Bài 6 bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit Lý thuyết

Lý thuyết bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit: Bài 6. Bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit. 1. Khái quát

1. Khái quát: Cũng như phương trình mũ và phương trình lôgarit, các bất phương trình mũ và bất phương trình lôgarit rất phong phú về dạng và phương pháp giải. Một cách tổng quát, bất phương trình mũ[ logarit] là các bất phương trình có chứa biểu thức mũ với ẩn ở số mũ. Cách giải bất phương trình mũ, lôgarit cũng tương tự như giải phương trình mũ, lôgarit cơ bản hoặc đổi biến [đặt ẩn phụ ] để đưa về giải bất phương trình đại số. Trong chương trình chỉ giới thiệu phương pháp giải bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản, các dạng bất phương trình khác được hướng dẫn thông qua các ví dụ.

Chúng tôi cũng nhấn mạnh: Các em cần thành thạo cách giải phương trình mũ, lôgarit làm tốt điều này các m cũng thành thạo giải bất phương trình mũ,lôgarit.

2. Bất phương trình mũ cơ bản.

ax > b [ hoặc ax < b; ax ≥ b; ax ≤ b], trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a\[\ne\]1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:

– Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax > b ⇔ \[log_{a}a^{x}\] > logab ⇔  x > logab;        

ax ≥ b ⇔  x ≥  logab

ax <  b ⇔  x < logab;                                  

ax ≤ b ⇔  x ≤  logab

– Nếu b>0 và 0 b ⇔ \[log_{a}a^{x}\] < logab ⇔  x < logab;        

ax ≥ b ⇔  x ≤  logab

ax <  b ⇔  x > logab;                                  

ax ≤ b ⇔  x ≥ logab

– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax > b, ax ≥ b  đều đúng với mọi x [tập nghiện là \[\mathbb R\]] 

– Nếu b ≤ 0 thì các bất phương trình ax < b, ax ≤ b đều vô nghiệm

3. Bất phương trình loogarit cơ bản dạng 

Quảng cáo

logax > b [hoặc logax < b; logax ≥b; logax ≤ b]

trong đó a,b  là hai số đã cho,a>0, a\[\ne\]1

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.

– Nếu a > 1 thì

logax  > b ⇔ \[a^{log_{a}x}\] > ab ⇔ x > ab ;           

logax ≥  b ⇔ x ≥ ab

logax  < b ⇔ 0 < x < ab ;                            

logax ≤  b ⇔ 0 < x ≤ ab

– Nếu 0 < a< 1 thì 

logax  > b ⇔ \[a^{log_{a}x}\] < ab ⇔ 0 < x < ab ;           

logax ≥  b ⇔ 0 < x ≤ ab

logax  < b ⇔  x > ab ;                                      

logax ≤  b ⇔ x ≥  ab

4. Chú ý: Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =aα[ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và b =logaα [ trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:  

Nếu a > 1 thì ax > aα ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaα ⇔  0 < x b [ hoặc ax < b; ax ≥ b; ax ≤ b], trong đó a,b là hai số đã cho, a> 0, a$\ne$1.

Ta thường giải bất phương trình mũ cơ bản bằng cách lôgarit hóa trên cơ sở sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số lôgarit. Lôgarit hóa bất phương trình [mà cả hai vế đều dương] theo cơ số lớn hơn 1[ nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương [trường hợp một vế âm, một vế dương ta có thể kết luận ngay về tập nghiêm]:

- Nếu b > 0 và a > 1 thì

ax > b ⇔ ${\log }_a{a}^x$ > logab ⇔  x > logab;

ax ≥ b ⇔  x ≥  logab

ax <  b ⇔  x < logab;

ax ≤ b ⇔  x ≤  logab

- Nếu b>0 và $0b\; [hoặc\; logax\; <\; b;\; logax\; \ge b;\; logax\; \le \; b]$

trong đó a,b  là hai số đã cho,a>0, a$\ne$1

Ta giải bất phương trình loogarit cơ bản bằng cách mũ hóa sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ. Mũ hóa bất phương trình theo cơ số lớn hơn 1 [nhỏ hơn 1 và đổi chiều bất phương trình] ta được bất phương trình tương đương.

- Nếu a > 1 thì

logax  > b ⇔ $a^{{\log }_{a}x}$ > ab ⇔ x > ab ;

logax ≥  b ⇔ x ≥ ab

logax  < b ⇔ 0 < x < ab ;

logax ≤  b ⇔ 0 < x ≤ ab

- Nếu 0 < a < 1 thì

logax  > b ⇔ $a^{{\log }_{a}x}$ < ab ⇔ 0 < x < ab ;

logax ≥  b ⇔ 0 < x ≤ ab

logax  < b ⇔  x > ab ;

logax ≤  b ⇔ x ≥  ab

3. Chú ý:

Các bất phương trình mũ, lôgarit cơ bản nêu trên trong trường hợp b =aα[ đối với bất phương trình mũ cơ bản] và b =logaα [ trường hợp bất phương trình lôgarit  cơ bản] thì có thể sử dụng tính chất đơn điệu của hàm số mũ và hàm số lôgarit để giải, không cần lôgarit hóa hay mũ hóa. Chẳng hạn:

Nếu a > 1 thì ax > aα ⇔ x > α;

Nếu 0 < a < 1 thì logax > logaα ⇔  0 < x 0. Ta có phương trình đã cho tương đương với phương trình:

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 6 trang 88:

Hãy lập bảng tương tự cho các bất phương trình log_a⁡x ≥ b, log_a⁡x < b, log_a⁡x ≤ b.

Lời giải:

loga⁡x ≥ b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	x ≥ ab	0 < x ≤ ab

logax < b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	0 < x < ab	x > ab

loga⁡x ≤ b	a > 1	0 < a < 1
Nghiệm	0 < x ≤ ab	x ≥ ab

Trả lời câu hỏi Toán 12 Giải tích Bài 6 trang 89:

Giải bất phương trình log1/2[2x + 3] > log1/2[3x + 1] [1].

Lời giải:

[1] ⇔ 3x + 1 < 2x + 3 ⇔ x < -2.

III. Hướng dẫn giải bài tập bất phương trình mũ và bất phương trình logarit toán lớp 12 bai 6 SGK

 Bài 1 trang 89 SGK Giải tích 12: Tính

Lời giải:

Vậy phương trình có tập nghiệm S = [-∞; 1] ∪ [2; +∞]

Vậy bất phương trình có tập nghiệm 

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [-∞; 1]

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [-∞; 0] ∪ [1; +∞]

Kiến thức áp dụng

+ Bất phương trình mũ cơ bản:

	BPT ax < b	BPT ax > b
b ≤ 0	PT vô nghiệm	Tập nghiệm là R.
b > 0	0 < a < 1	x > logab	x < logab
a > 1	x < logab	x > logab

Bài 2 trang 90 SGK Giải tích 12: Giải các bất phương trình:

Lời giải:

a] Điều kiện: 4 - 2x > 0 hay x < 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [-∞; -30]

Kết hợp với điều kiện xác định được x > 3.

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [3; +∞].

d] Điều kiện: x > 0.

[Bất phương trình bậc hai ẩn log3x].

Vậy bất phương trình có tập nghiệm [9; 27].

Kiến thức áp dụng

+ Bất phương trình lôgarit cơ bản

	logaf[x] < b	logaf[x] > b
0 < a < 1	f[x] > ab	0 < f[x] < ab
a > 1	0 < f[x] < ab	f[x] > ab

+ Bất phương trình logaf[x] < logag[x]

Đại số 12 Bài 6 Bất phương trình mũ và bất phương logarit do đội ngũ giáo viên giỏi toán biên soạn, bám sát chương trình SGK mới toán học lớp 12. Được Soanbaitap.com biên tập và đăng trong chuyên mục giải toán 12 giúp các bạn học sinh học tốt môn toán đại 12. Nếu thấy hay hãy comment và chia sẻ để nhiều bạn khác cùng học tập.