Ma trận chuẩn tắc là gì
Show ma trận Joocđăng (Jordan) có dạng: trong đó mỗi Ai là một ma trận vuông (gọi là khung Joocđăng) và có dạng: Mọi ma trận vuông A bậc n trên một trường K đều đồng dạng với một ma trận Joocđăng Posts Tagged ‘dạng chuẩn tắc’Phương pháp đơn hình (Simplex method) (2) – Hướng làm giảm hàm mục tiêu, điều kiện tối ưu, phương pháp đơn hìnhPosted by Trần Quốc Long trên Tháng Hai 25, 2008 Định nghĩa (hướng chấp nhận được): Xét một điểm thuộc đa diện lồi . Ta gọi hướng là hướng chấp nhận được (feasible direction) của tại nếu tồn tại sao cho . Nhận xét: Trong phương pháp đơn hình, thay vì chọn một nghiệm cơ sở bất kì, ta sẽ đi từ nghiệm cơ sở chấp nhận được này đến một nghiệm cơ sở chấp nhận được khác theo một hướng chấp nhận được sao cho hàm mục tiêu sẽ giảm đi. Nhớ lại rằng, nếu là một nghiệm cơ sở chấp nhận được của đa diện lồi ở dạng chuẩn tắc thì tồn tại một bộ chỉ số sao cho
Một nghiệm cơ sở chấp nhận được khác phải tương ứng với một bộ chỉ số khác. Như vậy nếu ta xét một chỉ số , và chọn một hướng chấp nhận được sao cho thì đi theo hướng này, ta sẽ có tức là mọi nghiệm cơ sở chấp nhận được trên hướng này sẽ là nghiệm cơ sở tương ứng với một bộ chỉ số chỉ khác bộ chỉ số cũ ở duy nhất một chỉ số. Bây giờ ta sẽ tính các giá trị sao cho là hướng chấp nhận được. Ta gọi đây là hướng chấp nhận được tương ứng với biến (gọi tắt là hướng chấp nhận được thứ ). Định lý (hướng chấp nhận được thứ ): Xét nghiệm cơ sở chấp nhận được của đa diện lồi dạng chuẩn tắc và bộ chỉ số cơ sở tương ứng của . Hướng chấp nhận được thứ là hướng , trong đó với và Chứng minh: Để với nào đó, ta có vì . Suy ra Nhận xét: Với hướng chấp nhận được thứ , hàm mục tiêu bị thay đổi như sau với . Mục tiêu của ta là phải chọn sao cho thì hàm mục tiêu sẽ giảm trên hướng chấp nhận được thứ . Định nghĩa (thay đổi ở hướng chấp nhận được thứ ): Xét nghiệm cơ sở chấp nhận được của đa diện lồi dạng chuẩn tắc và ma trận cơ sở tương ứng của , thay đổi ở hướng chấp nhận được thứ là đại lượng Véctơ chứa giá trị thay đổi ở tất cả các hướng Nhận xét: Nếu thì Tức là với mọi chỉ số thuộc vào bộ chỉ số cơ sở của thì không có thay đổi trên hướng . Định lý (điều kiện tối ưu của nghiệm cơ sở chấp nhận được): Nếu là nghiệm cơ sở chấp nhận được của đa diện lồi dạng chuẩn tắc và là véc tơ chứa giá trị thay đổi trên các hướng thì
Lưu ý: Khi ta còn gọi là nghiệm cơ sở không suy biến (nondegenerate basic solution). Chứng minh (1): Xét một điểm , ta có , suy ra vì và theo giả thiết. Suy ra . Chứng minh (2): Giả sử ngược lại tồn tại sao cho . Xét hướng là hướng chấp nhận được thứ . Do và nên nếu đi theo hướng , các tọa độ . Mặt khác, do nên ta có thể chọn đủ nhỏ sao cho . Như vậy, đi theo hướng ta vẫn nằm trong nhưng lại giảm được giá trị hàm mục tiêu do , mâu thuẫn vì là nghiệm tối ưu. Nhận xét:
Định lý: Nếu là nghiệm cơ sở chấp nhận được của đa diện lồi dạng chuẩn tắc , hướng là hướng chấp nhận được thứ và thì là nghiệm cơ sở chấp nhận được tương ứng với bộ chỉ số . Nghĩa là trong hệ cơ sở mới, ta thay bằng . Chứng minh: Rõ ràng , hơn nữa do và nên . Như vậy . Ta chỉ còn cần chứng minh ma trận cơ sở mới là ma trận khả nghịch. Xét ma trận trong đó là véc tơ cơ sở thứ trong hệ tọa độ Đềcác của và . Dễ thấy do đó hay khả nghịch. Phương pháp đơn hình (simplex method):
Định lý (tính đúng đắn của phương pháp đơn hình): Nếu tất cả các nghiệm cơ sở chấp nhận được của bài toán QHTT đều là nghiệm cơ sở không suy biến thì phương pháp đơn hình luôn dừng và khi đó có hai khả năng xảy ra:
Chứng minh: Vì tất cả các nghiệm cơ sở chấp nhận được đều không suy biến nên ta luôn có Nghĩa là sau mỗi bước của thuật toán, giá trị hàm mục tiêu bị thay đổi một lượng bằng Tức là không có nghiệm cơ sở chấp nhận được nào bị lặp lại, hơn nữa, số lượng nghiệm cơ sở chấp nhận được là hữu hạn nên thuật toán phải dừng. Nếu thuật toán dừng ở bước 3 thì ta có nghiệm tối ưu theo định lý về điều kiện tối ưu của nghiệm cơ sở ở trên. Nếu thuật toán dừng ở bước 5, ta có và do đó bài toán QHTT không bị chặn và không có nghiệm tối ưu (từ đi theo hướng thì . Nhận xét:
Posted in Quy hoạch tuyến tính | Thẻ: dạng chuẩn tắc, hướng chấp nhận được, nghiệm cơ sở, phương pháp đơn hình, suy biến, điều kiện tối ưu | Leave a Comment » Phương pháp đơn hình (Simplex method) (1) – Bài toán QHTT, dạng chuẩn tắc và các định lý cơ bảnPosted by Trần Quốc Long trên Tháng Hai 23, 2008 Định nghĩa 1 (Quy hoạch tuyến tính). Bài toán quy hoạch tuyến tính (linear programming) là bài toán tìm cực tiểu sau . Xem thêm ở bài về bài toán đối ngẫu. Nhận xét:
Định nghĩa 2 (Dạng chuẩn tắc). Bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn tắc (standard form) là bài toán tìm cực tiểu sau: Nhận xét:
Định lý (hàm tuyến tính bị chặn đạt cực trị trong đa diện lồi). Nếu hàm tuyến tính bị chặn dưới trong đa diện lồi thì nó đạt cực tiểu trong đa diện lồi đó. Đồng thời nếu đa diện lồi không chứa đường thẳng thì hàm tuyến tính đó đạt cực tiểu tại một trong các điểm cực biên. Chứng minh:Xem trong bài cấu trúc của đa diện lồi. Hệ quả: Với bài toán quy hoạch tuyến tính ở dạng chuẩn tắc, do điều kiện nên đa diện lồi tạo nên bởi các ràng buộc không chứa đường thẳng. Do đó, hàm tuyến tính phải đạt giá trị cực tiểu (nếu có) ở một trong các điểm cực biên. Định nghĩa (nghiệm cơ sở): Điểm gọi là nghiệm cơ sở (basic solution) của đa diện lồi nếu có ràng buộc được kích hoạt tại độc lập tuyến tính, tức là tồn tại tập chỉ số và độc lập tuyến tính. Lưu ý: Nghiệm cơ sở có thể không phải là điểm nằm trong đa diện lồi. Định nghĩa (nghiệm cơ sở chấp nhận được): Điểm là nghiệm cơ sở chấp nhận được (basic feasible solution) của nếu và là nghiệm cơ sở của . Định lý (điều kiện của điểm cực biên của đa diện lồi): Cho điểm là điểm thuộc đa diện lồi , các mệnh đề sau đây tương đương
Chứng minh: ““: Xem trong bài cấu trúc của đa diện lồi. ““: Nếu là nghiệm cơ sở chấp nhận được, tức là tồn tại và độc lập tuyến tính. Chọn , ta sẽ chứng minh hàm tuyến tính đạt cực đại duy nhất trên tại . Thật vậy, xét một điểm , ta có Như vậy, hàm tuyến tính đạt cực đại trên tại . Đồng thời ta cũng thấy dấu bằng không thể xảy ra trong bất đẳng thức này nếu , vì nếu như vậy, ta sẽ có , nhưng do độc lập tuyến tính nên điểm thỏa mãn đẳng thức này chỉ có duy nhất 1 điểm . Vậy , tức là là đỉnh của . ““: Xem trong bài siêu phẳng đỡ và điểm cực biên. Nhận xét:
Hệ quả: Do số tổ hợp chập của là hữu hạn nên ta có một thuật toán đơn giản sau để giải bài toán quy hoạch tuyến tính (dạng gốc)
Nhận xét:
Định lý (điều kiện của nghiệm cơ sở của đa diện lồi ở dạng chuẩn tắc): Cho đa diện lồi và giả sử độc lập tuyến tính, điểm là nghiệm cơ sở của nếu và chỉ nếu tồn tại bộ chỉ số sao cho
Ta gọi ma trận
là ma trận cơ sở tương ứng của
. ““: Giả sử (1) và (2) đều xảy ra, ta sẽ chứng minh là nghiệm cơ sở của . Thật vậy, các ràng buộc được kích hoạt tại là
với là véc tơ thứ trong hệ cơ sở của hệ tọa độ Đềcác. Các véctơ không thể là tổ hợp tuyến tính của các véctơ vì nếu như vậy, tức là tồn tại sao cho Suy ra , với là các dòng của vì , suy ra mâu thuẫn vì khả nghịch. Vậy tại có ràng buộc độc lập tuyến tính, hay là nghiệm cơ sở của . ““: Giả sử là nghiệm cơ sở của , do có ràng buộc độc lập tuyến tính được kích hoạt nên là điểm duy nhất mà cả ràng buộc này được kích hoạt. Giả sử các chỉ số là các chỉ số mà . Rõ ràng vì có ít nhất ràng buộc dạng được kích hoạt (do chỉ có ràng buộc dạng đã được kích hoạt). Ta có Ta sẽ chứng minh các cột độc lập tuyến tính. Thật vậy, giả sử tồn tại bộ số không đồng thời bằng sao cho Suy ra nếu đặt sao cho thì Nghĩa là véc tơ không phải là véc tơ duy nhất kích hoạt ràng buộc độc lập tuyến tính, mâu thuẫn. Vậy các cột độc lập tuyến tính. Hơn nữa, do hàng của ma trận độc lập tuyến tính nên không gian tuyến tính tạo bởi các cột của phải là . Suy ra, nếu ta có thể chọn thêm các cột khác để tạo nên một bộ cơ sở của . Bộ chỉ số rõ ràng thỏa mãn hai điều kiện (1) và (2). Nhận xét: Đối với bài toán QHTT ở dạng chuẩn tắc, thuật toán trên có thể biến đổi như sau:
Posted in Quy hoạch tuyến tính | Thẻ: dạng chuẩn tắc, ma trận cơ sở, nghiệm cơ sở, nghiệm cơ sở chấp nhận được, Quy hoạch tuyến tính, ràng buộc, Thuật toán, đỉnh, đối ngẫu, độc lập tuyến tính, điểm cực biên | Leave a Comment » |