Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm
A. Phương pháp giải & Ví dụ
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C]: y = f[x] đi qua điểm M[x1; y1]
Cách 1 :
Liên quan: viết phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm
– Phương trình đường thẳng [d] đi qua điểm M có hệ số góc là k có dạng :
y = k[ x – x1] + y1.
– [d] tiếp xúc với đồ thị [C] tại N[x0; y0] khi hệ:
Cách 2 :
– Gọi N[x0; y0] là tọa độ tiếp điểm của đồ thị [C] và tiếp tuyến [d] qua điểm M, nên [d] cũng có dạng y = y’0[x – x0] + y0.
– [d] đi qua điểm nên có phương trình : y1 = y0′[x1 – x0] + y0 [*]
– Từ phương trình [*] ta tìm được tọa độ điểm N[x0; y0] , từ đây ta tìm được phương trình đường thẳng [d]
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hàm số y = 2×3 – 3×2 + 5 có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A [19/12; 4] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.
Hướng dẫn:
Hàm số đã cho xác định D = R
Ta có: y’ = 6×2 – 6x
Gọi M[x0; y0]∈[C]⇔ y0 = 2×03 – 3×02 + 5 và y'[x0] = 6×02 – 6×0
Phương trình tiếp tuyến Δ của [C] tại M có dạng:
y – y0 = y’[x0][x – x0]
⇔ y – 2×03 + 3×02 – 5 = [6×02 – 6×0][x – x0 ]
⇔ [6×02- 6×0]x – 4×03 + 3×03 + 5 = y
A ∈ Δ ⇔4 =[6×02 – 6×0].[19/12] – 4×03 + 3×03 + 5
⇔8×03 – 25×02 + 19×0 – 2 = 0
⇔x0 = 1 hoặc x0 = 2 hoặc x0 = 1/8
Với x0 = 1 ⇒ Δ:y = 4
Với x0 = 2 ⇒ Δ:y = 12x – 15
Với x0 = 1/8 ⇒ Δ:y = [-21/32]x + 645/128
Bài 2: Cho hàm số:
Hướng dẫn:
TXĐ: D = R{1}
Gọi điểm M[x0; y0].
Ta có y’ = -3/[x-1]2
Tiếp tuyến Δ tại M của [C] có phương trình:
Vì tiếp tuyến qua A[0; m] nên ta có:
Yêu cầu bài toán ⇔ [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Khi đó:
Ta có: [*] có hai nghiệm a, b khác 1 sao cho
Vậy 1 ≠ m > [-2/3] là những giá trị cần tìm
Bài 3: Cho hàm số y = x3 – 2×2 + [m – 1]x + 2m có đồ thị là [Cm]. Tìm m để từ điểm M[1; 2] vẽ đến [Cm] đúng hai tiếp tuyến.
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = 3×2 – 4x + m-1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y =[3a2-4a+m-1][x-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m
Vì M ∈ Δ ⇔2 = [3a2-4a+m-1][1-a] + a3-2×2+[m-1]a+2m
⇔2a3+5a2-4a+3m-3 = 0 [*]
Yêu cầu bài toán tương đương với [*] có đúng hai nghiệm phân biệt. [1]
Xét hàm số: h[t] = 2t3+5t2-4t, t∈R.
Ta có: h’[t] = 6t2+10t-4. Cho h’[t] = 0 ⇒
Bảng biến thiên
Dựa vào bảng biến thiên, suy ra [1]
⇒
Bài 4: Cho hàm số y = [1/3]x3-2×2+3x có đồ thị là [C]. Tìm phương trình các đường thẳng đi qua điểm A[4/9; 4/3] và tiếp xúc với đồ thị [C] của hàm số.
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = x2-4x+3. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 3x
Với a = 1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4/3
Với a = 8/3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-5/9]x + 128/81
Bài 5: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [3/4]x – 1/2
Với a = 3, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 4
Bài 6: Viết phương trình tiếp tuyến d với đồ thị [C]:
Hướng dẫn:
Ta có:
Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm.
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
Với a = 0, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = -x-1
Với a = 6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = [-1/4][x-6] + 2 = [-1/4]x + 7/2
Bài 7: Viết phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 – 2×2 + x + 4 đi qua điểm M[ -4; -24]
Hướng dẫn:
Ta có: y’ = 3×2-4x+1. Gọi A[a; b] là tọa độ tiếp điểm
Phương trình tiếp tuyến Δ tại A:
y = [3a2-4a+1][x-a]+a3-2a2+a+4
Vì A[-4; -24] ∈ Δ ⇔ -24 = [3a2-4a+1][-4-a]+a3-2a2+a+4
⇔ -2a3-10a2+16a+24 = 0 ⇔
Với a = -6, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 133[x+6]-240 = 133x+508
Với a = 2, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 5[x-2]+6 = 5x-10
Với a = -1, phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = 8[x+1]+2 = 8x+10
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Cho hàm số
Bài 2: Tiếp tuyến kẻ từ điểm [2; 3] tới đồ thị hàm số
A. y = -28x + 59; y = x + 1
B. y = -24x + 51; y = x + 1
C. y = -28x + 59
D. y = – 28x + 59; y = -24x + 51
Bài 3: Cho hàm số
A.y = [3/4]x
B. y = [3/4][x+1]
C. y = 3[x + 1]
D. y = 3x + 1
Bài 4: Qua điểm A[0; 2] có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến với đồ thị của hàm số y = x4 – 2×2 + 2
A. 2 B. 3 C. 0 D. 1
Bài 5: Cho hàm số y = – x4 + 2×2 có đồ thị [C]. Xét hai mệnh đề:
[I] Đường thẳng Δ: y = 1 là tiếp tuyến với [C] tại M[-1; 1] và tại N[1; 1]
[II] Trục hoành là tiếp tuyến với [C] tại gốc toạ độ
Mệnh đề nào đúng?
A. Chỉ [I]
B. Chỉ [II]
C. Cả hai đều sai
D. Cả hai đều đúng
Bài 6: Cho hàm số y = x3 – 6×2 + 9x – 1 có đồ thị là [C]. Từ một điểm bất kì trên đường thẳng x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến [C]:
A. 2 B. 1 C. 3 D. 0
Bài 7: Đường thẳng y = 3x + m là tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 + 2 khi m bằng
A. 1 hoặc -1
B. 4 hoặc 0
C. 2 hoặc -2
D.3 hoặc -3
Bài 8: Định m để đồ thị hàm số y = x3 – mx2 + 1 tiếp xúc với đường thẳng d: y = 5?
A. m = -3 B. m = 3 C. m = -1 D. m = 2
Bài 9: Phương trình tiếp tuyến của [C]: y = x3 biết nó đi qua điểm M[2; 0] là:
A. y = 27x ± 54
B. y = 27x – 9; y = 27x – 2
C. y = 27x ± 27
D. y = 0; y = 27x – 54
Bài 10: Cho hàm số y = x2 – 5x – 8 có đồ thị [C]. Khi đường thẳng y = 3x + m tiếp xúc với [C] thì tiếp điểm sẽ có tọa độ là:
A. M[4; 12] B. M[- 4; 12] C. M[-4; – 12] D. M[ 4; – 12]
Bài 11: Cho hàm số
A. y = -x + 1 và y = x – 3
B. y = 2x – 5 và y = -2x + 3
C. y = -x – 1 và y = – x + 3
D. y = x + 1 và y = – x – 3
Bài 12: Cho hàm số y = x3 + 3×2 – 6x + 1 [C]. Tìm phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C] trong các phương trình sau, biết tiếp tuyến đi qua điểm N[0; 1].
Bài 13: Cho hàm số y = x4 + x2 + 1 [C]. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị [C], biết tiếp tuyến đi qua điểm M[-1; 3].
A. y = -6x – 2
B. y = -6x – 9
C. y = -6x – 3
D. y = -6x – 8
Bài 14: Cho hàm số
Bài 15: Cho hàm số
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 11 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp điểm
- Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc
- 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 1]
- 60 bài tập trắc nghiệm Viết phương trình tiếp tuyến có đáp án [phần 2]
Giới thiệu kênh Youtube VietJack
Ngân hàng trắc nghiệm lớp 11 tại banmaynuocnong.com
- Hơn 75.000 câu trắc nghiệm Toán 11 có đáp án
- Hơn 50.000 câu trắc nghiệm Hóa 11 có đáp án chi tiết
- Gần 40.000 câu trắc nghiệm Vật lý 11 có đáp án
- Kho trắc nghiệm các môn khác