Ví dụ 1: Tính \[\sin \frac{{5\pi }}{{12}};c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với sin và cos
* Ta có \[\sin \frac{{5\pi }}{{12}} = \sin \frac{{2\pi + 3\pi }}{{12}} = \sin [\frac{\pi }{6} + \frac{\pi }{4}]\]
\[\begin{array}{l} = \sin \frac{\pi }{6}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{4} + c{\rm{os}}\frac{\pi }{6}.\sin \frac{\pi }{4}\\ = \frac{1}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}.\frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\sqrt 2 + \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\]
* Ta có \[c{\rm{os}}\frac{{7\pi }}{{12}} = c{\rm{os}}\frac{{3\pi + 4\pi }}{{12}} = \cos [\frac{\pi }{4} + \frac{\pi }{3}]\]
\[\begin{array}{l} = c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}.c{\rm{os}}\frac{\pi }{3} - \sin \frac{\pi }{4}.\sin \frac{\pi }{3} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 2 }}{2}.\frac{{\sqrt 3 }}{2}\\ = \frac{{\sqrt 2 - \sqrt 6 }}{4}
\end{array}\]
Ví dụ 2: Chứng minh rằng
\[\begin{array}{l} a]{\rm{ }}\tan [\frac{\pi }{4} - a] = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b]{\rm{ }}\tan [\frac{\pi }{4} + a] = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức cộng đối với tan
\[\begin{array}{l} a]\tan [\frac{\pi }{4} - a] = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}\\ b]\tan [\frac{\pi }{4} + a] = \frac{{\tan \frac{\pi }{4} + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{\tan \frac{\pi }{4} - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}} = \frac{{1 + {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}{{1 - {\mathop{\rm t}\nolimits} {\rm{ana}}}}
\end{array}\]
Ví dụ 3: Tính sin2a, cos2a, tan2a biết \[\sin a = - \frac{3}{5}{\rm{, }}\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\]
Hướng dẫn:
+ Tính cos a bằng công thức lượng giác cơ bản thích hợp
+ Áp dụng công thức nhân đôi
\[\begin{array}{l} {\sin ^2}a + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {\sin ^2}a\\ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}a = 1 - {[ - \frac{3}{5}]^2} = \frac{{16}}{{25}} \Leftrightarrow \cos a = \pm \frac{4}{5}
\end{array}\]
Vì \[\pi {\rm{ < a < }}\frac{{3\pi }}{2}\] nên \[\cos a = - \frac{4}{5}\]
Vậy \[\sin 2a = 2\sin a.\cos a = 2.[ - \frac{3}{5}][ - \frac{4}{5}] = \frac{{24}}{{25}}\]
\[\begin{array}{l} \cos 2a = 2{\cos ^2}a - 1 = 2{[ - \frac{4}{5}]^2} - 1 = \frac{{32}}{{25}} - 1 = \frac{7}{{25}}\\ \tan 2a = \frac{{\sin 2a}}{{c{\rm{os}}2a}} = \frac{{24}}{{25}}.\frac{{25}}{7} = \frac{{24}}{7}
\end{array}\]
Ví dụ 4: Tính \[{\rm{sin}}\frac{\pi }{8};\tan \frac{\pi }{8}\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức hạ bậc
Ta có \[{\sin ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{2} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{2} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}\]
Vì \[\sin \frac{\pi }{8} > 0\] nên suy ra \[\sin \frac{\pi }{8} = \frac{{\sqrt {2 - \sqrt 2 } }}{2}\]
\[{\tan ^2}\frac{\pi }{8} = \frac{{1 - c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}}{{1 + c{\rm{os}}\frac{\pi }{4}}} = \frac{{1 - \frac{{\sqrt 2 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}\]
Vì \[\tan \frac{\pi }{8} > 0\] nên suy ra \[\tan \frac{\pi }{8} = \sqrt {\frac{{2 - \sqrt 2 }}{{2 + \sqrt 2 }}} = \sqrt {\frac{{{{[2 - \sqrt 2 ]}^2}}}{2}} = \sqrt {3 - 2\sqrt 2 } = \sqrt 2 - 1\]
Ví dụ 5: Tính giá trị của các biểu thức
\[A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}};B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\]
Hướng dẫn:
Sử dụng công thức biến đổi tích thành tổng
\[\begin{array}{l} A = \sin \frac{{15\pi }}{{12}}\cos \frac{{5\pi }}{{12}} = \frac{1}{2}\left[ {\sin \left[ {\frac{{15\pi }}{{12}} - \frac{{5\pi }}{{12}}} \right] + \sin \left[ {\frac{{15\pi }}{{12}} + \frac{{5\pi }}{{12}}} \right]} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{10\pi }}{{12}} + \sin \frac{{20\pi }}{{12}}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{{5\pi }}{6} + \sin \frac{{5\pi }}{3}} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\sin \frac{\pi }{6} + \sin \left[ { - \frac{{2\pi }}{3}} \right]} \right] = \frac{1}{2}[\frac{1}{2} - \frac{{\sqrt 3 }}{2}] = \frac{1}{4}\left[ {1 - \sqrt 3 } \right]
\end{array}\]
\[\begin{array}{l} B = \cos {75^ \circ }.\cos {15^ \circ }\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos \left[ {{{75}^0} - {{15}^0}} \right] + \cos \left[ {{{75}^0} + {{15}^0}} \right]} \right]\\ = \frac{1}{2}\left[ {\cos {{60}^0} + \cos {{90}^0}} \right] = \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{2} + 0} \right] = \frac{1}{4}
\end{array}\]
Ví dụ 6: Chứng minh đẳng thức
\[{\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}} + \cos x = \sqrt 2 .\sin [x + \frac{\pi }{4}]\]
Hướng dẫn:
Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích để biến đổi vế trái thành vế phải của đẳng thức [có thể áp dụng công thức cộng, biến đổi VP thành VT của đẳng thức]
\[\begin{array}{l} VT{\rm{ = sinx}} + \cos x = \sin x + \sin [\frac{\pi }{2} - x]\\ = 2\sin \frac{\pi }{4}.\cos [x - \frac{\pi }{4}] = 2.\frac{{\sqrt 2 }}{2}.\cos [\frac{\pi }{4} - x]\\ = \sqrt 2 .\sin [\frac{\pi }{2} - [\frac{\pi }{4} - x]{\rm{]}} = \sqrt 2 .\sin [x + \frac{\pi }{4}] = VP
\end{array}\]
Table of Contents
Công thức cộng là những công thức biểu thị qua các giá trị lượng giác của các góc a và b. Với điều kiện là các biểu thức đều có nghĩa, ta có công thức sau:
Ví dụ 1: Tính
Giải:
Ta có
Ví dụ 2: Tính
Giải:
Ta có
Ví dụ 3: Tính
Giải:
Ta có
Ví dụ 4: Chứng minh rằng
Giải:
Áp dụng công thức cộng ta có
Chia cả tử và mẫu của vế phải cho ta được
II. Công thức nhân đôi
Cho trong các công thức cộng ta được các công thức nhân đôi sau:
Từ các công thức nhân đôi ta suy ra các công thức hạ bậc
Ví dụ 5: Biết tính
Giải:
Ta có
Ví dụ 6: Tính côsin, sin của góc
Giải:
Ta có vì
vì
Ví dụ 7: Tính góc thoả mãn và Tính
Giải:
Vì nên
Ta có
Khi đó, áp dụng công thức nhân đôi ta được
Suy ra,
Ví dụ 8: Tính góc thoả mãn Tính
Giải:
Áp dụng công thức hạ bậc ta được
Suy ra,
III. Công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
Ví dụ 9: Tính giá trị của các biểu thức
Giải:
Ta có
2. Công thức biến đổi tổng thành tích
Ví dụ 10: Tính giá trị của biểu thức
Giải:
Ta có
Ví dụ 11: Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có
Giải:
Trong tam giác ABC ta có nên
Vì vậy,
Khi đó
Giáo viên soạn: Phan Thọ
Đơn vị: Trường THCS - THPT Nguyễn Khuyến Bình Dương
Với giải bài tập Toán lớp 10 Bài 3: Công thức lượng giác chi tiết giúp học sinh dễ dàng xem và so sánh lời giải từ đó biết cách làm bài tập môn Toán 10.
Tài liệu Lý thuyết Công thức lượng giác hay, chi tiết Toán lớp 10 sẽ tóm tắt kiến thức trọng tâm về Công thức lượng giác từ đó giúp học sinh ôn tập để nắm vứng kiến thức môn Toán lớp 10.
cos[a – b] = cos a.cos b + sina.sin b
cos[a + b] = cos a.cos b – sina.sin b
sin[a – b] = sin a.cos b – cosa.sin b
sin[a + b] = sin a.cos b + cosa.sin b
sin2 a = 2sin a.cos a
cos2 a = cos2 α – sin2α = 2 cos2α – 1 = 1 – 2 sin2 α
1. Công thức biến đổi tích thành tổng
cos a.cos b =
sin a.sin b = [cos[a – b] – cos[a + b]]
sin a.cos b = [sin[a – b] + sin[a + b]].
2. Công thức biến đổi tổng thành tích