Bài giảng giải tích nhiều biến
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây [5.11 MB, 127 trang ]
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến
2010 -2 011
Bài số 1
HÀM VÉC TƠ MỘT BIẾN. MỘT SỐ MẶT CONG TRONG R3 .
HỆ TỌA ĐỘ TRỤ, HỆ TỌA ĐỘ
I. Giải tích véc tơ.
1. Nhắc lại tham số của đường cong.
x = f [t ]
Dạng:
[1]
y = g [t ]
Trong các bài toán Vật lý ta thường xét một chuyển động điểm và t
được hiểu là thời gian được đo từ thời điểm mà chuyển động bắt đầu.
Điểm P = [x , y ] = [x [t ], y[t ]] vạch một đường cong khi t biến
thiên: t1 ≤ t ≤ t2 .
Nhận xét: 1. Phương trình tham số mô tả
+ Quỹ đạo mà điểm di chuyển
+ Hướng của chuyển động
+ vị trí của quỹ tích đối với nhiều giá trị của t ,
2. Với mỗi t ta xác định được vị trí của điểm P [x [t ], y[t ]] .
3. Có thể có nhiều cách tham số hóa một đường cong.
2. Hàm véc tơ một biến
a. Định nghĩa : Xét đường cong có phương trình tham số:
x = x [t ]
y = y[t ]
Mét ®iĨm P = [x,y] chun ®éng däc theo ®−êng cong trong mặt
phẳng xy, tại mỗi thời điểm t sẽ xác định vị trí của điểm
P = [x , y ] = [x [t ], y[t ]] . Nh− vËy vÐc t¬ định vị của điểm chuyển động sẽ miêu tả chính xác sự
chuyển động.
Khi đó: R[t ] = OP = x [t ]i+y[t ]j đợc gọi là một hàm véc tơ cđa t vµ viÕt R = R[t].
1
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin
2010 -2 011
b. Giới hạn. Tính liên tục
Ta nói r»ng lim R [t ] = R 0
t →t0
R[t ] − R 0 < ε.
khi vµ chØ khi ∀ ε > 0, ∃δ > 0 : ∀t, 0 < t − t0 < δ th× ta cã
[Chó ý: A-B = [a1 − b1 ]2 + [a 2 − b2 ]2 ].
Nh− vËy: nÕu R[t ] = x [t ]i + y[t ] j;
R 0 = x 0i + y 0 j
;
khi ®ã
lim x [t ] = x
0
t →t
lim R [t ] = R 0 ⇔ 0
t →t0
lim y[t ] = y 0 .
t t0
R[t] đợc nói là liên tục tại t = t 0 nếu lim R [t ] = R [t0 ]
t →t0
cã nghÜa lµ R[t ] R[t 0 ] có thể có giá trị nhỏ tuỳ ý khi lấy t đủ gần t 0 .
Nh− vËy : R[t ] = x [t ]i + y[t ] j;
R[t 0 ] = x [t 0 ]i + y[t 0 ]j
.
R [t ] liªn tơc nÕu x[t] và y[t]
lim x [t ] = x [t ]
0
cùng liên tơc, tøc lµ lim R [t ] = R 0 ⇔ t →t0
t →t0
lim y[t ] = y[t0 ].
t t0
c. Đạo hàm của hàm véc tơ R = R[t].
Cho hàm véc tơ : R[t ] = x [t ]i + y[t ] j , khi t biÕn thiªn tới t+ t , sự thay đổi trong R là
Xét giíi h¹n :
∆R = R[t +∆t ] - R[t ]
= x [t + ∆t ] - x [t ] i + y[t + ∆t ] - y[t ] j
∆R
R[t + ∆t ] − R[t ]
lim
= lim
∆t → 0 ∆ t
∆t 0
t
nếu giới hạn đó tồn tại ta nói rằng hàm véc tơ R[t] có đạo hàm [khả vi] theo t, và giá trị giới hạn
dR
đó là đạo hàm cấp 1 cđa R[t] , ký hiƯu : R '[t ],
dt
dR dx
dy
=
i+
j
dt
dt
dt
tơng tự đối với đạo hàm cấp hai : R[t] cho d2R/dt2. ..
Nhận xét : Hàm véc tơ R[t] khả vi khi và chỉ khi các hàm vô hớng x[t] và y[t] là những hàm
khả vi và R '[t ] = [[x '[t ], y '[t ]] .
VÝ dô: XÐt hàm véc tơ R[t ] = [2t 2 + t + 1]i + [t 3 + t ] j , khi ®ã ta cã
R[t ] = [4t + 1]i + [3t 2 + 1] j .
2
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin
2010 -2 011
Các quy tắc tính đạo hàm: Cho R1[t ], R 2 [t ], R[t ] là các hàm véc tơ khả vi, u[t ] là hàm vô
hớng [hàm số] khả vi. Khi đó :
1]
d R 1 dR 2
d
R1 ± R 2 ] =
±
[
dt
dt
dt
2]
d
dR
du
[uR] = u
+R
dt
dt
dt
3] NÕu R = R[u ],
dR dR du
=
⋅
dt
du dt
u = u[t ] , ta sÏ cã
4] NÕu R[t ] = R * lµ véc tơ hằng [không thay đổi khi t thay đổi] thì
dR d R *
=
= O [véc tơ O].
dt
dt
ý nghĩa hình học : Xét hàm véc tơ R[t ] , các ®iĨm ci P
biĨu diƠn R[t ] v¹ch mét ®−êng cong. Khi đó đạo hàm dR/dt
là véc tơ tiếp xúc với đờng cong tại điểm ngọn P của R, và độ
dài của véc tơ đó là:
2
2
dx
dy
dx 2 + dy 2
dR
ds
= + =
=
dt
dt
dt
dt
dt
Nh vậy : Véc tơ
dR
dt
có hớng chính là hớng của chuyển động, độ dài bằng tốc độ của
chuyển động.
Ví dụ 1 : Cho R = [4cos2t]i + [3sin2t]j , h y tìm quỹ đạo chuyển động của điểm cuối P biểu
diễn hàm véc tơ đó, tính vận tốc v và các điểm trên đờng trong đó v là lớn nhất và nhỏ nhất.
Giải + Phơng trình tham số x = 4cos2t, y = 3sin2t, do đó
đờng ellipse nh ở hình
x 2 y2
+
=1
16
9
3
lµ
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin
2010 -2 011
Điểm P = [x, y] chuyển động trên ellip ngợc chiều kim đồng hồ.
+ Vận tốc là
+ Tốc độ là
v = v = [64 sin2 2t + 36 cos2 2t ]1/2 = [28 sin 2 2t + 36]1/2 .
+ Tốc độ nhỏ nhất là 6 khi sin2t = 0, và đạt đợc khi P ở hai đầu trục phụ.
+ Tốc độ lớn nhất là 8 khi sin2t=1 do đó cos2t=0 nghĩa là P ở hai đầu trục chính.
Vận tốc v của điểm chuyển động là tốc độ biến thiên vị trí
của nó, gia tốc a là là tốc độ biến thiên của vận tốc của điểm :
dv d 2 R
a=
= 2 .
dt
dt
Nếu điểm dịch chuyển P là vị trí chuyển động cơ học của
một vật có khối lợng m chuyển động dới tác động của lực F,
theo Định luật II Newton
F = ma
Nh vậy: lực và gia tốc có cùng hớng. Cả F và a hớng tới
bề lõm của đờng cong[trừ một số trờng hợp ngoại lệ F và a có thể tiếp xúc với đờng cong].
Ví dơ1.[tiÕp tơc]. Ta cã gia tèc a cđa vËt chun ®éng
a=
dv
= [−16 cos 2t ]i + [−12 sin 2t ] j
dt
a= - 4 [4 cos 2t ] i + [3 sin 2t ] j = - 4R
hay lµ :
Nh− vậy: Gia tốc luôn luôn hớng đến tâm của đờng ellipse.
Ví dụ 2: [Chuyển động tròn đều]. Một vật có khối lợng m chuyển động ngợc chiều kim đồng
hồ dọc đờng tròn x2+ y2= r2 với tốc độ không đổi v. H y tÝnh gia tèc cđa vËt vµ lùc cần thiết để
tạo ra sự chuyển động .
Giả: + Đờng cong quỹ đạo có thể viết nh sau
R = [rcos θ ]i +[rsin θ ]j
+ V× s=r θ ta cã : v =
ds
dθ
=r
dt
dt
+ Do ®ã d θ /dt = v/r, nªn
v=
d R dR d θ
v
=
= [−r sin θ ] i + [r cos θ ] j
dt
d θ dt
r
= v [− sin θ ] i + [cos θ ] j
4
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến
vµ :
a=
2010 -2 011
dv d v d θ
v
v2
=
= v [− cos θ]i + [− sin θ] j
= − [cos ]i + [sin ] j
dt
d dt
r
r
Bằng cách nhân và chia cho r ta cã a = - [v2/r2]R. Nh− vậy,vectơ gia tốc a hớng về tâm của
đờng tròn và có độ lớn
a =
v2
v2
R
=
.
r
r2
Theo định luật của Newton, lực F cần thiết để tạo ra chuyển động phải hớng về tâm của đờng
tròn : Lực này đợc gọi là lực hớng tâm.
d] Véc tơ tiếp tuyến đơn vị
Xét tham số s là độ dài cung đo dọc theo đờng cong từ điểm cố
định P 0 đến P. Khi đó R = R[s ] và véc tơ T đợc định nghĩa:
T=
dR
R
= lim
t 0 s
ds
là véc tơ véc tơ tiếp tuyến đơn vị đối với đờng cong tại P.
Ta có :
v=
dR dR ds
ds
=
=T
dt
ds dt
dt
hớng của v đợc chỉ ra bởi T và độ lớn là ds/dt.
e] Véc tơ pháp tuyến đơn vị
Xét góc [góc tạo bởi chiều dơng trục x và tiếp tuyến tại P]
ta có véc tơ tiếp tuyến đơn vÞ
T = i cos φ + j sin φ
dT
= - i sin φ + j cos φ
dφ
→
dT
= N lµ vÐc tơ pháp tuyến đơn vị tại điểm P .
d
f] Độ cong
Vì hớng của đờng cong đợc quy định bởi góc từ trục
x đến tiếp tuyến, ta xét góc này nh một hàm số của độ dài
cung s và định nghĩa độ cong k là tốc độ biến thiên của φ theo
s:
k=
dφ
.
ds
5
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến
2010 -2 011
+] k > 0 cã nghÜa lµ tăng khi s tăng và đờng cong này dịch chuyển xa sang bên trái của
đờng tiếp tuyến theo hớng dơng.
+] k < 0 nghĩa là chuyển xa sang bên phải của tiếp tuyến.
Nhận xét :
Đờng thẳng có độ cong bằng không.
Đờng tròn bán kính a có độ cong: k =
d
2
1
=
= .
ds
2 a a
Độ cong của đồ thị của hàm sè y = f[x] lµ:
k=
d 2y
dx 2
2
dy
1 +
dx
3/2
x = x [t ]
NÕu một đờng cong cho dới dạng tham số
thì độ cong của nó đợc
y = y[t ]
tính theo công thức:
k=
x y ′′ − y ′x ′′
2
2
[x ′] + [y ′]
3/2
VÝ dơ 1: Chøng minh r»ng ®é cong cđa parabola y = x2 là lớn nhất tại đỉnh của nó.
Giải : TÝnh to¸n cơ thĨ ta cã k=
d 2y
dx 2
2
dy
1 +
dx
3/2
=
2
3/2
[1 + 4x ]
2
. Rõ ràng, đại lợng này có giá trị
lớn nhất khi x = 0 nghĩa là tại đỉnh.
II. Mặt trụ. Mặt tròn xoay. Mặt bậc hai
1. Nhắc lại một số đờng bậc hai trong mặt phẳng
Đờng cong trong mặt phẳng xy thờng có phơng trình dạng F [x , y ] = 0 , các đờng cô nic:
[E] Elip:
x 2 y2
+
=1
a 2 b2
[H] – Hypecbol:
x 2 y2
−
= ±1
a 2 b2
6
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiu bin
[P] Parabol:
x 2 = 2py;
[C] - Đờng tròn:
[x − a ]2 + [y − b]2 = R 2 …..
2010 -2 011
y 2 = ±2px
2. MỈt trơ
a. Định nghĩa: Xét một đường cong phẳng C và một đường
thẳng L không song song với mặt phẳng của C. Mặt trụ là hình
trong khơng gian được sinh ra bởi một đường thẳng dịch chuyển
song song với L và tựa trên C. Đường thẳng chuyển động đó
được gọi là đường sinh của mặt trụ. Đường cong [C] goi là
đường chuNn.
Nếu C là đường trịn và L là đường thẳng vng góc với mặt phẳng chứa đưịng trịn khi đó ta
được mặt trụ trịn xoay.
b. Phương trình của mặt trụ: Giả sử đường cong cho
trước [C] có phương trình [trong Oxy ]: F [x , y ] = 0
và cho đường sinh song song với trục z.
Khi đó
phương trình F [x , y ] = 0 trong Oxyz cũng là
phương trình của mặt trụ trong không gian ba chiều.
Cách gọi tên: Mặt trụ + tên đường chu n+ ic
Kết luận Bất cứ một phương trình trong hệ toạ độ Oxy khuyết một biến đều biểu diễn một mặt
trụ với các đường sinh song song với trục toạ độ tương ứng với biến bị khuyết.
x 2 y2
.
+
=1
9
4
Giải + Đây là phương trình của mặt trụ vì khuyết z trong Oxyz với các đường sinh song song với
trục z. Mặt cong này được gọi là mặt trụ elliptic.
Ví dụ 1. Vẽ mặt trụ:
7
Tiến sỹ: Nguyễn
n Hữu
Hữ Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giảii tích nhiều biến
bi
2010 -2 011
Ví dụ 2. Vẽ mặt trụ z = x 2
Giải: Đây mặt trụ với các đường
ờng sinh song song với
v trục y vì khuyết biến
ến y trong phương
ph
trình.
Mặt cong này được gọi là mặt
ặt trụ
tr parabolic.
3. Mặt tròn xoay
a. Định nghĩa: Một mặtt cong do xoay đường cong phẳng [C]
quanh một đường thẳng
ng L không cùng thuộc
thu mặt phẳng chứa
[C] được gọi là mặtt tròn xoay với trục L.
Đường cong [C] lúc này gọi
ọi là đường sinh của mặt trịn xoay.
b. Mơ tả phương trình mặt
ặt trịn xoay:
Giả sử đường cong C nằm
m trong mặt
m phẳng yz có phương trình
f [y, z ] = 0
Khi đường
ng cong này xoay quanh trục
tr z, đường cong C sẽ tạo
nên mặt trịn xoay có p/t:
f [± x 2 + y 2 , z ] = 0
Ví dụ 3. Nếu đuờng thẳng z=3y trong mặt phẳng yz xoay tròn
quanh trục z thì mặtt trịn xoay là một
m mặt nón hai tầng với đỉnh
tại gốc toạ độ và trục là trục z.
z Để có phương trình của mặt nón
này chúng ta
thay thếế y trong phương
ph
trình z=3y bởi
± x 2 + y 2 và sau đó hữuu tỷ hố bằng
b
bình phương:
z = ±3 x 2 + y 2 ⇔ z 2 = 9[x 2 + y 2 ] .
4. Mặt bậc hai
a. Phương trình tổng
ng qt của
củ mặt bậc hai
Trong khơng gian ba chiều,
u, dạng
dạ tổng qt của phương trình bậc hai có dạng
ạng:
Ax 2 + By 2 + Cz 2 + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Iz + J = 0
giả thiết rằng tất cả các hệệ số A,B,…,F không đồng thời bằng không nên bậc
b của phương trình
thực sự là bậc 2. Đồ thị của
ủa các phương
ph
trình này được gọi là mặt bậc hai.
b. Các dạng mặt bậc hai thư
ường gặp
Có chính xác sáu loại mặt bậc
ậc hai không suy biến:
bi
1.
Ellipsoid.
2.
Hyperboloid một tầng.
ầng.
8
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến
3.
Hyperboloid hai tầng.
4.
Mặt nón elliptic.
5.
Paraboloid Elliptic
6.
Paraboloid Hyperbolic.
c. Một số ví dụ:
Ví dụ 1: Mặt ellipsoid:
x 2 y2 z 2
+ +
=1
a 2 b2 c2
+ Bậc của x,y,z chẵn nên mặt cong đối xứng qua mỗi mặt
phẳng toạ độ.
+ Các lát cắt trong mặt phẳng xz và yz là các ellip:
x2 z2
+
=1;
a 2 c2
y2 z 2
+
=1
b2 c2
+ Lắt cắt trong mặt phẳng nằm ngang z=k là elip:
x 2 y2
k2
+
=
1
−
a 2 b2
c2
và elip này giảm dần kích thước khi k biến thiên từ 0 tới c hoặc – c.
x 2 y2 z 2
Ví dụ 2. Đồ thị của phương trình 2 + 2 − 2 = 1
a
b
c
là một hyperboloid một tầng.
+ Nếu viết p/trình dưới dạng :
x 2 y2
z2
+
= 1+ 2
a 2 b2
c
thì chúng ta nhận thấy lát cắt ngang trong mặt phẳng z=k là các ellip, và
các elip này lớn dần khi dịch chuyển xa mặt phẳng xy.
+ Lát cắt của mặt cong trong mặt phẳng yz là hyperbol :
y2 z 2
− =1
b2 c2
Ví dụ 3 : Mặt hyperboloid hai tầng:
−
x2
y2
z2
−
+
=1
a2
b2
c2
+ Nếu chúng ta viết phương trình theo dạng:
x 2 y2
z2
+
=
−1
a2
b2
c2
9
2010 -2 011
Tiến sỹ: Nguyễn Hữu Thọ
Bài giảng Mơn Tốn 2-Giải tích nhiều biến
2010 -2 011
thì các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z=k với k ≥ c là các ellip hoặc các điểm riêng biệt,
còn các lát cắt ngang nằm trong mặt phẳng z=k với k < c là rỗng.
+ Lát cắt trong mặt phẳng yz là hypecbol :
Ví dụ 4. Đồ thị của phương trình:
z 2 y2
− = 1.
c2 b2
x 2 y2
z2
+
=
a 2 b2
c2
là một mặt nón elliptic.
+ Mặt cong này giao với các mặt phẳng xz và yz theo các cặp đường thẳng giao nhau
c
z = ± x,
a
c
z =± x
b
+ Giao với mặt phẳng xy tại gốc toạ độ.
+ Tất cả các lát cắt ngang bị căt bởi mặt phẳng z=k với k ≠ 0 là các elip.
+ Khi a=b, mặt nón là mặt nón trịn.
Ví dụ 5: Mặt paraboloid elliptic: z = ax 2 + by 2
+Lát cắt thẳng đứng của mặt cong với mặt phẳng xz và mặt phẳng
yz là các parabol: z = ax 2,
z = by 2
+ Các lát cắt nằm ngang của mặt cong này trong mặt phẳng z=k là
các elip nếu k>0, là gốc toạ độ nếu k=0 và rỗng nếu k