- LG a
- LG b
- LG c
- LG d
Tính các nguyên hàm sau:
LG a
\[\displaystyle \int {[2x - 3]\sqrt {x - 3} dx} \], đặt \[\displaystyle u = \sqrt {x - 3} \]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[\displaystyle u = \sqrt {x - 3} \], tính \[\displaystyle du\] và thay vào tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle u = \sqrt {x - 3} \]\[\displaystyle \Rightarrow {u^2} = x - 3 \Rightarrow 2udu = dx\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int {[2x - 3]\sqrt {x - 3} dx} \] \[\displaystyle = \int {\left[ {2\left[ {{u^2} + 3} \right] - 3} \right].u.2udu} \] \[\displaystyle = 2\int {{u^2}\left[ {2{u^2} + 3} \right]du} \] \[\displaystyle = 2\int {\left[ {2{u^4} + 3{u^2}} \right]du} \]
\[\displaystyle = 2\left[ {2.\frac{{{u^5}}}{5} + 3.\frac{{{u^3}}}{3}} \right] + C\]
\[\displaystyle = \frac{4}{5}{u^5} + 2{u^3} + C\]
\[\displaystyle = \frac{4}{5}.{\left[ {\sqrt {x - 3} } \right]^5} + 2{\left[ {\sqrt {x - 3} } \right]^3} + C\]
\[\displaystyle = \frac{4}{5}{\left[ {x - 3} \right]^{\frac{5}{2}}} +2 {\left[ {x - 3} \right]^{\frac{3}{2}}} + C\]
LG b
\[\displaystyle \int {\frac{x}{{{{[1 + {x^2}]}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\], đặt \[\displaystyle u = \sqrt {{x^2} + 1} \]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[\displaystyle u = \sqrt {{x^2} + 1} \], tính \[\displaystyle du\] và thay vào tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
Đặt \[\displaystyle u = \sqrt {{x^2} + 1} \]\[\displaystyle \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1\]
\[ \Rightarrow 2udu = 2xdx\] \[\Rightarrow udu = xdx\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int {\frac{x}{{{{[1 + {x^2}]}^{\frac{3}{2}}}}}} dx\] \[\displaystyle = \int {\frac{{udu}}{{{u^3}}}} = \int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \] \[\displaystyle = - \frac{1}{u} + C = - \frac{1}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} + C\]
LG c
\[\displaystyle \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\], đặt \[\displaystyle u = {e^{2x}} + 1\]
Phương pháp giải:
Đổi biến \[\displaystyle u = {e^{2x}} + 1\], tính \[\displaystyle du\] và thay vào tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\]\[\displaystyle = \int {\frac{{{e^x}.{e^x}}}{{\left[ {{e^x} + {e^{ - x}}} \right].{e^x}}}dx} \] \[\displaystyle = \int {\frac{{{e^{2x}}}}{{{e^{2x}} + 1}}dx} \]
Đặt \[\displaystyle u = {e^{2x}} + 1 \Rightarrow du = 2{e^{2x}}dx\]
Khi đó \[\displaystyle \int {\frac{{{e^x}}}{{{e^x} + {e^{ - x}}}}} dx\] \[\displaystyle = \int {\frac{{du}}{{2u}}} = \frac{1}{2}\ln u\] \[\displaystyle = \frac{1}{2}\ln \left[ {{e^{2x}} + 1} \right] + C\]
LG d
\[\displaystyle \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\]
Phương pháp giải:
- Biến đổi biểu thức dưới dấu nguyên hàm bằng cách sử dụng công thức:
\[\displaystyle \sin a - \sin b = 2\cos \frac{{a + b}}{2}\sin \frac{{a - b}}{2}\]
- Nhân cả tử và mẫu của biểu thức có được với \[\displaystyle \cos a\] rồi biến đổi, sử dụng phương pháp đổi biến tìm nguyên hàm.
Lời giải chi tiết:
Ta có: \[\displaystyle \frac{1}{{\sin x - \sin a}}\]\[\displaystyle = \frac{1}{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\] \[\displaystyle = \frac{{\cos a}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\]
\[\displaystyle = \frac{{\cos \left[ {\frac{{x + a}}{2} - \frac{{x - a}}{2}} \right]}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\] \[\displaystyle = \frac{{\cos \frac{{x + a}}{2}\cos \frac{{x - a}}{2} + \sin \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2\cos a\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}\]
\[\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\left[ {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right]\]
\[\displaystyle \Rightarrow \int {\frac{1}{{\sin x - \sin a}}} dx\] \[\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\int {\left[ {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}} + \frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right]dx} \]
+] Tính \[\displaystyle J = \int {\frac{{\cos \frac{{x - a}}{2}}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}dx} \] \[\displaystyle = \int {\frac{{2d\left[ {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right]}}{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}} \] \[\displaystyle = 2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| + D\]
+] Tính \[\displaystyle K = \int {\frac{{\sin \frac{{x + a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}dx} \] \[\displaystyle = \int {\frac{{ - 2d\left[ {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right]}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \] \[\displaystyle = - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right| + D\]
\[\displaystyle \Rightarrow I = \frac{1}{{2\cos a}}\left[ {J + K} \right]\] \[\displaystyle = \frac{1}{{2\cos a}}\left[ {2\ln \left| {\sin \frac{{x - a}}{2}} \right| - 2\ln \left| {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right|} \right] + C\] \[\displaystyle = \frac{1}{{\cos a}}\ln \left| {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\cos \frac{{x + a}}{2}}}} \right| + C\]