB [Pêtabyte] = 1024TB
3. Các dạng thông tin:
Có thể phân loại thông tin thành hai loại:
- Số: số nguyên, số thực,…
- Phi số: có ba dạng
+ Văn bản: báo, sách, vở, …
+ Âm thanh: tiếng nói con người, tiếng nhạc, …
+ Hình ảnh: tranh vẽ, ảnh chụp, bản đồ,…
4. Mã hóa thông tin trên máy tính:
- Để máy tính xử lý được, thông tin cần phải được biến đổi thành dãy bit. Cách biến đổi như vậy gọi là mã hoá thông tin.
- Để mã hoá văn bản dùng mã ASCII [8 bit] gồm 256 ký tự được đánh số từ 0-255, số hiệu này được gọi là mã ASCII thập phân của ký tự.
- Bộ mã Unicode [16 bit] có thể mã hóa 65536 ký tự khác nhau, cho phép thể hiện trong máy tính văn bản của tất cả các ngôn ngữ trên thế giới.
5. Biểu diễn thông tin trong máy tính:
a. Thông tin loại số:
* Hệ đếm:
- Bất kỳ số tự nhiên b nào lớn hơn 1 đều có thể chọn làm cơ số cho hệ đếm. Số lượng các ký hiệu được sử dụng bằng cơ số của hệ đếm đó.
- Quy tắc: giá trị của mỗi ký hiệu ở hàng bất kỳ có giá trị bằng “số hệ đếm” đơn vị của hàng kế cận bên phải.
+ Hệ thập phân: là hệ dùng các số 0, 1,…,9 để biểu diễn.
Vd: 43,310=4x101+3x100 +3x10-1
* Các hệ đếm dùng trong tin học:
+ Hệ nhị phân: là hệ chỉ dùng 2 số 0 và 1 để biểu diễn.
Vd: 1102=1x22+1x21 +0x20= 610
+ Hệ cơ số 16: là hệ dùng các ký hiệu 0, 1,…,9 và A, B, C, D, E, F để biểu diễn trông đó A=10, B=11, C=12, D=13, E=14, F=15.
Vd: A0116= 10x162 + 0x161 + 1x160 = 256110
* Biểu diễn số nguyên:
- Số nguyên có dấu: bit cao nhất xác định số nguyên đó là âm [1] hay dương [0].
- Một byte biểu diễn được số nguyên trong phạm vi -127 đến 127.
- Số nguyên không âm: toàn bộ 8 bit được dùng để biểu diễn giá trị số, phạm vi từ 0 đến 256.
* Biểu diễn số thực: Mọi số thực có thể biểu diễn được dưới dạng: [được gọi là dấu phẩy động]. Trong đó :
M : phần định trị
K : phần bậc
Ví dụ: 12,345 = 0.12345x102
b. Thông tin loại phi số:
- Văn bản : để biểu diễn một xâu ký tự máy tính có thể dùng một dãy byte, mỗi byte biễu diễn một ký tự theo thứ tự từ trái sang phải.
Vd: biểu diễn xâu ký tự “TIN” : 01010100 01001001 01001110
- Các dạng khác: [hình ảnh, âm thanh,…] ta cũng phải mã hóa chúng thành dãy bit.
- Nguyên lí mã hóa nhị phân:
Thông tin có nhiều dạng khác nhau như số, văn bản, hình ảnh, âm thanh… Khi đưa vào máy tính, chúng đều được biến đổi thành dạng chung – dãy bit. Dãy bit đó là mã nhị phân của thông tin mà nó biểu diễn.
Mục tiêu
- Biết khái niệm thông tin, lượng thông tin, các dạng thông tin, mã hoá thông tin cho máy tính.
- Biết được các dạng biểu diễn thông tin trong máy tính.
- Hiểu đơn vi đo thông tin.
- Biết được cách chuyển giữa các hệ số đếm: hệ nhị phân, hệ thập phân, hệ cơ số mười sáu [hexa].
- Tuy thông tin có nhiều dạng khác nhau, nhưng đều được lưu trữ và xử lí trong máy tính chỉ ở một dạng chung – mã nhị phân.
- Cho một vài ví dụ về thông tin. Cho biết dạng của thông tin đó?
- Cách chuyển đổi giữa các hệ đếm và cách biểu diễn số nguyên, số thực.
- Nguyên lý mã hóa nhị phân.
Bài tập và Bài thực hành 1
I. DÀNH CHO GIÁO VIÊN
1. Tổng quan
- Phạm vi áp dụng: Bài 2 Chương I Tin học lớp 10.
- Thời lượng: 1 tiết
- Phương tiện thiết bị cần thiết: máy chiếu.
2. Mục đích
- Củng cố lại tất cả kiến thức đã học trong tiết lý thuyết.
- Sử dụng bộ mã ASCII để mã hóa xâu kí tự, số nguyên.
- Viết được số thực dưới dạng dấu phẩy động.
- Chuyển đổi biểu diễn ở các hệ số khác nhau.
3. Các kiến thức và kỹ năng được củng cố, rèn luyện. Kiến thức:
- Khái niệm về thông tin và dữ liệu.
- Đơn vị đo lượng thông tin.
- Qui trình mã hóa thông tin và dữ liệu.
- Cách biểu diễn số nguyên, số thực, dấu phẩy động.
- Quy trình biểu diễn thông tin loại phi số.
- Cách chuyển đổi biểu diễn giữa các hệ đếm.
- Nguyên lí mã hóa nhị phân. Kỹ năng:
- Nhận biết được thông tin và dữ liệu.
- Mã hóa được một số thông tin đơn giản thành dãy bit.
- Biểu diễn số ở dạng các hệ đếm khác nhau.
- Chuyển đổi được biểu diễn số trong các hệ đếm khác nhau.
4. Các lưu ý sư phạm:
II. DÀNH CHO HỌC SINH
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Mã hóa thông tin trong máy tính là:
A Biểu diễn thông tin thành bộ mã ASCII
C Biểu diễn thông tin thành những ký tự
B Biểu diễn thông tin thành một
D Biểu diễn thông tin thành một
dãy bit
dãy byte
Câu 2: 512 bit bằng:
A 64 byte
C 56 byte
B 60 byte
D 70 byte
Câu 3: Số 19 trong hệ thập phân được đổi ra hệ nhị phân là:
A 10011
C 10110
B 10001
D 10101
Câu 4: Để biểu các số nguyên có dấu trong phạm vi từ -127 đến 127, máy tính sử dụng:
A. bit 7 làm bit dấu.
C. 8 bit để biểu diễn giá trị tuyệt đối của số nguyên dưới dạng nhị phân.
B. các bit từ 0 đến 6 biểu diễn giá trị tuyệt đối của số nguyên dưới dạng nhị phân.
D Câu A, B đúng
Câu 5: 120 bit bằng :
A 12 byte
C 8 byte
B 15 byte
B 10 byte
Câu 6: Hệ đếm hexa dùng các kí hiệu:
A 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, A, B, C, D, E, F
C 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, I, C, D, E, F, G
B 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16
D 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, X, C, B, M, V, I
Câu 7: Tin học là một ngành khoa học vì đó là ngành:
A Nghiên cứu phương pháp lưu trữ và xử lý thông tin
C Chế tạo máy tính
B Sử dụng máy tính trong mọi lĩnh vực hoạt động của xã hội loài người
D Có nội dung, mục tiêu, phương pháp nghiên cứu độc lập
Câu 8: Bộ mã ASCII mã hóa được
A 255 ký tự
C 257 ký tự
B 256 ký tự
D 258 ký tự
Câu 9: Ngôn ngữ của máy tính là ngôn ngữ sử dụng:
A Các ký hiệu 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
C Tất cả đều sai
B Các ký hiệu 0, 1
D Các chữ cái A, B, C, D, E, F
Câu 10: Hệ đếm nào sau đây là hệ đếm phụ thuộc vị trí ?
A Hệ cơ số 2
C Ba câu trên đều đúng.
B Hệ cơ số 16
D Hệ cơ số 10
2. Bài tập luyện tập
Câu 1: 1 đĩa mềm có dung lượng 1,44MB lưu trữ được 400 trang văn bản.
Vậy nếu dùng một ổ đĩa cứng có dung lượng 12GB thì lưu giữ được bao nhiêu
trang văn bản?
Câu 2: Chuyển xâu ký tự sau thành mã nhị phân: TIN HOC
Câu 3: Dãy bit 01100010 01111001 01110100 01100101 tương ứng là mã ASCII của dãy ký tự nào.
Câu4:Viết các số thực sau dưới dạng dấu phẩy động: 11005 ; 25,879 ; 0,000984
Câu 5: Đổi các số sau sang hệ nhị phân và hệ cơ số16: 7; 15; 22; 127; 97; 123.75
Câu 6: Đổi các số sau sang hệ cơ số 10: 5D1616 ; 7D71616; 11111122;
1011010122
Câu 7:
a. Đổi từ hệ hexa sang hệ nhị phân
5E; 2A; 4B; 6C
b. Đổi từ hệ nhị phân sang hệ hexa
1101011; 10001001; 1101001; 10110
I. ĐÁP ÁN CHI TIẾT
1. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: B Câu 2: A Câu 3: A Câu 4: D Câu 5: B
Câu 6: A Câu 7: A Câu 8: B Câu 9: B Câu 10: C
2. Bài tập luyện tập:
Câu 1: 1 GB = 1024 MB
12 GB = 12288 MB
Vậy số trang văn bản mà ổ đĩa cứng có thể
lưu trữ được là: 12288 * 400: 1.44 =3413333.333 ≈ 3413334 trang văn bản.
Câu 2: 01010100 01001001 01001110 01001000 01001111 01000011
Câu 3: byte
Câu 4: 11005 = 0.11005x105
25.879 0.25879x102
0.984 84x10-3
Câu 5: Đổi các số sau sang hệ 2 và 16
7 10 = 1112 = 716
15 10 = 11112 = F16
2210 = 101102 = 1616
12710 = 11111112 = 7F16
97 10 =1000012= 6116
123.7510= 1111011.112= 7B.C16
Câu 6: Đổi các số sau sang hệ cơ số 10
5D16 = 5x161 + 13x160 = 9310
7D716 = 7x162 + 13x161 + 14x160= 200710
1111112 = 1x25 + 1x24 + 1x23 + 1x22+ 1x21 + 1x20 = 6310
101101012 = 1x27 + 0x26 + 1x25 +1x24 + 0x23
+ 1x22 + 0x21 + x20 18110
Câu 7:
a. Đổi từ hệ hexa sang hệ nhị phân
5E16 có 5 = 01012, E = 14 = 11102
Vậy 5E16 = 0101 11012
Tương tự: 2A16 = 0010 10102
4B16 = 0100 10112
6C16 = 0110 11012
b. Đổi từ nhị phân sang hexa
11010112 có 0110 = 6; 1011 = 11=B
Vậy 11010112 = 6B16
Tương tự: 100010012 = 8916
11010012 = 6916
101102 = 1616